ЛК Осипенко КЮ - весна 2021 (1 сем)

42

Òàê êàê ðÿä ∑1n=1 bn (гармонический ряд) расходится, то исходный ряд тоже расходится.

Ðèñ. 39

Отбросим первые N членов ряда (конечное число членов ряда

на сходимость не влияет), и будем считать, что неравенство (11) выполнено для всех n 1. Тогда имеем

рической прогрессии. Поэтому он сходится∑ . По признаку сравнения сходится и ряд с меньшими членами 1n=1 an.

2. Пусть q > 1. Возьмем в качестве

44

Тем самым

n

Отсюда

p

1 + q

n

an < = q1 < 1: (12)

2

Таким образом,

an < q1n:

Ðÿä ∑1n=1 q1n является суммой бесконечно убывающей геометриче-

ской прогрессии. Поэтому он сходится∑ . По признаку сравнения сходится и ряд с меньшими членами 1n=1 an.

2. Пусть q > 1. Возьмем в качестве

Тогда найдется N, начиная с которого будет выполняться неравен-

ñòâî

p

j n an qj < ":

Тем самым

q 1 p

2

< n an q:

Отсюда

p

1 + q

n

an > = q1 > 1:

2

Следовательно, начиная с номера N будет выполняться неравен-

ñòâî a > 1. В таком случае необходимый признак сходимости

n ∑1

(limn!1 an = 0) не выполняется. Значит, ряд n=1 an ñÿ.

Пример 17. Исследовать на сходимость ряд

∑1 ( n )n2

n + 1

:

n=1

Применим радикальный признак Коши. Имеем

Следовательно, ряд сходится.

45

25. Интегральный признак Коши

Если сходится несобственный интеграл, то по критерию сходимости несобственных интегралов от положительных функций существует такая постоянная M, ÷òî∫äëÿn âñåõ n

f(x) dx M:

1

Тогда из неравенства (13) следует, что для всех n частичные суммы

46

суммы ограничены некоторой постоянной M. Следовательно, для всех n выполняется неравенство Sn 1 M. Тогда из неравенства (13) следует, что для всех∫nn

f(x) dx M:

1

Тем самым для любого b > 1

∫ b

f(x) dx M:

1

Из критерия сходимости несобственных интегралов от положительных функций следует, что в этом случае сходится несобственный

интеграл ∫ +1

f(x) dx:

1

Пример 18. Исследовать при каких сходится ряд

∑1 1 n :

n=1

При 0 ряд очевидно расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости. Пусть > 0. Применим интегральный признак Коши. Функция

f(x) =

1

x

удовлетворяет всем условиям сформулированным в этом признаке. Тем самым достаточно исследовать на сходимость несоб-

Эта задача рассматривалась ранее, и было доказано, что этот несобственный интеграл сходится при > 1. Тем самым исход-

ный ряд сходится при > 1.

47

Лекция 16 марта 2021 г.

26. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

Определение 12. Знакочередующимся рядом называется ряд ви-

äà

1 2 + 3 4 + : : : + ( 1)n+1 n + : : : ;

ãäå n > 0.

Теорема∑ 16 (признак Лейбница). Пусть дан знакочередующийся ðÿä 1n=1( 1)n+1 n, n > 0. Åñëè

1)n монотонно убывают,

2)limn!1 n = 0,

то ряд сходится.

Доказательство. Рассмотрим четные частичные суммы

Тем самым четные частичные суммы монотонно возрастают. С другой стороны, они ограничены. Действительно,

S2n = 1 ( 2 3) : : : ( 2n 2 2n 1) 2n 1:

Следовательно, по теореме Вейрштрасса последовательность четных частичных сумм имеет предел

Тогда для его суммы

справедливо неравенство

0 S 1:

Доказательство. При доказательстве признака Лейбница было доказано, что все четные частичные суммы удовлетворяют неравенствам

0 S2n 1:

Следовательно, и их предел, равный S, удовлетворяет тем же неравенствам.

anj an janj

имеем

0 an + janj 2janj:

Отсюда следует, что ряд ∑1n=1(an + janj) является рядом с положи- тельными членами. Применяя к нему признак сравнения, получа- ем, что он сходится. В силу того, что ряд составленный из суммы (или разности) членов сходящихся рядов сходится, получаем, что ряд

Пример 20. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряды

49

(1)n+1

1.n .∑1

n=1

(1)n+1

2.n2 .∑1

28. Свойства абсолютно сходящихся рядов

Пусть дан ряд ∑1n=1 an. Переставив в нем члены произвольным

образом,∑ мы получим новый ряд, который будем обозначать через

1n=1 a′n.

Пусть ряд

áîãî L (конечного числа или 1) существует такая перестанов-

его сумма равна .

29. Функциональные последовательности. Поточечная сходимость

Пусть имеется последовательность функций (функциональная последовательность) f1(x); : : : ; fn(x); : : : с одной и той же областью определения для каждой из функций.

50

Определение 15. Говорят, что функциональная последовательность сходится в точке x0 к функции f(x), åñëè

lim fn(x0) = f(x0) (fn(x0) ! f(x0)):

n!1

Определение 16. Областью сходимости функциональной последовательности называют все точки x, при которых эта последо-

вательность сходится.

Пример 21. Рассмотрим последовательность функций

Ðèñ. 43