683

то кажуть, що випадкова величина Х має щільність розподілу / (х). Справе­

дливе співвідношення для всіх х: F'(x)-=- j'(x). Щільність розподілу має такі

властивості:

До числових характеристик випадкових величин відносять: матеl\штичнс

сподівання М [Х], дисперсію D[ Х] та середнє квадратичне відхилення

Числові характеристики знаходимо за формулами:

- для дискретної випадкової величини

Математичне сподівання характеризує середнє значення випадкової ве­ личини, а дисперсія визначає ступінь розсіювання значень випадкової події біля її середнього значення (математичного сподівання). Математичне споді­

вання та дисперсію випадкової величини Х - числа появ подій при п незале­ жrшх випробувань, коли ймовірність появи події в одному іспиту дорівнює р,

знаходять за формулами:

11

Закони розподілу випадкових величин

Законом розподілу випадкової величини називають залежність між мож­

ливими значеннями величини та відповідними ймовірностями.

Мають місце наступні закони розподілу. Біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини визначається залежністю (9), а закон розпо­ ділу Пуассона відповідно формулою (19).

Розподіл випадкової величини Х являється нормальним, коли її диферен­ ціальна функція (щільність розподілу) має вигляд

де а = М[ Х] - математичне сподівання, а =JD [ Х] .

Для нормального розподілу мають місце наступні співвідношення:

де Ф(х) - функція Лапласа , Р(Іх - аІ <є) - ймовірність того, що випадкова

величина Х буде відхилятися від а на величину, меншу є.

Випадкова велrчина Х розподіляється рівномірно в інтервалі [а, ЬJ, коли

вона приймає будь-яке значення з цього відрізку з однією ймовірністю та її щільність розподілу визначається залежністю

а за межами відрізка [а, Ь] щільність розподілу дорівнює нулю.

Розв'язок типових задач

1. В ящику змішано 20 деталей, які виробив перший робітпик, і 1О дета­ лей, які зроблені другим робітником. З ящика узято 5 детааей. Визначити ймовірність того, що: а) всі деталі зроблені першим робітником; б) взяли дві

12

деталі зроблені першим робітником: в) взяли хоч одну деталь, яка зроблена першим робітником.

Розв'язок а) Подія А - навмання узято 5 деталей із 3агальної кількості деталей

20 + І О= 30, які зробив перший робітник:

'і

Р(А)= т = С~о = О,І09 .

пС')30

б) Подія В - узято дві дста.1і, зроб,1ені першим робітником

пС~о 2!18! 30!

в) Подія С - навмання узята хоча б одна дета.:1ь, яку зробив перший робі­

тник. Ймовірність цієї події знаходимо через протилежну подію С - всі взяті

5 деталей зробив другий робітник

Р(С)=-1-Р(С)=І- С~5о= 1-0,0018 = 0,9982.

сзо

2. Три стрільці зробили по одному пострілу по мішені. Ймовірність того,

що перший стрілець влучає в ціль дорівнює 0,9, для другого стрільця й~ювір­ ність влучити в ціль складає 0,8, а для третього - 0,6. Знайти ймовірність то­ го, що: а) у мішень влучать два стрільці; б) у мішень влучить хоча б один стрілець; в) у мішень влучають не менше двох стрільців.

Розв'язок

а) Розглянемо наступні випадкові події: подія А - у мішень влучив пер­ ший стрі;~ець. Тоді подія А - перший стрілеuь не влучив у ціль; подія В - у

мішень влучив дру1·ий стрі.1ець; В - у мішень не влучив другий стрілець; по­

Р(В) '°'І - Р(В)-= 0,2; Р(С) = 0,6; Р(С) "" І - Р(С)-~ 0,4 .

Подія D - у мішень влучили два стрільці. Подія D відбувається:

D = ABCu АВСu АВС;

13

P(D) = Р(АВС u АВС u АВС)= Р(А)Р(В)Р(С) + Р(А)Р(В)Р(С) +

+Р(А)Р(В)Р(С) = 0.444

б) Подія Е - у мішень влучить хоча б один зі стрільців. Подія Е протиле­ жна події Е -- всі стрільці зробили промах, тоді:

Р(Е) = Р(АВС) = Р(А)Р(В)Р(С) = 0,008;

Р(Е) = 1- Р(Е) = 1- 0,008 =О,992.

в) Подія К - у мішень влучать не менше двох стрільців. Ця подія склада­

ється з таких несумісних подій: КІ - в мішень влучили два стрільці; К2 - в

ціль влучили всі три стрільці.

К=КІ+К2; Kl=D; К2=АВС;

Р(К) = Р(КІ + К2) = Р(КІ) + Р(К2) =P(D) + Р(АВС) = 0,444 + 0,432 = 0,876.

