683

вої величини Х - числа швидких поїздів серед трьох прибувших. Обчислити математичне сподівання.

4.29.Монету підкидають тричі. Скласти закон розподілу та обчислити

дисперсію випадкової величини Х- числа випадань герба.

4.30.Скласти закон розподілу, обчислити математичне сподівання та ди­

сперсію випадкової величини Х- числа карт пікової масті серед наздогад ви­

браних 4-х карт із 36.

5.1-5.15. Відома щільність розподілу f(x) неперервної випадкової вели-

чини Х. Визначити:

І) коефіцієнт А;

2)функцію розподі.1у F(x):

3)схематично на11.-рсслити графіюr /(х) та F(x);

4)вирахувати математичне очікування і дисперсію величини Х;

5) знайти ймовірність попадання випадкової величини па проміжок

5.4. /(х)=Ае-х. при х?:О. a=l; j3=2.

41

5.16-5.30. Відома функція розподілу F(x) неперервної випадкової вели-

чини Х. Потрібно:

І) визначити щільність розподілу /(х);

2) знайти невідо:v1і коефіцієнти А, В;

З) побудувати схематично графіки /(х) і F(x);

4) обчислити зпачеппя математичного очікування і дісперсію величини Х;

42

5) знайти ймовірність попадання випадкової ве;тичини Х у проміжок

(а, 13).

5.17. F(x)=\12+ Aarctgx/2, а=-2, f3=2.

43

6.1. Випадкова величина Х розподілена за нормальним законом розподілу з дисперсією 400. Знайти інтервал, симетричний відносно математичного

сподівання М [х] = 80, в який з ймовірністю 0,9 потрапляє Хпри іспиті. Знай­

ти ймовірність того, що при іспиті випадкова величина Х:

І) відхилення Х за абсолютною всличипою від середнього ·лшчення не

перевищує 50;

2)приймає значення з проміжку (79; 100).

6.2.Випадкова величина Х розподілена за нормальним законом розподілу

зпараметрами М[х] = 1Осм і D[x] = 16 с.и2• Зпайти ймовірність того, що при

іспиті відхи.1ення Х від її середнього значення за абсолютною величиною бу­

де не бі.1ьше 5 см. Знайти інтервал, в якому з ймовірністю 99,73% знаходять­

ся значешrn Х.

6.3. Похибки ВИ.\Іірювання довжини деталі підкорені нормальному розпо­

ділу з параметром D[x] = О,25м.лr2. Знайти ймовірність того, що при вимірю­

ванні навмання обраної деталі:

І) похибка за абсо.1ютною величиною не буде більше І мм;

2)похибка буде знаходитись в межах від - І до 2 л1м.

6.4.Дальність польоту снаряду є випадкова величина, яка розподілена за

нормальни.\1 законом з дисперсією 6400 .и~. Середня да.~ьність польоту дорів­

нює 8000 .и. Знайти ймовірність того, що дальність польоту даного снаряду:

1)перевищує середню дальність не більше ніж на 200 .н;

2)відхи.шться від середньої дюьності не більше ніж на 100 .н. Знайти ін­

тервал, в якому з ймовірністю 0,9973 знаходяться дальності польоту спаря­

дш.

6.5. Випадкова величина Х розподі.1ена за нормюьпи:v1 законом розподілу

з дисперсією D [х] = 16. Знайти інтервал, симетричний відносно мате:v~атич-

пого сподівання М [ х] =І О, в якій з ймовірністю 0,8414 потрапляє випадкова

44

величина Х при іспиті. Знайти ймовірність того, що при іспиті Х приймає значення із проміжку (5, 20).

6.6. Похибки вимірювання фізичної величини є випадкова величина Х,

яка розподілена за нормальним законом розподілу з дисперсією

?

D [х) =О,9 мм - . Знайти ймовірність того, що при вимірюванні навмання об-

раної фізичної величини:

1)похибка буде ·шаходитись в проміжку (О; 1 мм);

2)похибка за абсолютною величиною не перевищує 2 .лнt. Знайти інтер­ вал, в якому з ймовірністю 99,73% знаходяться похибки вимірювання.

6.7. Випадкова величина Т - час знаходження потяга на сортувальній гір­

ці - розподілена за нормальним законом з параметрами t ср =2 години;

D[t) = 1 год2. Знайти ймовірність того, що час знаходження деякого потята па

сортувальній гірці:

І) від 1 години до 3 годин; 2) відхилиться від середнього часу не більше піж на 2 години.

6.8. Відхи,1сння довжини болтів від стандартної, яка дорівнює 80 .м.м, є

випадкова величина, яка розподілена за нормальним законом з cr[ х] = 0,2 мм.

Знайти й:-.ювірність того, що довжина навмання обраного болта буде мати:

1)розмір у межах 80,О І; 80,06 мм;

2)відхилення від стандартної довжини не більше 0,5 "юt.

Знайти інтервал, в якorvry з ймовірністю 99,73% знаходяться довжини бол-

ТІВ.

