Поле создается тонкой заряженной нитью, расположенной в точке с координатой z = z0
W(z) = jA ln z
j y
W = j A ln( z – z0)
E
z
z – z0 |
x |
0
z0
. Поле двух тонких заряженных нитей
Для двух заряженных нитей с зарядами 1 и 2, расположенных в точках с координатами z10 и z20 запишем выражение для комплексного потенциала, воспользовавшись принципом наложения:
W (z) = jA1 ln (z–z10) + jA2 ln (z–z20) + C1 + j C2.
C1 и C2 – произвольные постоянные, зависящие от выбора места расположения начальных (нулевых) линий функции потока и потенциал
A1 |
1 |
A2 |
2 |
1 = – 2 = |
2 |
2 |
Комплексный потенциал в произвольной точке имеет вид:
W j |
|
z z10 |
C1 |
jC2 |
|
|
ln |
|
|||
|
z z20 |
||||
|
2 |
|
|
||
W j |
|
ln |
z z10 |
C1 jC2 |
z10 = – b ; z20 = + b |
|||||
2 |
|
|||||||||
|
|
z z20 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r1 |
r2 |
|
|
|
|
|
z1 = (z + b) |
z2 = (z – b) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
– b |
0 |
|
+ b |
x |
|||
|
|
W j |
|
ln |
z b |
C1 jC2 |
|
|||
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
z b |
|
|
||
z1 = z + b = r1 e j 1 |
|
|
|
z2 = z – b = r2 e j 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
W |
j |
|
ln |
|
z b |
C1 jC2 |
W j |
|
ln |
r1 |
e |
j( 1 |
2 ) |
C1 |
jC2 |
||||||
|
|
|
|
2 |
r2 |
|
|
||||||||||||||
2 |
|
z b |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
W j |
|
ln |
r2 |
|
jC2 |
|
|
( 1 2 ) C1 = V + j U |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
r1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Положим C2=0 , тогда получим U=0 при r1=r2, то есть линия нулевого потенциала – это ось ординат
U |
|
ln |
r2 |
C2 |
V |
|
|
( 2 1 ) C |
1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
r1 |
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
const |
|
|
|
U |
|
|
ln |
r2 |
|
C2 |
const |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
r1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Линии равного потенциала в системе двух заряженных проводов
Линии равного потенциала – это окружности с центрами на оси OX с координатами центра:
r |
k const |
|
|
|
x0 |
|
1 k 2 |
b |
y0 0 |
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
r1 |
|
|
|
|
1 k |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и радиусом: |
R |
|
|
2k |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
1 k 2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы приращение потенциала при переходе от любой линии равного потенциала к соседней оставалась постоянным, должно быть соблюдено условие:
|
|
|
|
|
|
|
|
r2, 1 |
|
|
r2, |
|
|
|
|
k 1 |
|
|
k 1 |
B const |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
U |
U |
|
ln |
|
ln |
|
|
ln |
const |
|||||||||||
U |
|
|
|
|
r |
|
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
r |
|
|
|
k |
|
|
k |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1, 1 |
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Линии равной напряженности поля в системе двух заряженных проводов
Положив в выражении для функции потока C1=0, получим V=0 при |
2 |
1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
( |
2 |
) const |
|
2 |
|
const |
|
||
|
|
|||||||||
|
2 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Линия напряженности поля является уравнением дуги окружности, пересекающейся с проводами
КоординатыV V 1 V центров окружностей:
x |
0 |
|
bctg |
y0 |
|||
0 |
|
|
|
y0 bctg( ) bctg
V V 1 V |
const |
Картина поля двух линейных проводов и реальной линии передачи
Формулы для определения положения линейных проводов (электрических осей) , эквивалентным двум проводам круглого сечения
h x0 - координата центра окружности равного потенциала
h |
|
|
1 |
k |
2 |
|
|
b |
R |
|
|
2k |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
1 k |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
k |
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b 
h2 R2
B 
3/ 6
На рисунке заштрихованы сечения проводов около контуров сечений
Поле параллельных несоосных цилиндров
Положение плоскости нулевого потенциала:
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
2 |
2 |
2 |
|
D2 R12 R22 |
|
D2 |
R22 R12 |
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
R1 |
R2 |
|
|
|
|
||
|
D |
|
R1 |
R2 |
|
|
h1 |
|
h2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
h1 |
|
2D |
|
h2 |
|
2D |
|
2D |
|
|
2D |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
b h2 |
R2 |
|
h2 |
R2 |
- положение электрических осей |
1 |
1 |
|
2 |
2 |
|
Метод зеркальных изображений
Используется для расчета поля заряженных проводников , расположенных вблизи плоских поверхностей, ограничивающих проводящую среду
jy
+q |
+q |
|
|
|
jy |
|
h |
|
h |
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|||
|
|
U = const |
|
U = |
const |
Сопоставляя левую и правую картины полей , можем |
h |
|
|
||
утверждать, что из-за одинаковой геометрии и граничных |
|
|
|
||
условий картины поля в верхней полуплоскости идентичны, |
|
|
|
||
а, следовательно, все характеристики поля полностью |
|
|
|
||
совпадают. |
|
|
–q |
||
|
|
|
|
||