Уравнения перечисленных простейших и любых других термодинамических процессов могут быть представлены одним уравнением. Это уравнение называется уравнением политропы, а термодинамические процессы, описываемые этим уравнением, называются
политропными.
Политропные процессы
Политропным процессом с постоянным показателем
называется обратимый термодинамический процесс изменения состояния простого тела, подчиняющийся
уравнению |
p1 / n ×v = idem = C1 ; |
pvn = idem = C; |
p1v1n = p2v2n
где п – показатель политропы, являющий в рассматриваемом процессе постоянной величиной, которая может иметь любые частные значения - положительные и отрицательные (-¥ £ n £ +¥).
Физический смысл показателя политропы п
определяется после дифференцирования уравнения политропы pvn = idem = C;
vn × dp + n ×vn -1 × pdv = 0
n = - vdp = dw = w1,2 pdv dl l1,2
Это значит, что постоянный показатель политропы определяется соотношением потенциальной и термодинамической работ в элементарном или конечном процессах. Значения этих работ могут быть определены графически в координатах p - v
В логарифмических координатах политропный процесс (политропа) с постоянным показателем
представляет собой прямую линию
log p + n ×log v = log C
При этом, постоянный показатель политропы определяется как тангенс угла наклона линии процесса к оси абсцисс ( a )
n = |
dw |
= - |
vdp |
= |
d log p |
= tga = |
log( p1 / p2 ) |
|
dl |
|
|
log( v2 / v1 ) |
|
||||
pdv |
d log v |
|||||||
Из соотношения показателя политропи следует, что для изобарного процесса np = 0 , для изохорного процесса nv = ± ∞, для изопотенциальног процесса npv = 1 (для идеального газа npv = nt = nu = nh =1 , это означает, что для
идеального газа изоротенциальный, изотермический, изоэнергетический и изоэнтальпийный процессы совпа дают), для адиабатного процесс n = k.
Работа в политропных процессах Выражения конечных (интегральных) величин
термодинамической и потенциальных работ в политро-
пных процессах |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
× p1v1 ×(1 - t1,2 ) |
|||||||
l = |
p1v1 |
|
×(1 - t |
); w1,2 = n ×l1,2 |
= |
|
|
|
||||||||||
|
n -1 |
|||||||||||||||||
n - 1 |
||||||||||||||||||
1,2 |
|
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
p2v2 |
|
|
|
|
n-1 |
æ v |
ön-1 |
||||||
|
t |
|
|
= |
æ |
p |
|
ö n |
||||||||||
|
1,2 |
|
|
|
= ç |
|
2 |
÷ |
|
ç |
|
1 |
÷ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
p1v1 |
ç |
|
|
÷ |
= ç |
|
|
÷ |
||||||
|
|
|
|
|
è |
p1 ø |
|
è v2 |
ø |
|||||||||
для идеального газа pv = RT и
t1,2 = p2v2 = T2
p1v1 T1
Теплообмен в политропном процессе для простых тел выводится также на основе рассмотрения выражения первого начала термодинамики
dq = du + dl.
Удельная внутренняя энергия для простых тел может быть представлена в виде функции u =и (p, v).
Тогда дифференциал внутренней энергии запишется в следующем виде:
æ |
¶u ö |
dv |
æ |
¶u ö |
du = ç |
÷ |
+ ç |
÷ dp |
|
è dv øp |
ç |
÷ |
||
è dp øv |
||||
Последнее выражение можно представить в виде
|
1 |
æ |
¶u ö |
|
|
1 |
æ |
¶u ö |
du = |
|
×ç |
÷ |
× pdv |
+ |
|
×ç |
÷ ×vdp |
|
|
|||||||
|
p |
è dv øp |
|
|
v |
ç |
÷ |
|
|
|
|
è dp øv |
|||||
Введем следующие обозначения:
|
|
|
1 |
æ |
¶u ö |
|
a |
|
|
1 |
æ |
¶u ö |
a |
v |
= |
|
×ç |
÷ |
, |
p |
= |
|
×ç |
÷ |
|
|
|
|||||||||||
|
|
p |
è dv øp |
|
|
v |
ç |
÷ |
||||
|
|
|
|
|
|
è dp øv |
||||||
При этом выражение примет вид:
du = av × dl - ap × dw =
= av × dl - ap × n × dl =( av - n × ap ) × dl
Подставив полученное уравнение в выражение первого начала термодинамики
dq = du + dl. получим
dq =( av - n ×ap +1)×dl.
Для определения величин (a p и av ) рассмотрим два
термодинамических процесса: Изоэнергетический процесс (u = idem, du = 0 ,n = nu.)
Так как в изоэнергетическом процессе |
dl ¹ 0, |
|
av - nu × a p = 0, |
av = nu ×ap |
|
Адиабатный процесс (d q = 0). Для этого процесса
показатель политропы принимает значение n = k и элементарная термодинамическая работа также не равна нулю
av - k × ap + 1 = 0, nu ap - kap = -1 отсюда
a p = |
1 |
, |
av = |
nu |
|
k - nu |
k - nu |
||||
|
|
|
С учетом полученных соотношений для определения av и ap, находим выражения для расчета удельных значений изменения внутренней энергии и теплообмена в элементарном
процессе: |
|
nu - n |
|
|
k - n |
|
|
du |
= |
× d |
dq = |
×dl |
|||
|
|||||||
|
|||||||
|
k - nu |
l , |
|
k - nu |
|||
|
|
|
|
||||
Соотношения для расчета удельных значений изменения
внутренней энергии и теплообмена в конечном процессе имеют следующий вид:
Du1,2 |
= |
nu - n |
× l1,2 ; |
q1,2 = |
k - n |
×l1,2 |
|
|
|||||||
|
|||||||
|
|
k - nu |
|
k - nu |
|||
Для идеального газа nu = 1