6.9. Зріст студента - випадкова величина Х, яка ро·шоділсна за нормаль­

ним законом з дисперсією 36 c.i/. Середній зріст студента становить 170 01.

Знайти ймовірність того, що зріст навмання обраного студента:

1)знаходиться в межах від 160 САІ до 180 с.и;

2)відхиляється від середнього зросту не більше ніж на 20 с.11.

6.10.Вертикальні відхилення вагона від руху потяга є випадкова величи­

на х; яка розпо;:~:і,1епа за нормальним законом з дисперсією 4 .~1"н2 . Знайти

ймовірність того, що при русі вертикальні відхилення певного вагона:

І) пе перевищують за абсолютною величиною 3 л1.н;

2) будуть знаходитися в межах від - І до 2 мм. Знайти інтервал, в якому з

й:vювірністю 99, 73% знаходяться вертикальні відхилення вагона.

6.11. Випадкова величина Х, розподілена за нормальним законом з пара­

метрами м[х] = 4 С.И і D[x] = 9 см2• Знайти ймовірність того, ЩО при іспиті:

45

l) вслиqина Х приймає значення із проміжку (О; З);

2) відхилення Х від середнього значення за абсолютною величиною не

перевищує 5 CJvt.

6.12. Зріст жінок є випадкова величина, яка розподілена за нормальним

'Jаконом з дисперсією 49 с.л/ і математичним сподіванням 164 01. Знайти

ймовірність того, що зріст навмання обраної жінки: І) знаходиться від 160 до 170 см;

2) відхиляється від середнього зросту не більше ніж на 12 cir.

6.13. Похибки вимірювання довжини деталі є випадкова величина, яка

розподілена за нормальним законом з дисперсією 0,04 мА~2. Знайти ймовір­

ність того, що похибка вимірювання навмання обраної деталі:

І) знаходяться в проміжку (О; І) мм;

2) за абсолютною величиною не перевищує 0,5 .л-1,1w. Знайти інтервал, в

якому з ймовірністю 0,9973 знаходяться похибки вимірювання.

6.14. Дальність польоту куні є випадкова ве;шчина, яка розпо::1ілсна за

нормальним законом з параметрами М [х] = 2000 м, а[х] = 64 м. Знайти

ймовірність того, що при одному пострілу:

l)куля зробить перельот від середньої дальності не більше ніж на 20 м;

2)відхилення від середньої дальності ту чи іншу сторону не перевищує

15.н.

6.15.Час знаходження вагонів на сортувальній гірці є випадкова величина

Х, яка має параметри М[х]=3 год, D[x]=0,25 год2• Знайти ймовірність то­

го, що час знаходження деякого вагона на сортувальній гірці:

І) буде перевищувати середній час не більше, ніж на 0,5 год; 2) буде знаходитися в межах від 2 год до 5 год. Знайти інтервал, в якому з

ймовірністю 0,9973 знаходиться час перебування вагона на сортувальній гір­

щ.

6.16. Вертикальні переміщеmrя вагона в процесі руху поїзда - випадкова величина Х. яка підлягає нормальному закопу розподілу з дисперсією пере­

міщення D[x]=lб ,«,н2 . Визначити ймовірність того, що:

І) переміщення не перевищить І О Аtн;

2) переміщення будуть знаходиться в іrпервалі 3-8 АНІ.

6.17. Зріст чоловіків є випадковою велиqиною, яка розподілена за норма­ пьним законом з математичним сподіванням а со.- 174 см та дисперсією

46

D [ х] = 25 см2 . Скласти інтегральну та диференціальну функції розподілу.

Обчислити ймовірність того, що наздогад вибраний чоловік:

1)буде мати зріст від 180 до 200 еч;

2)буде мати зріст не менше 170 си.

6.18.Відхилення довжин виготовлених деталей від стандарту є випадко­

вою величиною, розподіленою за нормальним законом з дисперсією

D[х] = 25 м.~/. Яку то•шість довжини деталі можна гарантувати із ймовірніс­

тю 0,9? Яка ймовірність того, що відх1шення довжини наздогад вибраної де­ талі буде не менше 2 мл1 та не більше 4 мм? Ск.1асти та зобразити графічпо­ інтегральну та диференціальну функції розподі,1у.

6.19. Зріст жінок - випадкова величина, розподілена за нормальним зако­ ном з параметрами а= 164 ctt та cr = 5,5 с.м. Обчислити ймовірність того, що зріст випадково вибраної жінки:

І) буде знаходитися в межах від 168 до 172 см; 2) відхилення зросту від середнього за абсолютною ве.1ичшюю буде

меншим l О сн;

3)скласти інтегральну та диференціальну функції розподілу.

6.20.Випадкові похибки вимірювання підлягають нормальному закону із середньоквадратичним відхиленням а= З, 2. Визначити найбі.1ьше відхилен­

ня випадкової похибки від її середнього значення, якщо ймовірність цього

відхилення Р = 0,96. Скласти та зобразити графічно-інтегральну та диферен­

ціальну функції розподілу.

