ЛК Осипенко КЮ - весна 2021 (1 сем)

Лекция 9 февраля 2021 г.

1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Обсудим сначала понятие площадь . Всем хорошо знакомо, что площадь прямоугольника со сторонами a è b равна ab. ×òî ýòî

означает? Если длины сторон мы измеряли в сантиметрах, то фактически это означает, что в прямоугольнике размещается ab êâàä-

ратиков со стороной 1см. Это число, конечно, может быть и не

целым, тогда там разместятся не целые квадратики, а какие-то их части.

А как быть с параллелограммом?

Ðèñ. 1

Так как площади треугольников ABC è A′B′C′ равны, то все сводится к вычислению прямоугольника CBB′C′, а его площадь равна ah.

Теперь займемся вычислением площади треугольника.

Ðèñ. 2

Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABB′C. ßñíî,

что площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника, а площадь параллелограмма мы умеем находить. Она равна ah. Поэтому площадь треугольника равна

12ah:

1

4

Определение 1. Разбиением отрезка [a; b] будем называть систему точек a = x0 < x1 < : : : < xn = b и точек k 2 [xk 1; xk], k = 1; : : : ; n.

Ðèñ. 6

Будем обозначать разбиения буквой T .

Определение 2. Диаметром разбиения T называется величина

d(T ) = max ∆xk; ∆xk = xk xk 1:

1 k n

Пусть дана функция f(x) на отрезке [a; b], è T некоторое раз-

d(T )!0

если для любого " > 0 найдется > 0 такое, что при d(T ) < выполняется неравенство

jI S(T )j < ":

Определение 5. Пусть задана функция f(x) на отрезке [a; b]. Определенным интегралом от функции f(x) îò a äî b называется

Теорема 1 (о существовании определенного интеграла) . Äëÿ ëþ-

бой функции f(x), непрерывной на отрезке [a; b], определенный ин- теграл ∫ab f(x) dx существует.

3. Свойства определенного интеграла

Далее считаем, что все встречающиеся функции непрерывны на отрезке [a; b], и, следовательно, соответствующие интегралы суще-

def

f(x) dx = 0:

a

5

2. Пусть a > b.

6. Пусть a < c < b. Тогда

∫ b ∫ c ∫ b

f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx:

6

y 6

y = f(x)

Ðèñ. 7

Доказательство. Добавим в каждом разбиении T точку c â ñè-

стему точек fxkg (если ее не было в исходном разбиении). Новое разбиение обозначим через T ′. Очевидно, что диаметр разбиения

при этом не увеличится d(T ) d(T ′). Поэтому

∫ b ∫ c ∫ b

f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx:

a a c

Доказательство. Пусть, например, c < a < b.

8.Åñëè f(x) 0 ïðè x 2 [a; b], òî

∫b

f(x) dx 0:

a

Доказательство.

Òàê êàê f( k) 0 è ∆xk 0, òî

∑n

f( k)∆xk 0

k=1

для любого разбиения T . Поэтому и ее предел неотрицательный.

9. Åñëè f(x) g(x) ïðè x 2 [a; b], òî

∫ b ∫ b

f(x) dx g(x) dx:

aa

10. Åñëè m f(x) M ïðè x 2 [a; b], òî

∫ b

m(b a) f(x) dx M(b a):

a

Доказательство. Из предыдущего пункта получаем

∫ b ∫ b ∫ b

m dx f(x) dx M dx:

a a a

Из свойств 4 и 3 следует, что

∫ b ∫ b

m dx = m 1 dx = m(b a):

aa

8

Теорема 2 (теорема о среднем). Пусть функция f(x) непрерывна

на отрезке [a; b]. Тогда найдется точка 2 [a; b] такая, что

∫ b

f(x) dx = f( )(b a):

a

y 6

y = f(x)

Ðèñ. 9

Доказательство. Непрерывная функция на отрезке достигает своего минимального значения m и своего максимального значения M.

Тем самым m f(x) M ïðè x 2 [a; b]. Следовательно, из свой-

Но непрерывная функция принимает все свои значения между минимальным и максимальном. Значит, существует такая точка2 [a; b], для которой

1 ∫ b

f( ) = b a a f(x) dx:

Умножив обе части на b a, получаем доказываемое равенство.

9

Лекция 16 февраля 2021 г.

4. Дифференцирование интеграла по верхнему пределу

Рассмотрим функцию f(t), непрерывную на отрезке [a; b].

q q q -

a x b t

По теореме о среднем найдется такая точка 2 [x; x + ∆x], äëÿ

которой ∫ x+∆x

f(t) dt = f( )∆x:

x

Таким образом,

Тем самым доказана следующая теорема.

Теорема 3 (о дифференцировании интеграла по верхнему пределу). Если функция f(t) непрерывна на отрезке [a; b], òî

(∫ x )′

f(t) dt = f(x):

a

Иными словами, мы доказали, что (x) является первообразной для f(x). Отсюда вытекает, что у каждой непрерывной функции есть первообразная.