683

2.02. Ймовірність попадання в ціль першим стрі:тьцем 0,8, а другим - 0,7.

Стрільці незалежно один від одного роблять по одпому пострілу. Яка ймові­

ршсть того, що:

а) хоча б один стрілець попаде в ціль; б) тільки один стрілець попаде в ціль?

2.03. У коробці 3 білих та 7 чорних ку.1ь. Послідовно одна за одною вий- мають дві кулі. Яка ймовірність того, що:

а) обидві кулі білі;

б) кулі різнокольорові?

2.04. Відомо, що 3% всієї продукції - брак, а 80% небракованих виробів є

виробами першого сорту. Яка ймовірність того, що наздогад взятий виріб є виробом першого сорту?

2.05. Ймовірність виходу з ладу станка на протязі зміни становить 5%.

Яка ймовірність того, що за 5 робочих змін:

а) станок ні разу не зіпсується;

б) три рази вийде з ладу?

2.06. У люстрі 4 електролампи. Ймовірність справної роботи за певний

період часу кожної лампи дорівнює 0,9. Визначити ймовірність справної ро­ боти люстри за цей період. Скільки ламп повинна мати люстра, щоб її надій­ ність перевищувала 0,99.

2.07. Із трьох заводів-постача.1ьпиків прибувають партії радіоелементів у

співвідношенні t · 4 · 5. Ймовірність виходу з ладу на протязі року дорівнює 0,2

для радіоелементів першого заводу. 0,3 - другого та О, І - першого. Яка ймо­

юршсть того, що:

а) радіоелемент пропрацює рік:

б) радіоелемент не пропрацює рік:

в) радіоелемент, який пропрацював рік, виготовлений другим заводом?

2.08. Три стрільці неза.rтежно один від одного стріляють в ці.1ь. Ймовір-

ність попадання першим стрільцем дорівнює 0,7, другим стрільцем - 0,8, тре­ тім - 0,9. Яка ймовірність того, що:

а) всі три стрі.1ьці попадають в ціль; б) хоча б один стрі.1ець попаде в ціль?

2.09. Студент повинен здати залік та екзамен з вищої математики . Ймо­

вірність здачі заліку дорівнює 0,8. Якщо студент зда-:: залік, то його допуска­ ють до екзамену, Й!Vювірність здачі якого - 0,9. Визначити ймовірність того,

що студент здасть екзамен.

31

2.10. Ймовірність попадання в рухому ціль дорівнює 0,05. Скільки пост­

рілів потрібно зробити, щоб із ймовірністю не меншою 0,75 хоча б один раз

попасти? Яка ймовірність двух влучень при трьох пострілах?

2.11. Два станка працюють незалежно один від одного. Ймовірність. без­

перебійної роботи па протязі години першого станка дорівнює 0,854, а друго­

го - 0,9. Яка ймовірність того, що на протязі години;

а) будугь збої в роботі тільки одного станка;

б) обидва станки працюватимуть безаварійно?

2.12. На зборку приходять 40% деталей, виготовлених першим автома­

том, 30% - другим, 20% - третім та 10% - четвертим. Серед деталей з першо­

го автомату - 1% бракованих, з другого - 2%, з третього - 2,5, з четвертого -

5%. Визначити ймовірність того, що;

а) взята наздогад деталь виявиться бракованою;

б) взята наздогад стандартна деталь, виготовлена на першому станку.

2.13. Ймовірність виграшу на один лотерейний білет дорівнює 0,2. Скіль-

ки потрібно купити лотерейних білетів, щоб із ймовірістю не меншою 0,9 можна було б сподіватися хоча б на один виграш. Яка ймовірність, що '3 трьох куплених білетів два виграють?

2.14. Яка ймовірність того, що вибраний наздогад вироб виявиться стан­ дартним, якщо відомо, що всі вироби знаходяться в двох ящиках, причому в першому ящику 60% стандартних виробів, а в другому - 80%? Яка ймовір­ ність того, що обраний бракований вироб знаходився у першому ящику?

