ЛК Осипенко КЮ - весна 2021 (1 сем)

Это знакочередующийся ряд. Если в качестве приближения к его сумме взять первые два слагаемых, то погрешность такого приближения не будет превосходить модуля первого после отбрасывания члена ряда. Таким образом,

причем погрешность такого приближения не превосходит 10 5=5. Приведем для сравнения точное значение

arctg 0; 1 = 0; 0996686::: :

2.Приближенное вычисление

∫1 sin x dx:

0 x

Используя разложение sin x, получаем

Точное значение: 0; 946083:::.

62

Лекция 30 марта 2021 г.

40. Функции нескольких переменных. Геометрический смысл

Напомним общее определение функции (отображения). Пусть даны два множества A è B. Говорят, что задана функция или отоб-

ражение f : A ! B, если задано соответствие (закон), по которому каждому элементу из множества A поставлен в соответствие элемент из множества B. При этом множество A называется множеством определения функции, а множество B множеством значе-

íèé.

Предыдущий материал в большей части был посвящен изучению числовых функций, т.е. функций, у которых A è B являются под-

множествами вещественных чисел R.

Обозначим через Rn множество упорядоченных наборов из n вещественных чисел (x1; x2; : : : ; xn). Множество R2 можно отожде-

ствить с плоскостью, сопоставив каждому элементу (x1; x2) точку на плоскости с такими координатами. Множество R3 аналогичным

образом можно отождествить с пространством.

Пусть задана функция двух переменных z = f(x; y). Это означа- ет, что каждой точке (x; y) из некоторого множества на плоскости сопоставлено число z. Тем самым геометрически задание функции

двух переменных означает задание некоторой поверхности в пространстве.

Функцию трех переменных u = f(x; y; z) уже подобным обра-

зом не изобразить. В этом случае рисуют поверхности уровня, т.е. те точки в пространстве (x; y; z), которые удовлетворяют равен-

ñòâó f(x; y; z) = c. Изобразив несколько таких поверхностей, можно представить, как ведет себя функция.

41. Предел и непрерывность функций нескольких переменных

Определение 23. -окрестностью точки M0 = (x01; : : : ; x0n) 2 Rn называется множество точек

{

O (M0) = M = (x1; : : : ; xn) 2 Rn :

√ }

(x1 x01)2 + : : : + (xn x0n)2 < :

63

Определение 24. Проколотой -окрестностью точки M0 =

(x01; : : : ; x0n) 2 Rn называется множество точек

{

O′ (M0) = M = (x1; : : : ; xn) 2 Rn :

√ }

0 < (x1 x01)2 + : : : + (xn x0n)2 < :

Определение 25. Пусть функция f(M) определена в некоторой проколотой окрестности точки M0. Тогда

lim f(M) = A;

M!M0

если для любого " > 0 найдется > 0 такое, что для всех M 2 O′ (M0) выполняется неравенство

jf(M) Aj < ":

Определение 26. Функция f(M), определенная в окрестности точки M0, называется непрерывной в точке M0, åñëè

lim f(M) = f(M0):

M!M0

42.Частные производные и их геометрический смысл

Пусть задана функция z = f(x; y). Частная производная этой функции по x определяется следующим образом:

Фактически это производная функции f(x; y), как функции одной переменной x при фиксированной второй переменной y (иными словами, мы просто рассматриваем y в качестве фиксированного па-

раметра).

Аналогично определяется частная производная по y

Наряду с обозначениями @x@z è @y@z используются обозначения zx′ è zy′ .

Пример 26. Найти частные производные функции z = x3 + 2xy + 4y2.

zx′ =3x2 + 2y; zy′ =2x + 8y:

Пусть у функции z = f(x; y) существуют частные производные в точке (x0; y0). Рассмотрим сечение поверхности, которая задается равенством z = f(x; y), плоскостью y = y0. Тогда в этой плоскости появится кривая z = f(x; y0). Производная функции z = f(x; y0)

64

в точке x0 (она и есть частная производная по x функции z = f(x; y) в точке (x0; y0)) равна тангенсу угла наклона касательной к этой кривой в точке x0. Аналогичные рассуждения показывают, что частная производная по y функции z = f(x; y) в точке (x0; y0) есть тангенс угла наклона касательной к кривой z = f(x0; y) в точке y0.

