Пример
Определим магнитный поток, сцепляющийся с прямоугольной рамкой, расположенной в одной плоскости с прямолинейным проводником с током, причем две стороны рамки параллельны проводнику с током
i |
|
|
|
|
0 |
dz |
||
|
|
|
|
|
|
z |
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
r1 |
|
|
|
– L |
a |
|
+ L |
|||||
|
|
|
b |
|
r2 |
|||
|
|
|
|
|
A1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ak |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
h
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
A Az |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A dl h( A1z |
|
A2z ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
z r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
A |
A |
|
|
0i |
L |
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
dz |
0i ln( z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) ln( z |
|
|
|
|
) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2 |
a2 |
|
|
z 2 |
|
b2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
||||||
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z 2 a2 |
|
|
|
|
|
|
|
z 2 b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
||||||||||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L L2 |
a2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
z 2 a2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
z 2 a2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L L2 |
b2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
z |
|
z 2 b2 |
|
|
|
|
|
|
z |
|
z 2 b2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 A2 |
|
|
0i |
ln |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0i h |
ln |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Простота вычисления магнитных потоков с помощью векторного потенциала позволяет успешно использовать векторный магнитный потенциал для расчета собственных и взаимных индуктивностей
Расчет индуктивностей.
Общие выражения для взаимной и собственной индуктивностей
Выражения для индуктивностей будем получать в предположении, что в проводниках протекают равномерно распределенные по сечению постоянные токи. Предварительно введем понятие о внешнем и внутреннем магнитном потоке
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
Часть трубок магнитного потока (1 – 6), сцепленных с витком, не проходит сквозь проводник с током, а поток, созданный этими трубками называется внешним магнитным потоком. Трубки магнитного потока, проходящие сквозь материал проводника, сцепляются только с частью тока в проводнике и создают магнитный поток,
называемый внутренним магнитным потоком.
Индуктивности массивных контуров
Определение взаимной индуктивности между двумя массивными контурами.
J1 |
dl1 |
|
J2 |
|
|
r |
dl2 |
||
|
|
1 |
l2 |
2 |
|
i2
i1
|
|
21 |
|
|
|
M 21 |
|
21 A2 dl2 |
|||
i1 |
|||||
|
|
l2 |
|
||
Элементарное потокосцепление с трубкой тока во втором контуре определяется отношением тока в этой трубке к полному току второго контура:
|
di |
|
di |
|
|
|||
d 21 |
|
2 |
21 |
|
|
2 |
A2 dl2 |
|
i |
2 |
i |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
l2 |
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( A2 dl2 )( J 2 ds2 ) |
1 |
( A2 J 2 )( dl2 ds2 ) |
||||||
i |
i |
||||||||
2 |
l |
|
|
2 |
l |
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
Полное потокосцепление взаимоиндукции второго контура получим, проинтегрировав полученное выражение по всем трубкам тока во втором контуре, т.е. всему объему второго контура:
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
( A2 J 2 )( dl2 ds2 ) |
1 |
( A2 J 2 )dv2 |
|||||||
i |
i |
|||||||||
2 |
S |
l |
|
|
2 |
V |
2 |
|
||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Величина векторного магнитного потенциала в точках второго контура определяется с помощью полученного ранее решения уравнения Пуассона для векторного магнитного потенциала через плотность тока в первом контуре:
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
J1dv1 |
||
A2 |
|
|
|||
4 V |
r |
||||
|
|
||||
|
1 |
|
|||
Тогда потокосцепление взаимоиндукции второго контура можем представить в виде:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
0 |
|
J1dv1J 2 dv2 |
|
0 |
|
J1J 2 dv1dv2 |
||||
4 i |
|
r |
4 i |
|
r |
||||||
|
2 V V |
2 |
|
|
|
2 V V |
2 |
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
||
Взаимная индуктивность между вторым и первым контуром можно вычислить из соотношения:
|
|
|
|
|
|
|
|
dv dv |
|
M 21 |
|
|
|
J |
J |
2 |
|||
21 |
|
0 |
|
1 |
|
1 2 |
|||
i |
4 i i |
|
|
|
r |
||||
|
1 |
|
1 2 V V |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
При определении взаимной индуктивности между первым и вторым контуром необходимо определить потокосцепление первого контура, задав ток во втором контуре. Проделав аналогичные вычисления, получим:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
0 |
|
J1J 2 dv1dv2 |
M 12 |
12 |
|
0 |
|
J1J 2 dv1dv2 |
M 21 |
||||
4 i |
|
r |
i |
4 i i |
|
r |
||||||||
|
1 V V |
2 |
|
|
|
2 |
|
1 2 V V |
2 |
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
Таким образом, взаимная индуктивность между двумя контурами получается одинаковой, независимо от порядка ее вычисления, т.е. соблюдается принцип взаимности. Взаимная индуктивность не зависит от токов в контурах, так как плотности токов, стоящие в числителе, изменяются пропорционально токам контуров, стоящим в знаменателе. Взаимная индуктивность зависит от формы, размеров и взаимного расположения двух контуров и от распределения токов по сечению контуров.
Определение собственной индуктивности массивного контура. При определении собственной индуктивности применим полученную формулу для расчета взаимной индуктивности двух одинаковых, совмещенных друг с другом контуров. В этом случае токи в контурах совпадают (i1 = i2 = i), объемы контуров одинаковы (V1 = V2 = V), а взаимная индуктивность переходит в собственную индуктивность (M12 L):
|
|
|
|
|
L |
0 |
|
|
JJ \ dvdv\ |
4 i |
2 |
r |
||
|
|
V V \ |
Переменное электромагнитное поле
в диэлектрике
В переменном электромагнитном поле наблюдаются одновременно обе, рассмотренные ранее нами в отдельности, его стороны. Связь между ними дают первое и второе уравнения Максвелла – закон полного тока и закон электромагнитной индукции:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
B |
|
dH |
||||||
rot H J E V |
rot E |
|
|||||||
t |
|||||||||
t |
t |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
Анализируя переменное электромагнитное поле в диэлектрике, считаем диэлектрик идеальным ( =0) и предполагаем отсутствие в нем объемных зарядов ( =0). Тогда:
|
|
|
|
||
D |
|
E |
|||
rot H J |
|
||||
|
t |
||||
|
|
t |
|||
dH rot E
t
Запишем оба уравнения в проекциях на оси декартовой системы координат:
H z
y
H x
z
H y
x
H y
z
H zx
H xy
E x ;
t
E y ;
t
E z ;
t
E z
y
E x
z
E y
x
E y
z
E zx
E xy
H x ;
t
H y ;
t
H z ;
t