Выразим через |
Z для перехода к исходной области. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0* |
|
W ( z ) |
|
j |
ln |
|
z2 h2 |
||||
2 |
|
|
|
|
|
||||
z2 h2 |
|
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
Напряженность электрического поля в любой точке:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2z |
|
|
|
|
|
|
|||
|
dW |
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 z 2 h2 |
|
|
|
|
|
2 z 2 h2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
dz |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
z |
2 |
h |
2 |
|
( 0 |
j 0 ) |
z |
2 |
h |
2 |
|
|
( 0 |
|
j 0 ) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После упрощения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
E |
|
dW |
|
|
j |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
( 2 j 0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
dz |
|
|
z 2 h2 |
( z 2 h2 0 ) 2 2 0 ) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
= D = E - плотность заряда на поверхности проводников
Графический метод построения картины плоскопараллельного поля.
При графическом построении необходимо соблюдать одновременно три условия.
1. Ортогональность линий равного потенциала и линий напряженности во всех точках их пересечения
2.Линии напряженности должны подходить перпендикулярно к поверхности проводящих тел.
3.Ячейки ортогональной сетки, образованной линиями U = const и V = const должны быть подобны друг другу.
|
|
|
|
|
U |
|
|
V |
||
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
||||||||
+ |
|
|
|
n |
|
|
a |
|||
– |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
= k = const |
||||||
|
U |
n |
||||||||
U1 V1
U2 a
V2
n
Расчет электрической емкости.
Потенциальные коэффициенты, коэффициенты электростатической индукции и частичные емкости в системе заряженных тел
q1 |
q 0 |
U1 = 11·q1 ; U2 = 21·q1 |
|
2 |
|
Коэффициент 11, называемый собственным потенциальным коэффициентом
первого тела, зависит от наличия второго тела
Коэффициент 21 называется взаимным потенциальным коэффициентом между первым и вторым телом.
Если заряжены два тела:
U1 = 11·q1 + 12·q2; |
U2 = 21·q1 + 22q2. |
Собственные потенциальные коэффициенты имеют два одинаковых индекса, а взаимные – два различных. Измеряются они в 1/Ф
Если заряды двух тел равны и противоположны по знаку (q1 = – q2 = q), то выражение для емкости в системе двух тел получаем в виде:
|
q1 |
|
q |
1 |
|
C |
|
|
|
|
|
|
q ( 11 12 21 22 ) |
11 22 2 12 |
|||
U1 U 2 |
|
|
|||
Для системы из « n » заряженных тел в линейной среде на основе принципа наложения можем записать:
U1 = 11·q1 + 12·q2 + . . . + 1n·qn;
U2 = 21·q1 + 22·q2 + . . . + 2n·qn;
…………………………………………………………………………………….
Un = n1·q1 + n2·q2 + . . . + nn ·qn.
Собственные потенциальные коэффициенты можно определить экспериментально. Для этого надо только одно из тел (например, второе) подключить к источнику т.е. зарядить его до потенциала U2 = 22·q2 = U0 Заряды остальных тел должны быть равны нулю. После отключения источника второе тело разряжается через баллистический гальванометр и при этом измеряется его заряд и рассчитывается собственный потенциальный коэффициент:
22 U 2
q2
Коэффициенты электростатической индукции
q1 = 11·U1 + 12·U2 + . . . + 1n·Un; q2 = 21·U1 + 22·U2 + . . . + 2n·Un;
…………………………………………
qn = n1·U1 + n2·U2 + . . . + nn Un.
Коэффициенты электростатической индукции образуют матрицу, получаемую обращением матрицы потенциальных коэффициентов .
Экспериментальное определение коэффициентов электростатической индукции
В системы из трех проводящих тел определим коэффициенты 11 и 13. Заземлим все тела кроме первого, это означает, что U2 = U3 = 0. Первое тело зарядим от источника постоянного напряжения до потенциала U1 = U0 , считаем его заряд равным q1 >0. На втором и третьем телах вследствие электростатической индукции появятся заряды противоположного знака q2<0, q3<0.
U1 = U0: q1 = 11·U1; q2 = 21·U1; q3 = 31 U1
q1 |
|
|
|
|
|
q3 |
|
|
|
q1 |
0 |
31 |
q3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
q2 |
|
U1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
G1 U0 |
|
|
G3 |
|
kk > 0, kp < 0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Собственные и взаимные частичные емкости
q1 = C11·(U1-0) + C12·(U1 - U2)+ . . . + C1n·(U1 -Un); q2 = C21·(U2 -U1)+ C22·(U2-0)+ . . . + C2n·(U2-Un);
…………………………………………………….
qn = Cn1·(Un -U1) + Cn2·(Un -U2)+ . . . + Cnn ·(Un -0).
Коэффициенты этого уравнения (Ckk и Ckp) называются собственными и взаимными частичными емкостями и измеряются в фарадах
Связь между коэффициентами электростатической индукции
ичастичными емкостями
1.Приравняв потенциалы всех тел к потенциалу первого тела (Uk = U1) из первых
уравнений обеих систем получим: q1 = C11U1 = ( 11+ 12+ 13+ …+ 1n)U1 , откуда:
|
|
|
|
|
n |
C |
11 |
= + + + …+ |
1n |
.; |
Ckk kp |
|
11 12 13 |
|
|
p 1
2. Приравняв потенциалы всех тел, кроме первого, к нулю (Uk = 0; U1 ≠ 0) из первых уравнений обеих систем получим: q1 = 11U1 = (C11+C12+C13+ …+C1n). U1
|
|
n |
11 = C11+C12+C13+ …+C1n; |
kk |
Сkp |
|
|
p 1 |
3. Приравняв потенциал первого тела к нулю (U1 = 0), получим:
q |
1 |
= |
U + |
U + … + U = – C |
U – C |
U – …– C |
U ; |
Ckp = – kp |
|
|
|
12 2 |
13 3 |
1n n |
12 2 |
13 3 |
1n n |
|
|
Расчет напряжений между телами в системе проводников
c13
1 |
|
|
3 |
c12 |
|
c23 |
|
|
|
||
|
c11 |
2 |
c33 |
U0 |
|
||
|
|
c |
|
|
|
|
22 |
U 0
Система из трех проводящих тел над землей, два из которых не заряжены, а потенциал первого равен U0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c13 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
12 |
|
|
|
|
|
c |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
c11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U0 |
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
c33 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Эквивалентная схема цепи для расчета напряжений на участках