43. Дифференцируемость функции двух переменных. Дифференциал

Определение 27. Функции z = f(x; y) называется дифференцируемой в точке (x0; y0), если ее полное приращение

∆z = f(x0 + ∆x; y0 + ∆y) f(x0; y0)

может быть представлено в виде

∆z = A∆x + B∆y + ∆x + ∆y;

ãäå A; B 2 R, à ; бесконечно малые при ∆x ! 0, ∆y ! 0.

Выражение A∆x + B∆y называется главной линейной частью

приращения или дифференциалом. Дифференциал обозначается dz (èëè df).

Если функция z = f(x; y) дифференцируема, то

Действительно, положим ∆y = 0. Тогда имеет место равенство f(x0 + ∆x; y0) f(x0; y0) = A∆x + ∆x:

Разделим обе части на ∆x. Получим

f(x0 + ∆x; y0) f(x0; y0) = A + :

∆x

Отсюда вытекает, что

@z

A = @x(x0; y0):

Аналогично доказывается, что

@z

B = @y (x0; y0):

Таким образом, для дифференцируемой функции dz = @x@z ∆x + @y@z ∆y:

Функции z = x è z = y могут рассматриваться, как частные случаи функций нескольких переменных. Для них dz = ∆x è dz = ∆y. В силу этого дифференциал часто записывают в виде

dz = @x@z dx + @y@z dy:

65

Теорема 28 (достаточное условие дифференцируемости) . Пусть функция z = f(x; y) имеет частные производные fx′ è fy′ , непрерыв-

ные в точке (x0; y0). Тогда она дифференцируема в точке (x0; y0).

Доказательство. Рассмотрим полное приращение функции z = f(x; y). Имеем

∆z = f(x0 + ∆x; y0 + ∆y) f(x0; y0)

= f(x0 + ∆x; y0 + ∆y) f(x0; y0 + ∆y) + f(x0; y0 + ∆y) f(x0; y0):

По теореме Лагранжа существуют 1; 2 2 ( 1; 1) такие, что

f(x0 + ∆x; y0 + ∆y) f(x0; y0 + ∆y) = fx′ (x0 + 1∆x; y0 + ∆y)∆x; f(x0; y0 + ∆y) f(x0; y0) = fy′ (x0; y0 + 2∆y)∆y:

В силу непрерывности частных производных

44.Касательная плоскость к поверхности. Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной

функцией двух переменных. Нормаль к поверхности

Пусть поверхность задается функцией z = f(x; y).

Касательной плоскостью к поверхности в точке M0 = (x0; y0; f(x0; y0)) называется плоскость, проходящая

через точку M0, и такая, что угол между любой хордой M0M (M точка на поверхности) и этой плоскостью стремится к нулю при M ! M0.

Теорема 29. Пусть функция z = f(x; y) дифференцируема в точ- ке (x0; y0). Тогда плоскость

z z0 = fx′ (x0; y0)(x x0) + fy′ (x0; y0)(y y0); z0 = f(x0; y0); (20)

является касательной в точке M0 = (x0; y0; z0).

Доказательство. Пусть M = (x; y; z) точка на поверхности (z = f(x; y)). Хорда M0M имеет координаты f∆x; ∆y; ∆zg, ãäå ∆x = x x0, ∆y = y y0, ∆z = z z0. Для того чтобы угол φ между этой хордой и плоскостью (20) стремился к нулю при M ! M0 достаточно, чтобы синус этого угла стремился к нулю. Синус угла φ равен косинусу между хордой и нормалью плоскости (20) n =

66

67

Лекция 6 апреля 2021 г.

Нормалью к поверхности в точке M0 íàçû- вается нормаль к касательной плоскости к этой поверхности в точке M0.

Если поверхность задана уравнением z = f(x; y), то в силу (20) вектор n = ( fx′ ; fy′ ; 1) является нормалью к поверхности.

Иногда под нормалью к поверхности в точке M0 = (x0; y0; z0) понимают прямую, проходящую через точку M0 перпендикулярно касательной плоскости. Уравнение этой прямой можно записать в

45.Геометрический смысл дифференциал и его применение к приближенным вычислениям

Если функция z = f(x; y) дифференцируема в точке (x0; y0), то ее полное приращение записывается в виде

∆z = dz + ∆x + ∆y:

Геометрический смысл дифференциала заключается в том, что он равен полному приращению, если исходную поверхность заменить на касательную плоскость к заданной поверхности в точке (x0; y0).

