Преобразуем выражение для корня характеристического уравнения:
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
1 |
j |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
(1 j) |
|
(1 j)k |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
j e 4 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда решение для напряженности магнитного поля можно представить в виде:
|
( 1 j ) kz |
|
( 1 j ) kz |
|
H m A1e |
A2 e |
|||
|
|
При z, стремящемся к бесконечности, множитель ekz и напряженность магнитного поля также стремятся к бесконечности, что невозможно из физических соображений, поэтому: A2 = 0
Окончательное выражение для напряженности магнитного поля примет
вид: |
|
|
|
(1 j )kz |
|
|
H m A1e |
|
|
|
Постоянную A1 определим из граничных условия на поверхности раздела проводника и диэлектрика при z = 0.
Hme Hm0
z
Так как волна распространяется по направлению, перпендикулярному к поверхности проводящей среды, то вектор напряженности: магнитного поля в диэлектрике Hme расположен параллельно границе и равен вектору напряженности
магнитного поля внутри проводящей среды вблизи ее поверхности Hm0 (ввиду равенства на границе касательных составляющих). Поэтому, зная параметры волны у поверхности проводящей среды в диэлектрике, определяем постоянную A1 из граничного условия:
при z = 0 |
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
||
H m0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
(1 j )kz |
|
kz |
|
jkz |
|
Окончательно можем записать: |
H m H m 0 e |
H m 0 e |
e |
|||||||
|
|
|
||||||||
Полученное в комплексном виде решение представим в виде мгновенного значения:
|
|
H H m 0 e kz sin( t H 0 |
kz ) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Запишем решение для комплексной амплитуды напряженности электрического поля Em |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 j)k |
|
|
( 1 j ) kz |
|
(1 j)k |
|
|
|
|
|
|
1 dH m |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
E m |
|
|
|
|
|
|
H m 0 e |
|
|
|
|
H m |
|
||
dz |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отношение комплексных амплитуд электрической и магнитной напряженности определяет волновое комплексное сопротивление ( Z ) проводящей среды для синусоидальной электромагнитной волны:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
E |
|
(1 j)k |
|
(1 j) |
|
|
|
|
|
(1 |
j) |
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
m |
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
e 4 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
H m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Это сопротивление имеет вещественную и мнимую часть, что свидетельствует о наличии тепловых потерь в проводнике и сдвиге по фазе ( = + /4), между волнами электрической и магнитной напряженности во временной области.
Волновое сопротивление можно представить и в алгебраической форме:
Z (1 j) |
|
R jX |
R X |
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
||||
|
2 |
|
|
|
||
Окончательное выражение для комплексной амплитуды напряженности запишем в показательной форме:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j( kz |
|||||
|
|
|
j |
|
|
kz |
|
jkz |
|
kz |
|
) |
|||||
|
4 |
|
|
4 |
|||||||||||||
E m |
Z H m |
e |
|
|
|
|
H m 0 e |
|
e |
|
|
|
H m 0 e |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Мгновенное значение напряженности электрического поля имеет вид:
E H m 0 |
|
e kz sin( t H |
|
kz |
|
) |
|
0 |
|
||||
|
|
|
4 |
|
||
Плотность тока проводимости определяется из соотношения Jпр = E и
равна:
J E H m0 |
|
e kz sin( t H 0 |
kz |
|
) |
|
|
||||||
|
||||||
|
|
|
4 |
|
||
В рассматриваемом случае плоской электромагнитной волны векторы напряженности электрического и магнитного поля взаимно перпендикулярны в пространстве. Построим кривые, изображающие качественное распределение напряженности электрического
и магнитного поля вдоль оси z для некоторого момента времени (t = 0),
принимая, что начальная фаза H 0 |
0 |
x
Hy
z
0 
v
Ex
y
Волна напряженности магнитного поля отстает по фазе от волны напряженности электрического поля на 45 градусов. Амплитуды обеих волн по мере продвижения вдоль оси z вглубь проводника затухают со скоростью, определяемой множителем e-kz.
Длина волны и затухание
При изменении координаты на величину длины волны (z = ) ее аргумент изменяется на 2 , поэтому длину волны определим из соотношения k = 2 .
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
k |
|
|
|
|
f |
|
|
|
f |
|
||
2
С ростом проводимости и магнитной проницаемости среды, а также частоты синусоидального сигнала длина волны уменьшается. На расстоянии равном длине волны (z = ) амплитуды напряженности электрического и магнитного поля изменяется в e-k раз:
e k e 2 |
1 |
0,002 |
|
e6,28 |
|||
|
|
то есть составляет лишь около 0,2% от значения амплитуды волны на поверхности проводящей среды.
При толщине проводника большем чем длина волны прямая волна затухает и наше предположение об отсутствии отраженной волны (равенство нулю константы А2 ) при нахождении решения дифференциального уравнения совершенно справедливо.
Длина волны в различных материалах.
f |
|
Cu |
Fe |
Морская |
Почва |
|
|
(медь) |
(железо) |
вода |
|
50 |
Гц |
59 мм |
4,5 мм |
450 м |
4500 м |
500 |
кГц |
0,59 мм |
0,045 мм |
4,5 м |
45 м |
Первые два столбца таблицы позволяют оценить толщину медного или ферромагнитного экрана, обеспечивающую полное экранирование помех различных частот. Два других столбца позволяют понять, почему невозможна связь с помощью электромагнитных волн под водой и с подземными объектами.
Скорость электромагнитной волны в проводящей среде.
v |
|
f f |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
T |
|
k k |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Скорость распространения электромагнитной волны в проводящей среде пропорциональна корню из частоты
1.Чем выше частота, тем больше скорость распространения волны, однако, уменьшается длина волны, т. е. волна затухает быстрее
2.При уменьшении частоты скорость распространения волны стремится к нулю.