ЛК Осипенко КЮ - весна 2021 (1 сем)

111

Пример 46. Вычислить∫∫

(x + z) dxdy;

S

ãäå S полная поверхность пирамиды с вершинами в точках (0; 0; 0), (1; 0; 0), (0; 1; 0) è (0; 0; 1) (сторона поверхности внешняя).

Запишем интеграл в виде суммы интегралов по каждой из граней пирамиды

∫∫∑4 ∫∫

Ðèñ. 71

Âсилу того, что грани S2 è S3 перпендикулярны плоскости Oxy

∫∫∫∫

Уравнение грани S1 имеет вид x + y + z = 1. Отсюда z = 1 x y. Проекция грани S1 на плоскость Oxy, которую обозначим через D, есть треугольник с вершинами (0; 0), (1; 0) è (0; 1).

O1 x

Ðèñ. 72

113

Обозначим через S1 нижнюю часть сферы радиуса R, а через S2 круг радиуса R в плоскости z = 0 с соответствующими сторона-

ми. Тогда ∫∫ ∫∫ ∫∫

z dxdy = z dxdy + z dxdy:

S S1 S2

èучитывая направление нормали на S1, получаем

∫∫∫∫ √

ãäå D круг радиуса R с центром в нуле. Вычисление последнего

интеграла рассматривалось в примере из п. 63, хотя из геометри- ческого смысла двойного интеграла сразу вытекает, что он равен

объему половины шара радиуса R, ò.å. 2 R3=3. Таким образом,

∫∫

z dxdy = 2 R3:

S 3

114

Лекция 18 мая 2021 г.

76. Связь поверхностных интегралов I-го и II-го рода

Пусть имеется поверхность S с выбранной стороной на ней и непрерывная функция f(x; y; z) заданная в точках этой поверхно-

сти. Тогда имеет место равенство

∫∫ ∫∫

f(x; y; z) dxdy = f(x; y; z) cos ds; (37)

S S

где угол между нормалью к поверхности и осью Oz. Докажем это равенство для случая, когда поверхность задана функцией z = φ(x; y), (x; y) 2 D. Выберем верхнюю сторону поверхности. Тогда

(см. (36)) поверхностный интеграл II-го рода сводится к двойному следующим образом

1 + φ′x2(x; y) + φ′y2(x; y)

Тем самым

∫∫ ∫∫

f(x; y; z) cos ds = f(x; y; φ(x; y)) dxdy:

S D

Следовательно, справедливо равенство (37).

Если изменить сторону поверхности, то изменится знак поверхностного интеграла II-го рода, но изменится и знак cos и равен-

ство (37) останется выполненным. Если поверхность можно разбить на части, каждую из которых можно задать функцией z = φ(x; y),

то применив равенства (37) для каждой из частей, а потом сложив все эти равенства, получим, что формула (37) имеет место для всей поверхности.

115

здесь и углы, которые нормаль к поверхности образует с осями Ox è Oy. Таким образом, для составного интеграла II-го

рода имеет место равенство

∫∫ ∫∫

P dydz + Q dxdz + R dxdy = (P cos + Q cos + R cos ) ds:

S S

Если задано векторное поле V (M) = (P (M); Q(M); R(M)) è n = (cos ; cos ; cos ) единичная нормаль к поверхности S в точке M, òî

Vn(M) = P (M) cos + Q(M) cos + R(M) cos

проекция вектора V (M) на нормаль n. Тем самым для потока

вектора V (M) через поверхность S справедливо равенство

∫∫ ∫∫

P dydz + Q dxdz + R dxdy = Vn(M) ds: (38)

S S

77. Формула Стокса

Определение 57. Пусть задана двусторонняя поверхность S.

Будем говорить, что сторона поверхности согласована с направлением обхода ее границы , если при обходе границы по выбранному направлению поверхность находится слева.

Ðèñ. 74

Теорема 42 (формула Стокса). Пусть в некоторой пространственной области Ω заданы функции P , Q è R, непрерывные вме-

сте со своими частными производными. Пусть, кроме того, задана замкнутая кривая 2 Ω с выбранным направлением обхода.

116

Тогда имеет место равенство

ãäå S произвольная поверхность из области Ω, натянутая на

контур , со стороной, согласованной с направлением обхода контура .

Формула Стокса является обобщением формулы Грина на пространственный случай. Действительно, если рассмотреть плоский случай (z = 0), то формула Стокса совпадет с формулой Грина.

Правило вычисление ротора можно записать в виде символиче- ского определителя третьего порядка, который надо вычислять, раскладывая определитель по первой строке

Используя понятие ротора и связь поверхностных интегралов I- го и II-го рода (38), формулу Стокса можно записать в следующем

F dl = (rot F )n ds:

S

Саму теорему коротко можно сформулировать так: циркуляция векторного поля вдоль кривой равна потоку ротора этого поля по любой поверхности, натянутой на эту кривую.

79. Формула Гаусса Остроградского. Дивергенция векторного поля

Теорема 43 (формула Гаусса Остроградского) . Пусть в некоторой пространственной области Ω заданы функции P , Q è R,

непрерывные вместе со своими частными производными. Пусть,

118

ãäå S полная поверхность пирамиды с вершинами в точках

(0; 0; 0), (1; 0; 0), (0; 1; 0) è (0; 0; 1).

Ðèñ. 76

z dxdy;

S

ãäå S граница нижней половины шара радиуса R с центром в нуле.

Ðèñ. 77

119

Формулу Гаусса Остроградского можно записать в терминах ди-

вергенции векторного поля F следующим образом

∫∫ ∫∫∫

Fn ds = div F dxdydz:

SV

Читаться она будет так: поток векторного поля F через замкнутую поверхность S с внешней стороной равен тройному интегралу по области, ограниченной поверхностью S, от дивергенции этого поля.

120

Лекция 25 мая 2021 г.

80. Решения задач из 0-го варианта II-ой контрольной работы

Задача 1. а) Вычислить @x@z , @y@z , åñëè z = yexy.

Имеем

б) Найти модуль градиента функции f(x; y) = ln(sin x + 2xy) в точке ( =2; 0).

Задача 2. Вычислить двойной интеграл от функции f(x; y) =