Добавил:

posterp Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Днепропетровский национальный университет железнодорожного транспорта им. академика В. Лазаряна

Предмет:

Сопротивление материалов

Файл:

Розрахунок геометричних характеристик

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.04.2021

Размер:

467.11 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

I y1 = ∫z12 d A = ∫(z cosα + y sinα)2 d A = ∫(z2 cos2 α + y2 sin2 α +2 y z cosα sinα)d A

= cos2 α∫z2 d A +sin2 α ∫y2 d A −2cosα sinα∫y z d A = I y cos2 α + Iz sin2 α +2cosα sinα I y z .

∫

I y1 z1 =

y1 z1

d A =

(y cosα − z sinα)(z cosα + y sinα)d A =

= ∫(y2 cosαsinα − z2 cosαsinα + y z cos2 α − y z sin2 α)d A = cosαsinα∫y2 d A −cosαsinα ∫z2 d A −

−(cos2 α −sin2 α)∫y z d A = Iz cosαsinα − I y cosαsinα +(cos2 α −sin2 α)I y z .

Таким чином остаточно одержуємо:

= Iz cos2 α + I y sin2 α −I yz sin 2α ,

I y

= Iz sin2 α + I y cos2 α + I yz sin 2α ,

(14)

I y z

Iz −I y

sin 2α + I yz cos 2α.

Залежності (14) – є формулами для моментів інерції при повороті осей.

Склавши перший і другий вираз системи (14), отримуємо

I z

+ I y

= I z

+ I y

(15)

Отже, при повороті осей сума осьових моментів інерції не змінюється.

Головними центральними осями перерізу називаються такі центральні осі, відносно яких відцентровий момент інерції I yz дорівнює нулеві. Саме ці осі викликають практичний інтерес при розрахунку

на міцність елементів конструкцій. Нехай поперечний переріз має фор-

yму фігури, котра має хоча б одну вісь симетрії y (рис. 7). Оскільки центр ваги фігури обов’язково лежить на осі симетрії, то вісь y є

центральною. Проведемо іншу центральну вісь z перпендикулярно до осі y . Внаслідок симетрії фігури будь-якій елементарній площинці з ко-

−z	z	ординатами (y , z) відповідає симетрично розташована елементарна
		площадка з координатами (y , − z). Таким чином, всі добутки y z	бу-
y	z
		дуть компенсуватися такими ж добутками з протилежним знаком.	Це

C	означає, що відцентровий момент буде рівний	I y z = ∫y z d A = 0 . Отже,

що осі y, z є головними. Звідси можна зробити висновок, що вісь симе-

трії поперечного перерізу завжди є головною. Якщо переріз має безліч Рис. 7. осей симетрії (круг, кільце), то будь-які центральні осі є головними. Якщо переріз має дві осі симетрії (прямокутник, двотавр), то ці осі є голо-

вними центральними осями.

Якщо переріз має одну вісь симетрії (рівнобедрений трикутник, швелер), то ця вісь симетрії і перпендикулярна до неї вісь, що проходить через центр перерізу, утворюють головні центральні осі.

Якщо переріз не має жодної осі симетрії, то положення головних центральних осей відносно довільних центральних осей zc , yc задається кутом α, який визначають із третього співвідношення (14):

	Iz		− I y
0 =		C	C	sin 2α + I y			z	cos 2α ;
0 =			2	sin 2α + I y			z	cos 2α ;
			2			C	C
						C	C

		tg2α = −			2I yc zc		,	(16)
		tg2α = −			I zc − I yc		,	(16)

(додатний кут α відкладається проти ходу стрілки годинника).

Головними моментами інерції перерізу називаються осьові моменти інерції, визначені відносно його головних центральних осей. Серед інших осьових моментів інерції відносно довільних центральних осей перерізу головні моменти інерції набувають екстремального (max, min) значення.