Дифференциал, как было сказано, является главной линейной частью приращения, но только оно и остается, если исходная поверхность заменяется на касательную к ней плоскость.

Если приращения аргументов малы, то полное приращение функции мало отличается от дифференциала ∆z dz. Íà ýòîì

свойстве основано применение дифференциала для приближенного вычисления значений функций.

68

Таким образом,

46. Частные производные сложной функции

Теорема 30. Пусть функция z = f(x; y) дифференцируема и заданы функции x = x(t), y = y(t), имеющие производные. Тогда для производной сложной функции справедливо равенство

где и бесконечно малые при ∆x ! 0, ∆y ! 0, а значит, и при ∆t ! 0. Таким образом, получаем

= fx′ x′(t) + fy′ y′(t):

Пример 28. Найти z′(t), åñëè z = e2x 3y, à x = tg t, y = t2 t. По формуле (21) получаем

функции x = x(u; v) è y = y(u; v) имеют частные производные. Тогда для производных сложной функции z(u; v) = f(x(u; v); y(u; v)) справедливы равенства

Тогда из формулы (21) сразу вытекает первое из равенств (22).

69

47. Инвариантность формы I-го дифференциала

Пусть имеется функция z = f(x; y). Ее дифференциал записыва-

åòñÿ â âèäå

dz = fx′ dx + fy′ dy:

Пусть теперь x = x(u; v), y = y(u; v). Рассмотрим дифференциал сложной функции z(u; v) = f(x(u; v); y(u; v)). В силу формул (22) получаем

dz = zu′ du + zv′ dv = (fx′ x′u + fy′ yu′ )du + (fx′ x′v + fy′ yv′ )dv

= fx′ (x′udu + x′vdv) + fy′ (yu′ du + yv′ dv) = fx′ dx + fy′ dy:

Отсюда видно, что форма I-го дифференциала остается неизменной независимо от того, являются ли переменные x, y независимыми

или они зависят от других переменных.

48. Неявные функции. Теорема о существовании неявной функции. Дифференцирование неявной

функции

Определение 30. Говорят, что уравнение F (x; y; z) = 0 определяет неявную функцию z = z(x; y), если при подстановки функции z(x; y) в это уравнение оно становится тождеством.

Не всегда можно в явном виде выразить переменную z из уравнения F (x; y; z) = 0. Тем не менее при некоторых условиях удается доказать существование такой функции.

Теорема 32. Пусть имеется уравнение F (x; y; z) = 0 и выполнены следующие условия.

1.Функция F (x; y; z) непрерывна вместе со своими частными производными в окрестности точки (x0; y0; z0).

2.F (x0; y0; z0) = 0.

3.Fz′(x0; y0; z0) ≠ 0.

Тогда в окрестности точки (x0; y0) существует единственная неявная функция z = z(x; y) непрерывная вместе со своими част-

ными производными и такая, что z(x0; y0) = z0. Кроме того, спра- ведливы равенства

Мы не будем доказывать эту теорему, а докажем лишь равенства (23). Продифференцируем по переменной x равенство

F (x; y; z(x; y)) = 0:

Из теоремы о дифференцировании сложной функции (теорема 31)

вытекает, что

Fx′x′x + Fy′yx′ + Fz′zx′ = 0:

70

Тем самым

Fx′ + Fz′zx′ = 0:

Отсюда вытекает первое из равенств (23). Второе получается аналогичным образом при дифференцировании по переменной y.

Пример 29. Найти частные производные неявной функции z = z(x; y), задаваемой уравнением

x2 + y2 + z2 ez 1 = 0

âокрестности точки (1; 1; 0). Имеем

Fx′ = 2x; Fy′ = 2y; Fz′ = 2z ez:

Тем самым

В частности, в точке (1; 1)

zx′ = zy′ = 2:

49. Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной неявной функцией

Рассмотрим функцию трех переменных u = u(x; y; z). Äëÿ ïðåä-

ставления о поведении этой функции полезно бывает исследовать ее поверхности уровня, т.е. поверхности, задаваемые уравнением

u(x; y; z) c = 0:

В предыдущем разделе было выяснено, что такое уравнение задает неявную функцию z = z(x; y), которая при определенных услови-

ях, сформулированных выше имеет частные производные. Поэтому можно написать уравнение касательной плоскости к этой поверхности

z z0 = zx′ (x x0) + zy′ (y y0):

Подставив выражения для частных производных, получаем