Добавил:

d3YWMzbM Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)

Предмет:

Математический анализ

Файл:

ЛК Осипенко КЮ - весна 2021 (1 сем)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.06.2021

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 132 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

6. Замена переменной в определенном интеграле

Теорема 4. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], φ(t)

непрерывно дифференцируема на отрезке [ ; ], φ(t)		2 [a; b] äëÿ
âñåõ t 2 [ ; ], причем φ( ) = a, à φ( ) = b. Тогда
	∫ b f(x) dx = ∫ f(φ(t))φ′(t) dt:	(1)
	a

Доказательство. Пусть F (x) первообразная для f(x). Тогда по

формуле Ньютона Лейбница

∫ b

f(t) dt = F (b) F (a):

По правилу дифференцирования сложной функции

(F (φ(t))′ = F ′(φ(t))φ′(t) = f(φ(t))φ′(t):

Следовательно, F (φ(t) первообразная для f(φ(t))φ′(t). Тогда по

формуле Ньютона Лейбница
∫ f(φ(t))φ′(t) dt = F (φ( )) F (φ( )) = F (b) F (a):
Отсюда следует (1).
Пример 2. Вычислить интеграл
∫0 R p
	R2	x2 dx:

Сделаем замену x = R sin t. Тогда dx = R cos t dt, t = arcsin

= arcsin 0 = 0, = arcsin 1 =

. Таким образом,

∫0 R p

dx = ∫0

R2 sin2 tR cos t dt

R2 x2

√

= R2

∫0

cos2 t dt =

∫0

cos 2t) dt

sin 2t

) 0

На самом деле, вычисленный интеграл есть площадь четверти круга радиуса R (ñì. ðèñ. 12).

7. Интегрирование по частям в определенном интеграле

Примем следующее обозначение

∫ b ∫ b

f(x) dg(x) = f(x)g′(x) dx:

	6y
	p
R	y = R2 x2

		-



0	R	x

Ðèñ. 12

Теорема 5. Пусть функции u(x) è v(x) непрерывно дифференцируемы на отрезке [a; b]. Тогда

∫

ab v(x) du(x):

ab u(x) dv(x) = u(x)v(x) a

Доказательство. По правилу дифференцирования

произведения

(u(x)v(x))′ = u′(x)v(x) + u(x)v′(x):

Отсюда

u(x)v′(x) = (u(x)v(x))′

v(x)u′(x):

Проинтегрируем это равенство

∫ab u(x)v′(x) dx = ∫ab(u(x)v(x))′ dx

∫ab v(x)u′(x) dx

Отсюда

∫

ab v(x) du(x):

ab u(x) dv(x) = u(x)v(x) a

Пример 3. Вычислить интеграл

∫0

x sin x dx:

Имеем

∫

x sin x dx =

x d( cos x) = x(

cos x) 0

( cos x) dx

= :

= + sin x

8. Приложение определенного интеграла к геометрическим задачам

1. Вычисление площади. Если задана функция y = f(x) на отрезке [a; b], то мы выяснили, что площадь соответствующей криво-

линейной трапеции вычисляется следующим образом

∫ b

S = f(x) dx:

y 6

y = f(x)

0 a

Ðèñ. 13

Пусть требуется посчитать площадь фигуры, ограниченной снизу функцией g(x), а сверху f(x).

y 6

y = f(x)

		-
		-
0 a	y = g(x) b	x

Ðèñ. 14

Если рассмотреть графики функций f1(x) = f(x) + C è g1(x) = g(x)+C, то площадь между этими кривыми не изменится. Выберем C достаточно большим, чтобы выполнялось условие g1(x) > 0.

y 6

y = f1(x)

y = g1(x)

0 a

Ðèñ. 15

Тогда искомая площадь будет равняться разности между площадью криволинейной трапеции, образованной функцией f1(x) è

площадью криволинейной трапеции, образованной функцией g1(x)

∫ b ∫ b ∫ b

S = f1(x) dx g1(x) dx = (f(x) + C (g(x) + C)) dx:

a a a

Тем самым получается формула

∫ b

S = (f(x) g(x)) dx:

Пример 4. Вычислить площадь, ограниченную кривыми y = x2 è p

y = x.

y 6

Ðèñ. 16

Имеем

∫

(

)

S =

(px x2) dx =

x3=2

Замечание. Åñëè

f(x)

нечетная

функция

(ò.å.

f( x) =

f(x)), òî

∫

a f(x) dx = 0:

Действительно, делая замену x =

t, получаем

∫ a f(x) dx = ∫ a f(x) dx + ∫0

f(x) dx

= ∫a0 f( t) d( t) + ∫0 a f(x) dx =

∫0 a f(t) dt + ∫0 a f(x) dx = 0:

y 6

		+	-
			-
a	0	a x

Ðèñ. 17

Геометрически это свойство очевидно, т.к. складываются алгебраические суммы площадей (с учетом знака), а для центральносимметричных криволинейных трапеций такая сумма равна нулю.

