Теоретические основы электротехники
Теория электромагнитного поля
ВШВЭ, проф. Л. И. Сахно 2020
1
Электростатическое поле
Определение электростатического поля
Электростатическое поле создается неподвижными (по отношению к наблюдателю) электрическими зарядами. В таком поле отсутствуют электрические токи (J=0), а, следовательно, (при отсутствии намагниченных тел) и магнитное поле (H=0; B=0).
Из полной системы уравнений электромагнитного поля для электростатического поля получаем:
. |
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
div D |
D E |
||
|
rot E |
0 |
||||
|
|
|||||
t
В реальных устройствах объемные заряды в диэлектрике не могут находиться в покое, т.е. появляются электрические токи, что нарушат статичность поля. Поэтому
во многих случаях второе уравнение имеет нулевую правую часть:
div D 0
Потенциальность электростатического поля
Векторное поле , ротор которого равен нулю , называется безвихревым или
потенциальным
|
|
|
|
rot Eds |
Edl 0 - из теоремы Стокса |
||
S |
|
l |
|
Это соотношение определяет независимость интеграла между фиксированными точками от пути интегрирования
p |
|
|
- электрический потенциал |
|
|
b |
|
|
|
U a |
U b |
Edl |
|||||
U а Edl |
|
|||||||
а |
|
|
|
|
|
a |
|
|
P - точка нулевого потенциала
Связь между потенциалом и напряженностью электрического поля
la
lp
O
|
E |
P |
l p |
l p |
|
|
U |
Edl E cos dl |
|||
|
|
||||
|
|
|
l |
l |
|
|
|
|
|
||
a |
dl |
|
U |
E cos |
|
|
|
||||
|
|
|
|||
l
Скорость изменения потенциала вдоль некоторого направления равна проекции вектора напряженности электрического поля на это направление со знаком минус.
Проводя кривую l по разным направлениям, получим:
1. Проходя через точку «a» в направлении осей координат:
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
Ex |
|
E y |
|
|
|
|
U |
E z |
||||
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
z |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. Проходя через точку «a» по линии l1 |
перпендикулярно вектору напряженности |
|||||||||||||||
электрического поля и вдоль него по линии l2 , получим: |
||||||||||||||||
|
U |
E cos 900 |
0 |
|
|
U |
E cos 00 E |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
l1 |
|
E |
|
|
l2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
l1 |
|
Поверхности, перпендикулярные силовым линиям, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
l2 |
называются равнопотенциальными |
|||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
(эквипотенциальными). Это направление |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
обозначают через «a» |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
U |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l1 |
|
a |
|||
Направление вдоль линии напряженности перпендикулярно поверхности равного потенциала. Часто это направление обозначают через «n», имея в виду нормаль к равнопотенциальной поверхности, тогда последнее соотношение можно записать иначе:
|
|
|
|
|
U |
U |
E |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
U |
|
|
|
l2 |
n |
|
|
|
|
|
||||
Производная |
ведет себя как вектор, имеет составляющие, определяемые |
||||||||||||||
n |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
направляющими косинусами, и называется градиентом потенциала. |
|||||||||||||||
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
gradU E |
|
|
||||||||
|
|
|
n |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
U |
U |
|||||
|
|
E gradU U |
|
i |
|
j |
|
k |
|||||||
|
|
x |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
z |
|||||
Уравнения Пуассона и Лапласа
Преобразуем уравнения электростатического поля, выразив векторные величины через потенциал:
div D
div( E ) div ( grad U )
Если const |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
div gradU |
- уравнение Пуассона в инвариантной форме |
||||||||||||
|
|||||||||||||
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
div gradU 2 |
U |
|
U |
|
U |
|
U |
- уравнение Пуассона в декартовой системе |
|||||
2 |
2 |
2 |
|||||||||||
|
|||||||||||||
|
x |
|
y |
|
z |
|
|
координат |
|||||
div gradU 2U U 0 |
|
|
|
|
|
||||||||
- уравнение Лапласа |
|||||||||||||
- оператор Лапласа
Основная задача электростатики
Общей задачей расчета электрического поля является определение напряженности во всех его точках по заданным зарядам или потенциалам тел.
Распределение потенциала в пространстве позволяет определить напряженность электрического поля , вектор смещения и поляризации в любой точке пространства
Определение потенциала обычно является более простой задачей, чем расчет напряженности, поскольку:
1.Он является скалярной, а не векторной величиной
2.Граничные условия проще;
3.Потенциал может быть определен как решение одного дифференциального уравнения, в то время, как напряженность определяется решением системы трех уравнений;
4.Потенциал – функция непрерывная, напряженность электрического поля на границах раздела сред с разными диэлектрическими проницаемостями может изменяться скачком.
Поэтому определение пространственного распределения потенциала часто называют
основной задачей электростатики
Определение потенциала по заданному распределению заряда
Для уединенного точечного заряда: U |
q |
|
|
|
|
|
|
4 r |
|
1 |
n |
qk |
|||
Для совокупности точечных зарядов, распределенных в |
U |
|
|||||
|
rk |
||||||
ограниченной по размерам области пространства: |
|
4 k 1 |
|||||
Если задана система тел с зарядами, причем известно распределение зарядов в пространстве, то можно все распределенные заряды разбить на элементарные заряды dq , каждый из которых можно рассматривать как точечный. Составляющая потенциала от каждого элементарного точечного заряда равна:
dU dq
4 r
Потенциал от совокупности элементарных зарядов получаем интегрированием:
U |
dq |
|
1 |
|
dq |
4 r |
4 |
r |