Выражение для напряженности через функцию потока
Условимся считать функцию потока, возрастающей влево от вектора для наблюдателя, расположившегося так, чтобы для него вектор направлен снизу вверх
E |
U |
|
V |
|
n |
a |
|||
|
|
Для декартовой системы координат:
Ex |
|
|
U |
|
|
|
V |
|
x |
|
y |
||||
Ey |
|
U |
|
|
V |
||
y |
|
x |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
Уравнения Лапласа для функций потенциала и потока
Ex |
|
|
U |
|
|
|
V |
|
|
x |
|
y |
(1) |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
Ey |
|
U |
|
|
V |
|||
|
|
|||||||
y |
|
x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Продифференцируем первое уравнение по x , а второе по y
|
2U |
|
2V |
|
2U |
|
2V |
|
2U |
|
2U |
0 |
|
x2 |
y2 |
||||||||||||
x2 |
x y |
y2 |
x y |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
Продифференцируем первое уравнение по y , а второе по x :
|
2U |
|
2V |
|
2U |
|
2V |
|
2V |
|
2V |
0 |
|||||
x |
2 |
y |
2 |
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
|
x y |
y |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x y |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом функции U и V удовлетворяют уравнению Лапласа
Применение функций комплексного переменного
для описания плоскопараллельных полей
Функция комплексного переменного
Плоскость комплексного переменного |
|
z = x+jy = r·e j |
|||||||||
Рассмотрим комплексную величину: |
|
j |
|||||||||
x, y |
x, y |
- функции x |
и y |
||||||||
x, y |
- регулярная аналитическая функция комплексного переменного |
||||||||||
Функция |
однозначна, непрерывна и имеет непрерывную производную во всех |
||||||||||
|
точках области |
|
|
|
|
|
|
||||
Условия Коши-Римана для функции комплексного переменного: |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x |
y |
|
|
y |
x |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При этих условиях производная функции не зависит от направления дифференцирования
Сравнение условий Коши-Римана и выражений для напряженности поля:
|
|
|
|
Ex |
|
|
U |
|
|
|
V |
||||
x |
y |
|
|
|
|||||||||||
|
x |
|
y |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Ey |
|
U |
|
V |
||||||
|
|
|
x |
||||||||||||
|
|
x |
|||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|||||
j V jU f (z) - комплексный потенциал поля
Составляющие напряженности поля :
EX |
|
U |
|
|
Ey |
|
U |
|
|
|
x |
x |
y |
y |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
(1) |
|
|
|
(2) |
|||
E |
Ex2 Ey2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
y |
x |
||||||||||
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
||||
Подставляя (2) в (1) , получаем:
2 E x
|
2 |
|
|
d |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
dz |
||||
|
x |
|
|
||
Задача расчета поля решена, если найдена аналитическая функция f (z) , удовлетворяющая граничным условиям на поверхности провода
Исследуя различные аналитические функции комплексного переменного можно найти соответствующие им поля и получить таким образом решения для ряда конкретных случаев
Метод заданного комплексного потенциала.
Этот метод расчета плоскопараллельных полей заключается в предварительном задании некоторой комплексной функции на плоскости – комплексного потенциала W(z) и последующего определения, какой геометрической области предложенная функция W(z) соответствует. Координаты точки на плоскости могут быть заданы в декартовой или полярной системе: z = x+jy = r·e j
. Пусть комплексный потенциал задан в виде:
W(z) = az + b = (ax + b) + jay = V + jU ,
тогда:
V = ax + b = const - уравнение линии напряженности, т.е. x = const вертикальные линии, а
U = ay = const - уравнение линии равного потенциала т.е. y = const горизонтальные линии.
При а > 0 с ростом x и y растут соответственно V и U . Принимая постоянным приращения потенциала и функции потока ( V = const и U = const), получаем постоянство приращения координат при переходе от линии к линии ( x = const и
y = const )
V1 |
V2 |
V3 |
V4 |
V5 |
y |
|
|
|
|
U1
U2
U3
U4
U5
Совместив поверхности двух проводников с двумя линиями равного потенциала (U1 и U4), получаем картину поля между двумя плоскими проводящими пластинами (внутри плоского конденсатора). Таким образом, мы установили, какой геометрической области соответствует принятый комплексный потенциал.
x
. Пусть комплексный потенциал задан в виде:
W(z) = jA ln z = jA ln(r·ej ) = jA ( ln r + j ) = – A + jA ln r = V + jU,
тогда:
уравнение линии напряженности, т.е. = const. Эти линии представляют собой лучи, исходящие из начала координат;
уравнение линии равного потенциала, т.е. r = const . Эти линии представляют собой концентрические окружности с центром в начале координат.
Принимая постоянным приращения потенциала и функции потока ( V = const и
U = const), получаем постоянство приращения координаты = const при переходе от одной к другой линии напряженности и постоянство отношений
радиусов соседних линий равного потенциала |
|
rk 1 |
const |
|
rk |
||||
|
|
|
||
|
|
|
|
Поле уединенного заряженного кругового цилиндра
При =2 получаем поверхность, охватывающую весь проводник с полным зарядом
V3
V4
U3 |
V |
|
2 |
U2
U1 V1
U1 U2 U3 |
V1 V2 V3 |
E |
|
q |
|
|
V |
q |
|
|
|
|
|
l |
|
||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||
V A 2 |
|
A |
|
||||||
|
2 |
||||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
V |
|
|
U |
|
ln r |
|
|
||||||
2 |
||||||
|
||||||
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|