Ці головні моменти визначаються з виразу, що випливає з двох перших співвідношень (14),

max

I z

+ I y

I z

− I y

(17)

+ I yc zc

Imin

Моменти інерції деяких простих перерізів. Обчислимо моменти інерції для деяких простих перерізів, що часто зустрічаються при інженерних розрахунках. Ці моменти обчислюються шляхом інтегрування,

y	згідно з залежностями (5), (6). Такими перерізами є наступні.
d ρ	Круг діаметром d (рис. 8). Визначимо спочатку полярний момент
ρ	інерції круга відносно його центра за формулою: I p = ∫ρ	2	d A . Еле-
z	інерції круга відносно його центра за формулою: I p = ∫ρ		d A . Еле-
	A

Рис. 8.

ментарну площадку d A виберемо у вигляді безмежно тонкого кільця радіусом ρ та товщиною d ρ . Тоді d A = 2π d ρ ;

d 2

ρ4

d 2

d 4

π d 4

I p = ∫ρ2 d A = 2π ∫

ρ3 d ρ = 2π

Оскільки всі центральні осі круга є головними і моменти інерції відносно цих осей рівні між собою, I p = I y + Iz = 2 Iz . Звідки

Iz = I y =	π d 4	≈ 0,05d 4	.
	64

dρ

ρКругове кільце з внутрішнім діаметром d і зовнішнім D (рис. 9). По аналогії до попереднього випадку будемо мати:

D 2

Ip =

∫

d A =2π

∫

d ρ =2π

πD

−

1−

d 2

Оскільки всі центральні осі є головними і моменти інерції відносно

цих осей рівні між собою, I p = I y + Iz

= 2 Iz . Звідки

Iz = I y

π D4

−

d 4

Рис. 9.

Півкруг діаметром d

(рис. 10). Моменти інерції півкруга відносно

осей

y та

будуть рівними між собою і вдвічі меншими,

ніж

2 d

знайдений осьовий центральний момент інерції круга.

= I y

π d

3π

128

Статичний момент півкруга відносно осі z

дорівнює:

= d

Рис. 10.

Враховуючи це та положення центра ваги півкруга, можемо знайти момент інерції півкруга відносно осі z :

Iz = 0, 00686 d 4 .

yПрямокутний переріз розмірами b, h (рис. 11). Визначимо осьові моменти інерції. Елементарну площинку виберемо у вигляді безмеж-

d y

но тонкої смужки шириною b та товщиною d y . Тоді d A =b d y

h 2

h 3

b h3

Iz =

∫

y2d A =

∫

y2b d y = b

− −

−h 2

По аналогії записуємо:

I y =

hb3

b h3

hb3

I p = Iz + I y =

b h

(h2 −b2 ).

Рис.11.

Квадратний переріз із стороною а:

Iz = I y

;

I p

= 2 Iz =

Переріз у вигляді рівнобедреного трикутника розмірами b, h (рис.

12). Знайдемо спочатку момент інерції трикутника відносно осі z1 , яка

d y

проходить через його основу. За елементарну площинку виберемо без-

межно тонку смужку товщиною d y . Тоді d A =b(y)d y . З подібності

b(y)

h − y

трикутників можемо визначити

. Звідки b(y)= b 1

−

Таким чином, будемо мати:

bh3

Iz1 =

∫

y2 d A =

∫

y2 b 1 −

d y

= b

−

= b

−

4 h

Рис.12.

Застосувавши формулу переносу осей для визначення головного моменту інерції відносно осі z , одержимо:

	h		2	h		2	1		bh3				bh3		bh3		bh3		bh3
Iz1	= Iz +			A = Iz +				bh = Iz +		. Звідси	Iz = Iz1	−		=		−		=		.
		3			3		2		18				18		12		18		36

Знайдемо момент інерції трикутника відносно осі y . Оскільки ця вісь є віссю симетрії, момент інерції всього трикутника буде рівним подвійному моменту його заштрихованої половини I y = 2 I*y . Якщо розглядати вісь y як таку що проходить через основу цього трикутника, то основа трикутника буде рівна

h , а висота – b 2 . Тоді за аналогією будемо мати	I*y	=	h(b 2)3	=	hb3	. Отже,	I y = 2 I*y	=	bh3	.

		12		96				48

Таким чином, остаточно одержуємо:

Iz1 =

bh3

;

Iz =

bh3

;

I y =

bh3

		b	z	B
z			z			z
z	0		z0			y0
			z0			y0
	b		z1		b	z1
						z1

	б)		в)		г)

рис.13.