6.21. Число вагонів у поїзді, який прибуває для розформування - випад­ кова величина, яка розподілена за норма..1ьним законом з параметрами а = 60

та u = 5. Визначити ймовірність того, що в поїзді:

І) не більше 52 вагонів;

2) число вагонів не менше 52 та не більше 62 .

6.22. Випадкова величина Х розподі.1ена за нормальним законом з мате­

матичшrм сподіванням а -= О. Ймовірність попадання величини Х в інтервал

(--8; 8) дорівнює 0,4. Чому дорівнює й:-.~овірність того, що відхилення випад­

кової величини Х від її середнього значення за абсолютною величиною не перевищує 20? Визначити інтервал, у якому з ймовірністю 0,9927 :знаходить­

ся величина Х.

6.23. Зважується деяка речовина. Випадкові похибки :зважування підля­

гають нормальному 'Закону із середнім квадратичним відхиленням u = 18 г.

47

Знайти ймовірність того, що зважування буде проведено з похибкою, яка не

перевищує за абсолютною величиною 12 г. Визначити інтервал, в якому із

ймовірністю 0,9927 будуть знаходиться похибки зважування.

6.24.Випадкова величина Х розподілена за нормальним законом із серед­ нім квадратичним відхиленням а= 4. Визначити інтервал, симетричний від­ посІю математичного сподівання а= 1ОО, в який із ймовірністю 0,8414 попа­ де випадкова величина в процесі експерименту. Ск.лщ,·ти та зобразити графі­ чно інтегральну та диференціальну функції розподілу.

6.25.Випадкова величина Х підлягає нормальному закону з математич­

ним сподіванням а= О. Ймовірність попадання цієї випадкової величини в

інтервал (-5; 5) дорівнює 0,5. Визначити середнє квадратичне відхилення а та вказати інтервал, в якому із ймовірністю 0,9927 можуть бути розміщені

значення випадкової величини. Ск.1аст11 та зобразити графічно інтегральну та

диференціальну функції розподілу.

6.26. Випадкова величина Х - час знаходження поїзда на сортувааьній ко­ лії, розподілена за нормальним законом з параметрами а = 4 та а= 1. Визна­ чити ймовірність того, що час знаходження поїзда коливається від З до 6 го­ дин. Вказати інтервал, в яко"'1.у з ймовірністю 0,9927 буде знаходитися випад­

кова величина.

6.27. Кількість вагонів, які прибувають на вантажну станцію - випадкова величина Х, яка розподілена за нормальним законом із середнім квадратич­ ним відхиленням а= 12 та середнім значенням а= 40 вагонів 'За добу. Ви­

значити ймовірність того, що за добу прибуде:

1)від 30 до 50 вагонів;

2)не більше 40 вагонів.

Скласти диференціальну функuію цього розподілу.

6.28. Час переходу поїзда через перегін - випадкова величина. розподіле­

на за нормальним законом з параметрами а= 25 хв та а= І, 7 хв. Визначити

ймовірність того, що час переходу буде:

1)більшим 25 хв;

2)від 20 ДО 30 хв.

6.29.Зріст чоловіків ро:юоділяється за пормальни~1 законом з пара:v~стром

1vf[x]=l72 ии, D[x]=64 cAi2. Знайти ймовірність того, щоб зріст навмання

обраного чоловіка:

1) знаходиться в межах від 175 до 185 с:и;

48

2) відхилення від середнього зросту за абсолютною величиною не пере­ вищує 12 с.м. Знайти інтервал, в якому з ймовірністю 99,73% знаходиться зріст довільного чоловіка.

6.30. Відхилення діаметра вагонного колеса від стандартного розміру під­

коряється нормальному закопу розподілу з дисперсією ОА .'4.м~. Знайти інтер­

вал, в якому з ЙУІовірністю 0,9973 знаходиться відхипеппя діаметрів вагонних

коліс. Знайти ймовірність того, що відхилення навмання обраного колеса:

І) нсперевищує2м.н;

2)буде знаходитися в межах від - J до 2 .'vШ.

7.1-7.30. За результатами випробувань отримано 5 пар чисел (х1, УІ),

(х2, У2). (х3, Уз), (х4, у4) і (х5, Ys)- Методом найменших квадратів

знайти параУІетри р і h такі, щоб пряма У= рх + h була розміщена найближче

до цієї сукупності точок на площині.

49

8.1-8.30. У таблиці 7.1-7.30 наведені дані в умовних одиницях про стати­ стпчний зв' язок між випадковими величинами (Х, У), які зведені в кореляцій­ ну таблицю. На. підставі цих даних необхідно:

а) скласти лінійні рівняння регресії У на Х;

в) за допомогою кофіцієпта кореляції оцінити лінійну тісноту сполучнос­

ті між цими ознака:v~и.

50