Применение метода зеркальных изображений возможно и в случае, когда заряды находятся внутри диэлектрика между гранями двугранного угла « », образованного проводящими поверхностями, если
- 2 |
+ 1 |
+ 1 |
- 11 |
2 |
|
Отразим заряд + 1 от вертикальной стенки, вследствие чего появится второй заряд противоположного знака – 2 , и оба эти заряда оказались расположенными над горизонтальной проводящей плоскостью. Отразим эти заряды в горизонтальной плоскости и получим еще два заряда ( 21 и – 11). Полная система из четырех зарядов образует картину поля в диэлектрике, часть которой в первом квадранте совпадает с исходной картиной поля.
Метод конформных отображений
Расчет поля методом конформных отображений основан на том, что существует возможность отобразить с помощью некоторого математического преобразования заданную область в комплексной плоскости « z » (x + jy) на так называемую каноническую область в комплексной плоскости « ω » ( ξ+j ).
jy
Z |
1 |
ω |
j |
|
Z |
|
|
|
1 |
2 |
ω |
|
2 |
|
|
|
ωk |
|
|
|
ZK |
|
|
X |
ξ |
Преобразование называется конформным, так как при переходе от одной области к другой либо обратно сохраняются углы в точках пересечения между любыми линиями в обеих областях z = ω
Существует общий подход к преобразованию произвольной многоугольной области, ограниченной ломаной линией на верхнюю полуплоскость и обратно с помощью интеграла Кристоффеля-Шварца
1. Двугранный угол ( ) – поле между двумя проводящими плоскостями, сходящимися под углом
jy
z
U = 0
B
C
A |
U = 0 |
|
|
|
|
X
j
C
B |
A |
ξ |
|
|
|
( z)
Положение точки на первой грани (точка A) :
z |
|
r e j0 |
- в исходной области Z |
|
|
r |
|
- в области ω |
|||||
A |
A |
|
|||||||||||
|
A |
|
|
|
A |
||||||||
|
|
|
|
Положение точки на второй грани (точка B) : |
|||||||||
zB |
rB e j |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
- в исходной области Z |
B |
rB |
|
e j rB |
|
- в области ω |
|||||||
|
|
||||||||||||
j
zС rС e 2
Положение любой точки на биссектрисе угла (точка C):
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
- в исходной области Z |
С |
rС |
|
e |
2 |
jrС |
|
- в области ω |
|
|
|
||||||||
2. Бесконечно глубокий проводящий паз шириной d
|
|
jy |
|
|
Z |
j |
|
||
|
|
|
|
||||||
A |
|
F |
D |
|
|
||||
|
|
E |
|
|
|
F |
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
B |
O |
C |
A B |
O C D |
|
||||
|
|
||||||||
|
|
|
|||||||
sin z d
zC ,B d
2
zD ,A d jy
2
zE jy
Положение угловых точек B и C
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
sin |
2 |
|
sin |
1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
C ,B |
|
|
|
|
|
d |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Положение точек A и |
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
( |
d |
jy) |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
y |
|
y |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
D,A sin |
2 |
|
|
sin( |
j |
) 1 ch |
|
j0 sh |
ch |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
d |
d |
|||||||||||||||||
|
|
d |
|
|
|
2 |
|
|
d |
|
|
|
d |
|
|||||||||||
Положение точки E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
E |
sin j |
y |
|
j sh |
y |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|||||||
3. Плоскость с вертикальным выступом (стеной), высотой (h)
jy j
B |
z |
|
|
B |
0 |
|
z0 |
|
h
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
A |
D |
A |
O |
C |
O |
D |
|||
|
|||||||||
|
|
|
z 2 h2
zC jh
z0 0
zDA x
zB jy
Положение точки C
C 0
Положение точки O
0 h
Положение точек A и D
DA 
x 2 h2
Положение точки B
(y>h) B j |
y2 h2 |
Комплексный потенциал и плотность заряда ( ) на примере
плоскости с выступом
z0 = x0 + jy0 |
Координата заряженного провода + в плоскости Z |
||
|
|
|
0 j 0 - координата заряженного провода + в плоскости |
0 |
z0 |
2 h2 |
|
Используем метод зеркальных изображений
0* 0 j 0
Координата зеркально расположенного заряда
Комплексный потенциал в системе двух зарядов
W ( ) |
j |
0 |
|
j |
0* |
||
|
ln |
|
|
ln |
|
||
2 |
0* |
2 |
0 |
||||