2.15. Виготовлені па двох станках вироби нерозфасовані, причому виго­

товлених на першому стан.r--у є в три рази більше, ніж на другому. Відомо, що

ймовірність виготовлення стандартного виробу на першому станку дорівнює

0,92, а на другому - 0,8. Визначити ймовірність того, що:

а) наздогад взятий вироб є стандартним; б) взятий нестандартний вироб виготовлено на другому станку.

відвідувачів бібліотеки замовляють технічну лпературу, а

30% - художню. Яка ймовірність того, що з трьох відвідувачів:

а) всі замовляють КПИІ'И з одного розділу: б) два замовлять технічну літературу?

2.17.При розриві снарядів утворюються крупні, середні та дрібні осколки

успіввідношенні І : З: 6. При попаданні в танк крупний осколок пробиває броню із ймовірністю 0,2, середній - 0,4, а дрібний - О, і. Яка ймовірність то-

32

го, що осколок проб'є броню. Яка ймовірність, що броню пробив середній

осколок.

2.18.Для деякої місцевості середнє число дощових днів у серпні дорів­

нює шести. Чому дорівнює ймовірність того, що в перші три дні серпня бу­ дуть дощовими? В серпні буде чотири дощових дні?

2.19.У депо знаходяться 5 плацкартних та 1О купейних вагонів. Ймовір­

ність того, що плацкартний вагон є справним дорівнює 0,8, а купейний 0,9.

Визначити ймовірність того, що:

а) наздогад вибраний вагон виявиться справним;

б) вибраний справний вагон виявиться плацкартним.

2.20. Скільки разів потрібно підкинути монету, щоб із ймовірністю 0,9

можна було сподіватись, що:

а) відхилення відносної частоти появи герба від ймовірності р=О,5 вияви­ лось за абсолютною величиною не більшою О, J;

б) хоча б один раз з'явиться ціпа?

2.21. Деталі розкладено по двох ящиках. У першому- 12 штук, із них трп

стандартних, у другому - 16 штук, із них 4 стандартних. Із кожного ящика

наздогад виймають по одній деталі. Визначити ймовірність того, що: а) обидві деталі виявляться нестандартними;

б) одна деталь стандартна, а друга ні.

2.22. У батареї три гармати. Ймовірність попадання першою гарматою

дорівнює 0,2, другою - 0,3, а третьою - О,1. Кожна гармата стріляє І раз. Ви­

значити ймовірність того, що:

а) тільки дві гармати попадуть в ціль;

б) хоча б одна гармата попаде в ціль.

2.23. Екзаменаційний білет має три питання. Ймовірність того, що сту­

дент відповість на перше питання дорівнює 0,9, на друге - 0,8 та на третє -

0,95. Ви:шачити й.мовірність того, що студент здасть екзамен, якщо для цього

необхідно відповісти:

а) на всі три питання;

б) хоча б па два питання.

2.24.Монтажник одержав 2 коробки деталей, виготовлених заводом І та

Зкоробки - заводом 2. Ймовірність того, що деталь заводу 1 стандартна, до­

рівнює 0,9, а заводу 2 - 0,8. Визначити ймовірність того, що:

а) із наздогад вибраної коробки монтажник ві3ьме стандартну деталь;

б) наздогад взята стандартна деталь виготовлена на заводі 2.

33

2.25. По одній і тій же цілі роблять по одному пострілу з дистанції 600. 500 та 300 метрів. Ймовірності попадання в ціль з цих дистанцій відповідно

дорівнюють О, 1; 0,3 та 0,6. Визначити ймовірність того, що:

а) буде хоча б одне попадання;

б) буде не менше двох попадань.

2.26. У телевізійному ательє є 4 кінескопи, виготовлених різними завода­

ми. Ймовірність того, що кінескоп витримає гарантійний термін роботи від­

повідно дорівнює: 0,8; 0,85: 0,9; 0,95. Визначити ймовірність того, що вибра­ ний наздогад кінескоп витримає гарантійний термін роботи.