Åñëè f(x) четная функция (т.е. f( x) = f(x)), òî

∫ a f(x) dx = 2

∫ a f(x) dx:

В этом случае, снова делая замену x = t, получаем

∫	a	∫	0	∫0 a f(x) dx =	∫a	0
	a f(x) dx =		a f(x) dx +			f( t) d( t)
	+ ∫ a f(x) dx = ∫ a f(t) dt + ∫ a f(x) dx = 2						∫ a f(x) dx:

y 6

+		+	-
			-
a	0	a x

Ðèñ. 18

Геометрически это свойство отражает тот факт, что в силу четности функции площади криволинейных трапеций в правой полуплоскости и в левой полуплоскости равны. Поэтому достаточно по- считать только одну из этих площадей и удвоить ее значение.

2. Вычисление площади криволинейной трапеции в случае параметрического задания кривой.

y 6 {

y = y(t);

x = x(t):

0 a

Ðèñ. 19

Пусть функция задана параметрически

{

y = y(t);

t :

x = x(t);

Если бы она задавалась в виде y = f(x), то площадь вычислялась бы по формуле ∫ b

S = f(x) dx:

Сделаем в этом интеграле замену x = x(t). Тогда

∫

S = f(x(t)) dx(t):

Òàê êàê f(x(t)) = y(t), получаем формулу

∫

S = y(t)x′(t) dt:

Пример 5. Вычислить площадь под одной аркой циклоиды

y = R(1		cos t);
{x = R(t		sin t);	0 t 2 :
y 6
'PiR	$
Pq
&%			-
0			2 R x

Ðèñ. 20

Имеем

∫0

S =

∫0

2 R(1 cos t) dR(t sin t) = R2

2 (1 cos t)2 dt

cos 2t

) dt

= R2

∫0

(1 2 cos t+cos2 t) dt = R2

∫0

2 cos t +

1 +

= R2

(

2 sin t +

sin 2t) 0

= 3 R2:

3. Вычисление площади в полярной системе координат. Пусть на плоскости дана точка (x; y). Обозначим через ее расстояние

до начала координат, а через φ угол, который ее радиус вектор составляет с осью Ox.

y	6		3 (x; y)
sin φ




		φ		-
0		cos φ		x

Ðèñ. 21

Тогда имеют место равенства

{

x = cos φ;

y = sin φ;

Тем самым мы сопоставили точке (x; y) координаты ( ; φ), которые

называются полярными координатами.

Пусть задана кривая в полярной системе координат = (φ),. Требуется найти площадь криволинейного сектора. Разделим весь сектор на n секторов = φ0 < φ1 < : : : < φn = .

y	6				#		= (φ)
					#
				##


	##



		#
	#					(((
	#					(((
			(	(((
	#		(
	(((					-
	#((					-
0								x

Ðèñ. 22

В каждом секторе выберем угол k ( k 2 [φk 1; φk]) и заменим площадь k-го криволинейного сектора на площадь кругового сек-

тора с углом ∆φk = φk

φk 1 и радиусом ( k).

φk

φk 1

Ðèñ. 23

Площадь такого кругового сектора равна sk = 12 2( k)∆φk:

Тогда мы фактически заменяем площадь всего криволинейного сектора на сумму площадей всех n круговых секторов

S ∑n 12 2( k)∆φk:

k=1

Площадь криволинейного сектора тогда определяется как предел этих сумм, то есть интеграл

	∑
	n
S	lim	1	2		φ		1	∫	2		φ		dφ:
	= d(T ))!0 k=1	2		(	k)∆	k =	2	∫		(		)

Èòàê,

S = 1 ∫ 2(φ) dφ:

Пример 6. Вычислить площадь, ограниченную кардиоидой = a(1 + cos φ), 0 φ 2 .

y	6
y	6
a
a
			-



	0	2a	x

Ðèñ. 24

Имеем

∫0

S =

a2(1 + cos φ)2 dφ =

(1 + 2 cos φ + cos2 φ) dφ

cos 2φ

∫0

(1 + 2 cos φ +

1 +

) dφ

sin 2φ

4. Вычисление объемов тел.

Пусть некоторое тело расположено

= 2 (

φ + 2 sin φ +

) 0

2 a2

между плоскостями x = a è x = b, и в каждой точке a x b известна площадь сечения тела S(x).

Разобьем отрезок [a; b] íà n частей точками a = x0 < x1 < : : : < xn = b. В каждом отрезке [xk 1; xk] выберем точку k. На отрез- êå [xk 1; xk] заменим вычисление объема соответствующего куска заданного тела на вычисление объема цилиндра с площадью основания S( k). Тогда

	∑				∫a
	n					b
V	lim	S	x			S	x		dx:
	= d(T )!0 k=1	( k)∆		k =		(		)

z 6

b x

Ðèñ. 25

xk 1

Ðèñ. 26

Тем самым получена формула для вычисления объема

∫ b

V = S(x) dx:

5. Вычисление объема тел вращения. Пусть на отрезке [a; b] задана функция y = f(x).

y 6
	y = f(x)
aq	6	bq	x
aq	xq	bq	x
	R		-
			-

Ðèñ. 27

<<< < Предыдущая 12 / 132 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>