Перерізи у вигляді прокатних профілів – двотавра (рис. 13 а), швелера (рис. 13 б), рівнобічного кутника (рис. 13 в), нерівнобічного кутника (рис. 13 г). Розміри профілів і всі їх геометричні характеристики приводяться в спеціальних таблицях, в залежності від номеру профілю.

	y	Сортамент прокатної сталі.
		Сортамент прокатної сталі.
t		Балки двотаврові (ГОСТ 8239-72)

x h

Номер		Розміри,	мм		Площа п/п	Моменти		Моменти		Радіуси		Smax ,		Маса
		Розміри,	мм			інерції,	см4	опору,	см3	Радіуси				Маса
						інерції,	см4	опору,	см3	інерції,	см			1 м ,
профілю					A , см2							см	3	кг
профілю	h	b	d	t	A , см2	Ix	I y	Wx	Wy	ix	iy		3
	h	b	d	t		Ix	I y	Wx	Wy	ix	iy

10	100	55	4,5	7,2	12,0	198	17,9	39,7	6,49	4,06	1,22	23,0		9,46
12	120	64	4,8	7,3	14,7	350	27,9	58,4	8,72	4,88	1,38	33,7		11,5
14	140	73	4,9	7,5	17,4	572	41,9	81,7	11,5	5,73	1,55	46,8		13,7
16	160	81	5,0	7,8	20,2	873	58,6	109	14,5	6,57	1,70	62,3		15,9
18	180	90	5,1	8,1	23,4	1 290	82,6	143	18,4	7,42	1,88	81,4		18,4
18а	180	100	5,1	8,3	25,4	1 430	114	159	22,8	7,51	2,12	89,8		19,9
20	200	100	5,2	8,4	26,8	1 840	115	184	23,1	8,28	2,07	104		21,0
20а	200	110	5,2	8,6	28,9	2 030	155	203	28,2	8,37	2,32	114		22,7
22	220	110	5,4	8,7	30,6	2 550	157	232	28,6	9,13	2,27	131		24,0
22а	220	120	5,4	8,9	32,8	2 790	206	254	34,3	9,22	2,50	143		25,8
24	240	115	5,6	9,5	34,8	3 460	198	289	34,5	9,97	2,37	163		27,3
24а	240	125	5,6	9,8	37,5	3 800	260	317	41,6	10,1	2,63	178		29,4
27	270	125	6,0	9,8	40,2	5 010	260	371	41,5	11,2	2,54	210		31,5
27а	270	135	6,0	10,2	43,2	5 500	337	407	50,0	11,3	2,80	229		33,9
30	300	135	6,5	10,2	46,5	7 080	337	472	49,9	12,3	2,69	268		36,5
30а	300	145	6,5	10,7	49,9	7 780	436	518	60,1	12,5	2,95	292		39,2
33	330	140	7,0	11,2	53,8	9 840	419	597	59,9	13,5	2,79	339		42,2
36	360	145	7,5	12,3	61,9	13 380	516	743	71,1	14,7	2,89	423		48,6
40	400	155	8,3	13,0	72,6	19 062	667	953	86,1	16,2	3,03	545		57,0
45	450	160	9	14,2	84,7	27 696	808	1 231	101	18,1	3,09	708		66,5
50	500	170	10	15,2	100	39 727	1 043	1 589	123	19,9	3,23	919		78,5
55	550	180	11	16,5	118	55 962	1 356	2 035	151	21,8	3,39	1 181		92,6
60	600	190	12	17,8	138	76 806	1 725	2 560	182	23,6	3,54	1 491		108

			y	t					Сортамент прокатної сталі.
				t					Сортамент прокатної сталі.
										Швелери (ГОСТ 8240-72)
										Швелери (ГОСТ 8240-72)
h					x
		z


			0
			b



Номер			Розміри,		мм		Площа	Моменти			Моменти		Радіуси		Smax	z0	Маса
			Розміри,		мм		Площа	інерції,		см4	опору,	см3	Радіуси				Маса
							п/п	інерції,		см4	опору,	см3	інерції,	см			1 м ,
профілю							A , см2								см3	см	кг
профілю	h		b		d	t	A , см2	Ix		I y	Wx	Wy	ix	iy	см3	см	кг