2.27. В одному ящику З білих та 2 чорних кулі, а в іншому 4 білих та 4

чорних. З першого ящика переклали в другий одну кулю, а потім з другого

знову вийняли кулю. Яка при цьому ймовірність вийняти білу кулю?

2.28. Три станки працюють незалежно один від одного. Ймовірність того,

що перший станок на протязі зміни вийде з ладу дорівнює О, І, другий - 0,2,

третій - 0,3. Визначити ймовірність того, що:

а) на протязі зміни хоча б один станок вийде з ладу;

б) два станка вийдуть з ладу.

2.29. В одній коробці 5 білих та І О червоних куль, а в іншій І О бі.л1х та 5 червоних. Із кожної коробки наздогад витягають по одній кулі. Визначити ймовірність того, що:

а) витягнули 2 червоні 1'.-улі;

б) витяшули різнокольорові кулі; в) хоча б з однієї коробки бу,10 витягнуто білу кулю.

2.30. Скільки разів потрібно підкинути кубик для гри в «кості». щоб із ймовірністю не менше 0,9 хоча б один раз випала «шістка))? Кубик підкида­

ється двічі. Визначити ймовірність того, що сума очок буде:

а) кратною трьом;

б) непарною та не більшою семи.

3.01. По ці,1і зроблено б пострілів із ймовірністю попадання при кожному пострілі 0,7. Яка ймовірність того,що:

а) буде 4 попадання в ціль;

б) буде не менше двох попадань?

3.02. Люстра має 4 електро,1ампи. Ймовірність виходу з ладу на протязі

року для кожної лампи дорівнює 0,2. Яка ймовірність того, що на протязі ро­

ку:

а) доведеться замінити не менше трьох ламп;

34

б) доведеться замінити хоча б одну лампу.

3.03. Три елементи електронного пристрою працюють незалежно один від

одного. Ймовірність безвідмовної роботи кожного елемента па протязі годи­

ни дорівнює 0,8. Визначити ймовірність того, що на протязі години: а) всі елементи вийдуть з ладу;

б) два елементи не вийдуть з .'!аду.

3.04. Ймовірність проростання кожного зерна дорівнює 0,75. Визначити

ймовірність того, що із 500 посіяних зерен:

а) не зійдуть 130 зерен;

б) зійде не менше 300 зерен.

3.05. При виготовленні продукції ймовірність появи одного нестандарт-

ного виробу дорівнює 0,0 І. Яка ймовірність того, що в партії із l ООО виробів: а) 4 вироби будуть браковані;

б) бракованим буде не більше як один вироб.

3.06. Монету підкидають 8 раз. Яка ймовірність того, що:

а) герб випаде 5 раз;

б) герб випаде хоча б 2 рази.

3.07. Ймовірність того, що добові витрати електроенергії на заводі не пе­

ревищують норми 0,8. Яка ймовірність того, що на протязі всього тижня за­

вод допустить перевитрати електроенергії:

а) не більше двох разів;

б) 4 рази.

3.08. За даними технічного контролю 2% виготовлених телевізорів потре­

бують додаткового регулювання. Визначити ймовірність того, що з І О виго­

товлених телевізорів:

а) хоча б одному потрібно було б додаткове регулювання; б) два телевізори потребують додаткового регулювання.

3.09. Ймовірність виграти чи програти в одній шаховій партії однакова і

дорівнює 0,5. Що вірогідніше, виграти пе менше трьох партій з чотирьох чи

не більше п'яти партій з восьми.

3.10. Електронний пристрій містить 1000 елементів. Ймовірність того, що

окремий елемент пе вийде з ладу на протязі години 0,9. Для нормальної ро­

боти пристрою необхідно, щоб працювало не менше 90% всіх елементів од­

ночасно. Ви.значити ймовірність того, що пристрій па протязі години буде

працювати без11еребійно.

35

3.11. Ймовірність своєчасного прибупя кожного поїзду 0,8. Визначити

ймовірність того, що з 1О поїздів, які прибувають на станцію:

а) 8 поїздів прибудуть без запізнення;

б) не менше 9 поїздів прибудуть без запізнення.