3. На склад надійшло 20 деталей, виготовлених заводом № І, 40 деталей -

заводом № 2 та 60 деталей - заводом № 3. Перший завод виготовляє 90%

стандартних деталей, друтий завод - 95%, а третій - 85%.

1. Чому дорівнює ймовірність того, що узята зі складу деталь буде стан­

дартною?

2. Знайти ймовірність того, що узята бракована деталь, яка виготовлена

на друтому заводі.

Розв'язок

l) Подія А - зі складу узяли стандартну деталь. Ймовірність події визна­

чаємо за формулою (7). Вводимо гіпотези:

Н 1- взяли деталь, виготовлену па заводі № 1:

Н 2 - взяли деталь, виготовлену на заводі № 2:

40 1

Р(Н7)=-=-·

- 120 3,

Н 3 - взяли детааь, виготовлену на заводі No 3:

14

За умовою задачі

2) Подія В - взяли браковану деталь. Ймовірність події Н2 - деталь ви­

готовлена заводом № 2 - знаходимо за формулою Бсйєса (8). Споqатку зна­ ходимо умовні ймовірності подій:

Рн:ип =1-РнІ(А) =0,1; Рн2(В) =І-Рн,(А) =0,05;

рН (8) =І - РН 3(А) =О,15;

3

4. Кожний п'ятий покупець, який заходить до магазину, робить покупку.

Чому дорівнює ймовірність того, що: а) із чотирьох покупців, що зайшли в

магазин, двоє зроблять покупку; б) із шести покупців не більше двох зроб­ лять покупку; в) із 100 покупців 30 зроблять покупку; r) із 400 покупців не менше 50 і не більше 100 покупців зроблять покупки.

Розв'язок

Умові задаqі відповідає схема повторних випробувань. Покупеuь робить

покупку з ймовірністю р= т =_!____ =~. Ймовірність протилежної події (по­

п5k ~

купець не робить покупки) q =І - р = 0,8.

а) У цьому випадку п= 4, т-= 2 і оскільки кількість випробувань в експе­ рименті мала, то користуємося формулою (9):

гj2 ) =С] · p 2q 2 =0,1536.

б) Нехай подія А - із 6 покупців пе більше двох придбають товар. Подія А є сумою таких несумісних подій: А 1 - ніхто з покупців не купив товар; А 2 -

тільки один покупець зробив покупку; А3 - рівно два покупці придбали то­

вар. Ймовірність подій А1, А 2 і А3 знаходимо за формулою Бернуллі (9),

коли п= б, т =О, І, 2.

Р(А) = Р(А 1) + Р(А2) + Р(А3);

15

в) Подія В - з 1ОО покупців 30 зроби,1и покупки. Число випробувань (кі­ JІІ,кість покупців) п= І ОО велике і використаємось локальною теоремою Лап­

ласа ( 17), ко:ти т =30:

Р(С) = Р4оо(50 < k < 100) = Ф(2,5)-Ф(-3,75) = 0,4938+ 0,4999 =0,9957 .

4. а) З ящика, в якому лежать 5 стандартних та 2 нестандартні деталі. на­ вмання вийняли 2 деталі. Скласти закон розподілу випадкової вслич:ини Х -

чиспа вийнятих нестандартних дста.аей. Знайп1 матсматич:нс оч1кувапня

М [х) і дисперсію D[x) цієї випадкової ве.ш•шпи.

16

Розв'язок

Х - дискретна випадкова величина, яка може прийняти значення О, І, 2, 3,

4 (число 6 може з'явитись тільки таку кількість разів при чотирьох

підкиданнях). Ймовірність цих значень визначаємо за формулою Бернуллі

4

Перевірка: L Рі = 0,48 + 0,39 ~ 0,12 + 0,01 +О = І.

і=/1

18

F(x)

~

0,5 ,____

5. а) Відома функція щільності розподі,1у випадкової величини х:

Потрібно:

І) Знайти значення коефіцієпта А;

2)Обчис.:шти функцію розподілу F(x);

3)Обчиспити математичне очікування М [ Х] і середньо квадратичне від­

хилення а[Х];

4) Чому дорівнює ймовірність того, що х приймає значення з інтервалу

(о.~}

5) Побудувати графіки /(х) та F(x).

Розв'язок

І. Х - неперервна випадкова ве,1ичина. Значення коефіцієпта А визначає­ мо за формулою (20). За умовою функція щільності розподілу не дорівнює

к/2

f f(x)(/x =І;

-тт/2

19

І

А=-=-.

1t

2. Функцію розподілу випадкової величини визначаємо за співвідношен­

ням:

х

F(x) = J f(x)dx.

Щільність розподілу має різний вигляд на трьох інтерва,1ах. Визначаємо F(x) на кожному із іптервалів:

г) функцію розподілу запишемо у вигляді:

3. Математичне очікування ЛІ[Х] визначаємо за формулою (23)

20