683

ро'3под1:ту. Розрахунки характеристик вибірки. Метод добутку обчислення

вибіркової середньої та дисперсії.

Елементи теорії кореляції

Кореляційна залежність. Метод найменших квадратів. Знаходження па­ раметрів вибіркового рівняння прямої лінії регресії. Кореляційна таблиця.

Вибірковий коефіцієнт кореляції. Статистична перевірка статистичних гіпо­

тез. Статистичні критерії. Критична область та критичні точки. Емпіричні та

теоретичні частоти. Критерії Пірсона. Побудова нормальної кривої за експе­

риментальними даними.

ЛІТЕРАТУРА

1. Гмур:ман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.:

Вь1сшая школа. - 1977.

2. Гмурман 8. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистике. М.: Вь1сшая школа. - 1977.

3.Вентцель Е. С. Теория всроятностсй. М.: Наука. - 1969.

4.Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевнилова Т. Я. Вь1сшая математика в

упражнениях и задачах. Часть Il. М.: Вь1сшая школа. - 1980.

5.Ильчук А. В., Накашидзе Г. М. Методические указання к решению за­ дач по теории вероятностей. Часть 1. Днепропетровск, ДИИТ. - 1984.

6.Ильчук А. В., Накашидзе Г. М. Методические указання к решению за­

дач по теории вероятностей. Часть ІІ. Днепропетровск, ДИИТ. - 1986.

4

Елементи комбінаторики

Комбінаторика - роздrл математики, що вивчає різні типи розміщення

об'єктів та методів підрахунку усіх можливих засобів, як ці розміщення мо­

жуть бути викопані.

Основні принципи комбішпорики (принцип додавання І правило мно­

ження).

І. Принцип додавання. Якщо елемент А 1 із даної множини необхідно

вибрати п І способами, елемент А 2 - п 2 способами і т. п., елемент А k - п k

способами, тоді хоч би один із елементів Аі ( і= 1, 2, 3" .. , k) може бути виб­

раний (п І +п 2 + ... +п k) способами.

При цьому вибори А 1, А 2 , А 3 , ... , А k повинні бути несумісні і взаємо-

ВИКЛЮЧНІ.

2. Принцип множення. Нехай треба послідовно виконати k дій. Якщо

першу дію можна виконати п 1 способами, після чого другу- п 2 способами,

потім третю - п 3 способами і т. п. до k-ї дії, яку можна виконати п k спосо­ бами, то всі k дій разом можуть бути виконані N =п 1 ·п 2 ·п3 ·... ·k п спосо­ бами. Кожна із дій повинна бути незалежною.

Сполуки. Сполукою з п елеме1пів по k називають k елементну під,1\1ножн-

ну, яка утворена із поданої п елементної множини. Число таких сполук С~

знаходять за формулою

k п!

Сп= k!(n-k)!'

де п!= І· 2 · 3 ·".-п.

Одна сполука відрізняється від іншої хоч би одним елементом. Розл1іщення. Розміщенням із п елементів по k нюивається впорядкована

підмножина, яка має k еле:v~снтів та утворена із скіпченої п елементної мно-

жини. Число всіх k елеl'.1ентних розміщень позначають через А~ і обчислю­

ють наступним виразом:

Одне ро-зміщення відрізняється від іншого як елементами, так і порядком

їх розташування.

5

Перестанов1'.u. Різні впорядковані множини, які утворені з однієї множи­ ни, називаються перестановками. Число перестановок множини з п елементів

дорівнює Рп =п!

Перестановки відрізняються одна від іншої тільки порядком розташуван­ ня елементів.

Перестанов;си з повторен11юли. Число різних перестановок, які можна утворити з елементів, серед яких є k 1 елементів першого типу, k 2 е,1емептів

другого типу, ... , k т елементів т-го типу, дорівнює

Зауваження: між сполуками, роз:v~іщенням і перестановками існує такий

зв'язок:

A k _ Ckk'- C'kp

п- п . - п k

Приклад. На диску секретного замка нанесені !2 літер, а відкрити замок мож­ ливо тільки набравши одну визначену комбінацію з 11'яти літер. Скільки неві\алих спроб зробить людина, щоб відкрити замок, якщо:

а) людина не знає секретне слово;

б) відомо тільки те, що секретне слово записане з різних букв.

Кількість спроб у першому випа1~ку підраховується як число розм1щень з

п= 12 елементів по k = 5 елементів і можуть повторюватися. тобто

а в другому випадку розміщення без повторень. Тоді

А~2 = 12 · ! І · ІО·9 · 8 = 95040 .