3.12. При виготовленні болтів виходить в середньому 5% браку. Чи можна буде бути впевненим з ймовірністю 0,95, що в партії з 480 болтів:

а) виявляться стандартними 420 болтів:

б) бракованих буде не більше І О болів.

3.13. У партії виробів є 20% бракованих. Яка Й.\1овірпість того, що серед

вибрапих для випробування 60 виробів:

а) буде 8 бракованих;

б) буде від 40 до 50 стандартних.

3.14. При виготовленні металевих клем вихід с1андартноі продукціі ста­

новить в середньому 90%. Визначити ймовірність того, що серед 900 клем

буде:

а) пе менше 650 стандартних;

б) менше половини стандартних.

3.15. Потрібно зробити б пострілів з гармати по деякій цілі, ймовірність

попадання в яку при одному пострілі дорівнює 0,6. Визначити ймовірність

знищення об'єкту, якщо для цього необхідно не менше 5 попадань. Яка ймо­

вірність двох попадань в ціль?

3.16. Автопарк нараховує 200 автомашин. Й:.ювірність того, що автомо­

біль несправний, дорівнює 25%. Вюначити ймовірність нормальної роботи

автопарку, якщо для цього потрібно мати не менше 160 справних автомашин.

Яка ймовірність виходу на ;lіпію 150 машин?

3.17. Ймовірність знищення ракети снарядом дорівнює 0,2%. Яка ймовір­

ність знищити ракету залпом із 400 снарядів? Яка ймовірність попадапня в ракету трьох снарядів із 400'?

3.18. Ймовірність виходу з ладу стрілочного переводу на протязі місяця

0,2. Визначити ймовірність того, що на протязі місяця із 150 переводів вий­

дуть з ладу:

а) 20 переводів;

б) не більше І О переводів.

3.19. Ймовірність прийому радіосигна.:1у 0,9. Яка й:vювірність того, що

при 4 передачах сигналу він буде прийнятий:

а) рівно З рази;

36

б) не більше двох разів.

3.20. Кубик для гри в «кості» кидають 180 ра.1. Ви:шачити ймовірність то- го, що «шістка» з'явиться:

а) рівно 30 раз;

б) пе менше 36 раз.

3.21. Завод відправив споживачу партію із 500 виробів. Ймовірність по­

шкодження виробу в дорозі 0,002. Визначити ймовірність того, що споживач

одержить:

а) 3 пошкоджених вироби; б) всі вироби справні.

3.22. Ймовірність того, що покупцю необхідне взуття 42 розміру, дорів-

нює 0,2. Визначити ймовірність того. що з 1О покупців:

а) два попросять взуття 42 роз:.tіру;

б) хоча б один покупець попросить таке взуття.

3.23. Прилад складається із 300 вуз.пів. Ймовірність безвідмовної роботи

на протязі року вузла 0,4. Вюначити ймовірність того, що па протязі року: а) відмовлять рівно 80 в~лів;

б) безвідмовно пропрацюють не менше 140 вузлів.

3.24. Ймовірність неточного складання приладу становить 20%. Визначи­

ти ймовірність того, що серед 500 приладів виявиться від 41 О до 430 точних. Яка ймовірність того, що із наздогад взятих п'яти приладів три будуть нето­

чними.

3.25. Проводять 120 незалежних експериментів. Ймовірність появи рс­

зу.1ьтату в кожному експеримент~ 0,2. Визначити Й:\ювірність того, що ре­

·Jультат з'явиться:

а) рівно 30 раз;

б) не менше 50 раз.

3.26. Ймовірність попадання при одному пострілі 0,9. Скільки потрібно

зробити пострілів, щоб із ймовірністю 0,8 можна сподіватися, що відносна

частота попадань відхилиться від ймовірності попадання не більше ніж па

0,02 за абсолютною величиною. Яка ймовірність 5 попадань при 8 пострілах.

3.27. Й:1.ювірність виграшу автомобі:тя в лотереї 0,0004. Яка ймовірність

виграшу автомобіля при наявності 2000 білетів'?

