Метод._MathCAD_Prime

51

Лабораторная работа 4. Решение систем уравнений

Цель: познакомиться с различными способами решения систем уравнений в системе MathCad Prime.

1. Решение систем линейных уравнений матричным методом

Матричный метод. Система линейных уравнений в матричной форме имеет вид Ax B Где, A – матрица коэффициентов системы линейных уравнений; B – вектор свободных членов; x – вектор решения. Решение получают по формуле: x A 1 B , Где, A 1 – обратная матрица. Решение существует, если определитель матрицы A 0 .

Упражнение Решить систему линейных алгебраических уравнений:

x 2 y 3z 7x 3y 2z 5x y z 3

Порядок выполнения:

иполучите решение системы уравнений.

5.Сделайте проверку полученного результата, для этого наберите

· . Если решение найдено верно, то результат совпадет с вектором

.

52

Вид документа Mathcad Prime:

2. Решение систем линейных уравнений с помощью функции

Для решения системы линейных уравнений в Mathcad Prime используют функцию , Где, – матрица коэффициентов системы линейных уравнений; – вектор свободных членов.

В функции запрограммирован численный метод LU-разложения, основанный на алгоритме последовательных исключений Гаусса. Он состоит в преобразовании матрицы A линейной системы к треугольному виду, т. е. к форме, когда все элементы ниже главной диагонали матрицы являются нулевыми. Точнее, исходная система заменяется эквивалентной системой с другой матрицей и другим вектором правых частей , но имеющей то же решение, что и исходная система.

Упражнение Решить систему линейных уравнений:

x 2 y 3z 12x 3y z 2x 2 y 5z 3

Порядок выполнения:

1.Введите матрицу , состоящую из коэффициентов

2.Введите вектор B – вектор свободных членов уравнений, стоящих справа от знака равно.

53

3. Для решения системы линейных уравнений введите функцию

Вид документа Mathcad Prime:

3.Решение систем нелинейных уравнений с помощью «блока решений»

Если необходимо решить систему нелинейных уравнений, то рассмотренные выше методы не годятся. Для этих целей в Mathcad Prime имеются функции и , применение которых предусмотрено только в «блоке решений».

Блок решения – это контейнер, который может содержать любые другие области. Блоки решения используются для решения систем линейных, нелинейных или дифференциальных уравнений, а также для решения задач оптимизации. Блоки решения осуществляют поиск решения методом итераций, начиная с заданных значений начальных приближений. Часто найденное решение является аппроксимацией фактического решения, приемлемость которой определяется значениями допуска сходимости и допуска ограничения .

Каждый блок решения может иметь только одну функцию решения. Однако если в конце одного блока решения определить какую-либо функцию, например ( ), то ее можно будет использовать в другом блоке решения. Первый блок решения при этом называется параметризованным блоком решения.

Кроме функции в блоке решений необходимо задать начальные приближения, а также начальные или граничные условия. Начальное приближение к корням системы уравнений можно определить графическим способом. Если ожидается, что решение будет

54

должен содержать уравнений. Допускается матричное представление как при решении с матричными переменными.

Функции ( ), ( ) возвращают значения удовлетворяющие уравнениям и неравенствам, заданным в блоке решения. Аргументы являются скалярами или переменными-массивами, имеющимися в системе уравнений. Эти функции могут использоваться только в блоке решения!

Функция выбирает подходящий метод из группы имеющихся методов в зависимости от того, является задача линейной или нелинейной, а также исходя из других параметров.

Функция отличается от функций тем, что если выбранный алгоритм не сходится, то возвращается ответ, найденный на последней допустимой итерации, даже если он не удовлетворяет критерию

Если имеется только одна неизвестная переменная, решением будет скаляр. В противном случае решением будет вектор, в котором первый элемент – переменная , второй – и т. д.

Вставка в документ блока решения:

Примечание: При вводе уравнения, вместо обычного знака равенства = необходимо использовать логический оператор сравнения (жирный знак равенства ).

55

Порядок выполнения:

1.Постройте графики для обеих уравнений.

2.Вставьте блок решения.

4.Введите заданные уравнения, используя логический оператор сравнения из вкладки Математика/Операторы/Сравнение.

5.Для получения решения, введите функцию , и затем

обычный знак равенства .

Вид документа Mathcad Prime:

xy2 1 0

y ex 0

56

Порядок выполнения:

1.Вставьте блок решения.

2.Введите начальные приближения и .

3.Введите заданные уравнения, используя логический оператор сравнения из вкладки Математика/Операторы/Сравнение.

4.Для получения решения, введите функцию , и затем

обычный знак равенства .

Вид документа Mathcad Prime:

57

Таблица 1

58

Таблица 2

59

Таблица 3

60