Приклад. Група студентів вивчає дев'ять різних пред~1етів. Кожний день 1аняття проводять по 'Ютирьох із них. Скількома способами :.южливо:

а) вибрати чотири нредмети на один день; б) скласти розклад занять на ОJ\ІІН 11ень;

в) скласти розклад на один )\ень з вказаних чотирьох пре;1метів.

6

Випадкові подіі

Подія, яка внаслідок експерименту може з'явитися чи не з'явитися, нази­ вається випадковою. Випадкові події позначають латинськими літерами А, В,

С, D, .... Ймовірність випадкової події позначають Р(А) та обчислюють за

наступною формулою:

де п - загальне (всіляке) число іспитів, т - число іспитів, де з'являється подія

А. Відносна частота W(A) події А є відношення

(2)

де п 1 - загальне число іспитів, т 1 - число іспитів, у яких подія А з'явилась.

Ймовірність добутку Р(АВ) двох незалежних подій А і В знаходять за фо­

де Р(А), Р(В) - ймовірність наступу події А та В; РА(В) -умовна ймовірність події В у припущенні, що подія А відбулась.

Ймовірність суми Р(А +В):

а) двох несумісних подій А та В

б) двох сумісних подій А і В

Р(А +В)= Р(А) + Р(В)- Р(АВ).

Якщо події А та А протилежні (тобто поява однієї виключає наступ дру­

гої), то маємо залежність

Р(А)+Р(А)=1. (6)

Ймовірність Р(А) появи події А, яка може з'явитися тільки внаслідок по­

яви однієї із несумісних подій Ні (і= l, 2, ... , п) , які утворюють повну групу,

знаходять за формулою повної ймовірності

7

і=І

Ймовірність РА (Нk) події (гіпотези) Нk, після того як подія А здійсни­

лась, обчислюють за формулою Байєса:

І Р(Ні)РН,(А)

і=І

Схема повторних випробувань

Ймовірність того, що подія А відбудеться рівно k раз в серії з п випробу-

Й:vювірність того, що в серії з п випробувань подія А наступить:

1) менше k разів; 2) більше k разів; З) не менше k разів; 4) вс більше k ра3ів; 5) від k 1 до k 2 разів. :vюжна вшначити з таких співвідношень:

m=k

8

m=k 1

Ймовірність появи події А хоч один ра'~ в n випробуваппях дорівнює

(16)

Для велию1х значень п і k замість формули Бернуллі користуються на­

ближеними значеннями, які знаходимо за локальною формулою Лапласа

Для х ~ 5 функція ср(х) =О. Інші значення ср(х) для додатних х приведені

в додатку І.

Ймовірність того, що в п незалежних випробуваннях подія А наступить не

менше k 1 раз і не більше k 2 раз, визначається за інтегральною формулою

Лапласа

( 18)

Функція Ф(х) -непарна, тобто Ф(-х)=-Ф(х).

Функція Ф(х) затабулірована і її значення приведені в додатку 2.

Для х ~ 5 функцію Ф(х) прий,..шють рівною 0,5.

Якщо ймовірність появи однієї події А ду,ке мала, тобто р близько до О,

або набагато менше, ніж l, а число випробувань п дуже велике і

п· р =Л.= const, то можливо використати наступний вираз:

Ця формула належить С. Пуассону.

9

Ви11адкові ВСЛИЧИІІИ

Випадковою називають таку величину, яка в проведено"'1:у експерименті

приймає те чи інше значення, а..1е невідомо, яке саме.

Випадкові величини поділяють на дискретні та неперервні. Дискретну випадкову величину, яка приймає оr---ремі ізольовані значення, задають за до­

помогою ряду розподілу - таблицею, в якій є перелік всіх можливих значень

хі випадкової величини Хта відповідні їм ймовірпості рі, причому:

ймає будь-яке значення з обмсжепоrо або безмежного інтервалу. Її визнача­

ють за допомогою функції розподілу F(x), яка неперервна на всій числовій

осі R=(--aJ,oo) і має всюди похідну .f(x). Функція розподілу F(x) визнача­

ється чсре:з ймовірність того, що випадкова величина Х приймає значення,

менше за х, тобто

F(x)-=P(X<x).

Властивості функції розподілу:

І. F(x) - невід'ємна, неспадна функція, тобто при

2.Ііm F(x) =О;

X--7 --a:J

3. lim f '(x) = І.

Х--700

Ймовірність попадання випадкової величини Х, яка задана функцією роз­

поділу F(x), в проміжок (а,()) дорівпює приросту F(x) па цьому про~1іжку,

тобто

Р{а s: х < р} = F (()) - F (а) .

!11тсrраль11а функція F (х) для дискретної випадкової величини має сту­

пеневий вигляд. Якщо функцію розподілу F (х) випадкової величини Х мож­

на подати у вигляді

х

F(x) = J.f(t)dt,

10