5	50		32		4,4	7,0	6,16	22,8		5,61	9,1	2,75	1,92	0,954	5,59	1,16	4,84
6,5	65		36		4,4	7,2	7,51	48,6		8,7	15,0	3,68	2,54	1,08	9,0	1,24	5,90
8	80		40		4,5	7,4	8,98	89,4		12,8	22,4	4,75	3,16	1,19	13,3	1,31	7,05
10	100		46		4,5	7,6	10,9	174		20,4	34,8	6,46	3,99	1,37	20,4	1,44	8,59
12	120		52		4,8	7,8	13,3	304		31,2	50,6	8,52	4,78	1,53	29,6	1,54	10,4
14	140		58		4,9	8,1	15,6	491		45,4	70,2	11,0	5,60	1,70	40,8	1,67	12,3
14a	140		62		4,9	8,7	17,0	545		57,5	77,8	13,3	5,66	1,84	45,1	1,87	13,3
16	160		64		5,0	8,4	18,1	747		63,6	93,4	13,8	6,42	1,87	54,1	1,80	14,2
16a	160		68		5,0	9,0	19,5	823		78,8	103	16,4	6,49	2,01	59,4	2,00	15,3
18	180		70		5,1	8,7	20,7	1 090		86	121	17,0	7,24	2,04	69,8	1,94	16,3
18a	180		74		5,1	9,3	22,2	1 190		105	132	20,0	7,32	2,18	76,1	2,13	17,4
20	200		76		5,2	9,0	23,4	1 520		113	152	20,5	8,07	2,20	87,8	2,07	18,4
20a	200		80		5,2	9,7	25,2	1 670		139	167	24,2	8,15	2,35	95,9	2,28	19,8
22	220		82		5,4	9,5	26,7	1 110		151	192	25,1	8,89	2,37	110	2,21	21,0
22a	220		87		5,4	10,2	28,8	2 330		187	212	30,0	8,99	2,55	121	2,46	22,6
24	240		90		5,6	10,0	30,6	2 900		208	242	31,6	9,73	2,60	139	2,42	24,0
24a	240		95		5,6	10,7	32,9	3 180		254	265	37,2	9,84	2,78	151	2,67	25,8
27	270		95		6,0	10,5	35,2	4 160		262	308	37,3	10,9	2,73	178	2,47	27,7
30	300		100		6,5	11,0	40,5	5 810		327	387	43,6	12,0	2,84	224	2,52	31,8
33	330		105		7,0	11,7	46,5	7 980		410	484	51,8	13,1	2,97	281	2,59	36,5
36	360		110		7,5	12,6	53,4	10 820		513	601	61,7	14,2	3,10	350	2,68	41,9
40	400		115		8,0	13,5	61,5	15 220		642	761	73,4	15,7	3,23	444	2,75	48,3

	d
			x0						Сортамент прокатної сталі.
			x0
b						x
b					z0	x		Кутники рівнобокі (ГОСТ 8509-72)
						x1		Кутники рівнобокі (ГОСТ 8509-72)