3.28. Ймовірніl-їЬ виготовлення бракованої деталі О, І. Чому дорівнює

й:11овірність того, що в партії із 80 деталей буде:

а) рівно 20 бракованих;

37

б) не більше І О бракованих.

3.29. В іпститугі 90% всіх студентів мають позитивні оцінки. Визначити

ймовірність того, що серед 240 студентів другого курсу будуть:

а) від 190 до 230 встигаючих студентів?

б) 200 встигаючих студентів.

3.30. Ймовірність попадання в ціль при одному постр1ш 0,6. Визначити

ймовірність того, що:

а) при 12 пострілах буде 7 попадань;

б) при 200 пострілах буде пе більше 11 О попадань.

4.01. Монету підкидають тричі. Випадкова величина Х - число випадань

герба. Скласти закон розподілу цієї випадкової величини. Визначити її мате-

. .

матичне сподшання та диспсрс1ю.

4.02. На маршруті автомобіля б світлофорів, кожний з яких дозволяє або забороняє рух із ймовірностями 0,5. Скласти закон розподілу, визначити ма­ тематичне сподівання та дисперсію випадкової величини Х, яка дорівнює чи­ слу світлофорів, пройдених автомобілем до першої зупинки.

4.03. Ймовірність того, що в бібліотеці є потрібна студенту книга 0,3.

Скласти закон ро:шоділу числа бібліотек, які відвідає студент, якщо він запи­

саний в чотирьох бібліотеках.

4.04. Проводиться послідовна перевірка трьох приладів. Ймовірність то­

го, що кожний прилад витримає перевірку 0,6. Кожний наступний прилад пе­

ревіряється лише тоді, коли попередній виявиться надійним. Скласти закоп розподілу випадкової вели'ІИПИ Х- кількості перевірених приладів. Визначи­

ти її дисперсію.

4.05. :й:І\!овірніеть народження хлопчика - 0,52, а дівчинки - 0,48. Скласти

'Закон розподілу випадкової величини Х - числа х.1опчиків у сім'ї, в якій троє дітей. Визначити математичне сподівання та середньоквадратичне відхи.1сн­

ня цієї величини.

4.06. У партії із 1ОО деталей - 75 стандартних. Обчислити математичне

сподівання та дисперсію випадкової веш1'lини Х - числа стандартних деталей

із трьох наздогад взятих із партії. Побудувати графік інтегральної функції

ро:шод1лу.

4.07. І'~ партії з 1О виробів, серед яких 4 бракованих, для перевірки якості

наздогад вибирають два вироби, Визначити середньоквадратичне відхилення

випадкової величини Х - числа бракованих виробів серед відібраних. Побу­ дувати графік інтегральної функції розподілу.

38

4.08. На маршруті автомобіля встановлено 4 світлофори, які дають неза­ лежно один від одного зелений сигнал на протя1і 60 секунд та жовтий і чер­

воний, які забороняють рух, на протязі 30 секунд кожний. Ви1начити матема­

тичне сподівання та дисперсію випадкової величfши Х - числа зупинок авто­ мобіля перед світлофорами на всьому маршруті, скласти інтегральну

функцію ро1поділу.

4.09. По цілі стріляють 4 рази. Ймовірність попадання прн кожному пост­

рілі 0,4. Побудувати інтегральну функцію розподілу випадкової величини Х-

числа попадань. Визначити математичне сподівання та дисперсію цієї випа;:~­

кової величини .

4.10. Ймовірність виграшу на один лотерейний білет О, І. Визначити ма­

тематичне сподівання та дисперсію випадкової величини Х - кількості ви­ грашів , якщо куплено три білети; побудувати график F(x) - іптсгра.:1ьну

функцію розподілу.

4.11. Ймовірність попадання в ціль при одному пострілі 0,7. Ск,1асти за­

кон розподілу числа зроблених пострілів, якщо стрільба йде до першого по­ падання і стрілець має чотири патрона.

4.12.Щодоби на розподільчу станцію прибуває в середньому 1ОО поїздів,

зяких 80 пасажирських. Скласти закон розподілу пасажирських поїздів серед

Зприбувшттх. знайти дисперсію і побудувати інтегральну функцію розподілу.

4.13. На сортувальній станції знаходится 20 вагонів. З них І О шестиосних, 4 двоосних та 6 чотириосних. Наздогад відбирається група з трьох вагонів. Обчис.11пи математичне сподівання числа шеспюсни'< вагонів у групі. Побу­ дувати графік інтегральної функції розподілу.

4.14. У трьох купе випадковим чином ро1міщаються 12 пасажирів, з яких 5 жінок. Скласти закон розподілу випадкової величини -- числа жінок в пер­

шому купе.

4.15.У партії з 8 дета..1ей - 5 бракованих. Наздогад відбирають 2 деталі.

Ск.шсти закон розподілу випадкової величини Х - числа бракованих виробів серед відібраних.

4.16.Монету підкидають 4 рази. Скласти інтегральну функцію розподілу

випадкової величини Х -- числа випадань герба. Визначити її математичне сподівання та середньоквадратичне відхилення.

4.17. Гральний кубик д.1я гри в «кості» підкидають тричі. Скласти закон

розподілу випадкової величини Х - числа випадань «шістки». Обчислити ди­ сперсію Х.

39

4.18. Стрілець робить один за одним постріли по цілі. Ймовірність попа­

дання в ціль при кожному пострілі 0,8. Стрілець кожен раз стріляє лише тоді,

коли попереднім разом зафіксовано попадання. Скласти інтегральну функцію розподілу та обчислити дисперсію випадкової величини Х -- числа зроблених пострілів, якщо стрілець має три патрона.

4.19. Три гармати роблять по одному пострілу в ціль. Ймовірність попа­

дання в ціль для кожної гармати одна і та ж і дорівнює 0,5. Скласти закон розподілу та обчис.1ити математичне сподівання випадкової величини Х -

числа попадань.

4.20. У коробці 200 купь, серед яких 150 білих. Скласти закон розподілу, інтегральну функцію роnоділу випадкової величини Х - числа білих куль се­

ред двох наздогад вибраних. Обчислити дисперсію Х.

4.21. В ящиь_У' 12 стандартних та 6 дефектних деталей. Визначити матема­ тичне сподівання та ск.тасти інтеграJ1ьпу функцію розподілу випадкової ве­ личини Х- числа стандартних деталей серед трьох наздогад відібраних.

4.22. На вулиці встановлено три світлофори, кожний з яких дозволяє проїзд на протязі 40 с кожної хвилини. Скласти закон розподілу та обчислити середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х - числа світлофорів, які автомобіль проїхав без зупинки.

4.23. Ймовірність попадання стрільцем в ціль при одному пострілі 0,7.

Скласти закон розподілу та обчислити середнє квадратичне відхилення вишt­

дкової величини Х - числа промашок при трьох пострілах.

4.24. У книжковій лотереї виграє кожний п'ятий білет. Скласти інтегра­ льну функцію розподі,1у та обчислити математичне сподівання випадкової

величипи Х - числа виграшних білетів серед чотирьох куплених.

4.25. Ймовірнісп, попадаппя в ціль при одному пострілі 0,5. Обчислити

математичне сподівання та дисперсію віпадкової величини Х - числа попа­

дань при трьох пострілах. Побудувати графік F(x).

4.26. Ймовірність попадання в ціль при одІЮ"-ІУ пострі.1і 0,3. Скласти за­

кон розподілу числа зроблених пострілів, якщо стрільба йде до першої про­

машки. Стрілок має чотири патрона.

4.27.У групі 18 хлопців та 12 дівчат. Викликали трьох студентів. Обчис­ лити математичне сподівання та дисперсію випадкової величини Х - числа хлопців серед викликаних. Побудувати графік F(x).

4.28.На станцію щоденно прибувають 20 швидких та І О пасажирських

поїздів. Скласти закон розподілу та інтегральну функцію розподілу випадко-

40