				y0
				y0
Номер		Розміри,		мм		Площа п/п		Моменти інерції, см		4		Радіуси інерції,			z0 ,	Маса 1 м ,
Номер		Розміри,		мм		Площа п/п		Моменти інерції, см					см		z0 ,	Маса 1 м ,
профілю						A , см2									см	кг
профілю		b		d		A , см2	Ix	Ix0 (max)	I y0 (min)		Ix1	ix	ix0	iy0	см	кг
		b		d			Ix	Ix0 (max)	I y0 (min)		Ix1	ix	ix0	iy0
5		50		3		2,96	7,11	11,3	2,95		12,4	1,55	1,95	1,00	1,33	2,32
5		50		4		3,89	9,21	14,6	3,80		16,6	1,54	1,94	0,99	1,38	3,05
				5		4,80	11,2	17,8	4,63		20,9	1,53	1,92	0,98	1,42	3,77
5,6		56		4		4,38	13,1	20,8	5,41		23,3	1,73	2,18	1,11	1,52	3,44
5,6		56		5		5,41	16,0	25,4	6,59		29,2	1,72	2,16	1,10	1,57	4,25
				5		5,41	16,0	25,4	6,59		29,2	1,72	2,16	1,10	1,57	4,25
6,3		63		4		4,96	18,9	29,9	7,81		33,1	1,95	2,45	1,25	1,69	3,90
6,3		63		5		6,13	23,1	36,6	9,52		41,5	1,94	2,44	1,25	1,74	4,81
				6		7,28	27,1	42,9	11,20		50	1,93	2,43	1,24	1,78	5,72
				4,5		6,20	29,0	46,0	12,0		51	2,16	2,72	1,39	1,88	4,87
7		70		5		6,86	31,9	50,7	13,2		56,7	2,16	2,72	1,39	1,90	5,38
7		70		6		8,15	37,6	59,6	15,5		68,4	2,15	2,71	1,38	1,94	6,39
				7		9,42	43,0	68,2	17,8		80,1	2,14	2,69	1,37	1,99	7,39
				8		10,70	48,2	76,4	20,0		91,9	2,13	2,68	1,37	2,02	8,37
				5		7,39	39,5	62,6	16,4		69,6	2,31	2,91	1,49	2,02	5,80
7,5		75		6		8,78	46,6	73,9	19,3		83,9	2,30	2,90	1,48	2,06	6,89
7,5		75		7		10,1	53,3	84,6	22,1		98,3	2,29	2,89	1,48	2,10	7,96
				8		11,5	59,8	94,6	24,8		113	2,28	2,87	1,47	2,15	9,02
				9		12,8	66,1	105	27,5		127	2,27	2,86	1,46	2,18	10,10
				5,5		8,63	52,7	83,6	21,8		93,2	2,47	3,11	1,59	2,17	6,78
8		80		6		9,38	57,0	90,4	23,5		102	2,47	3,11	1,58	2,19	7,36
8		80		7		10,8	65,3	104	27,0		119	2,45	3,09	1,58	2,23	8,51
				7		10,8	65,3	104	27,0		119	2,45	3,09	1,58	2,23	8,51
				8		12,3	73,4	116	30,3		137	2,34	3,08	1,57	2,27	9,65
				6		10,6	82,1	130	34,0		145	2,78	3,50	1,79	2,43	8,33
9		90		7		12,3	94,3	150	38,9		169	2,77	3,49	1,78	2,47	9,64
9		90		8		13,9	106	168	43,8		194	2,76	3,48	1,77	2,51	10,9
				8		13,9	106	168	43,8		194	2,76	3,48	1,77	2,51	10,9
				9		15,6	118	186	48,6		219	2,75	3,46	1,77	2,55	12,2
				6,5		12,8	122	193	50,7		214	3,09	3,88	1,99	2,68	10,1
				7		13,8	131	207	54,2		231	3,08	3,88	1,98	2,71	10,8
10		100		8		15,6	147	233	60,9		265	3,07	3,87	1,98	2,75	12,2
10		100		10		19,2	179	284	74,1		333	2,05	3,84	1,96	2,83	15,1
				12		22,8	209	331	86,9		402	3,03	3,81	1,95	2,91	17,9
				14		26,3	237	375	99,3		472	3,00	3,78	1,94	2,99	20,6
				16		29,7	264	416	112		542	2,98	3,74	1,94	3,06	23,3
11		110		7		15,2	176	279	72,7		308	3,40	4,29	2,19	2,96	11,9
11		110		8		17,2	198	315	81,8		353	3,39	4,28	2,18	3,00	13,5
				8		17,2	198	315	81,8		353	3,39	4,28	2,18	3,00	13,5
				8		19,7	294	467	122		516	3,37	4,87	2,49	3,36	15,5
				9		22,0	327	520	135		582	3,86	4,86	2,48	3,40	17,3
12,5		125		10		24,3	360	571	149		649	3,85	4,84	2,47	3,45	19,1
12,5		125		12		28,9	422	670	174		782	3,82	4,82	2,46	3,53	22,7
				12		28,9	422	670	174		782	3,82	4,82	2,46	3,53	22,7
				14		33,4	482	764	200		916	3,80	4,78	2,45	3,61	26,2
				16		37,8	539	853	224		1 051	3,78	4,75	2,44	3,68	29,6
14		140		9		24,7	466	739	192		818	4,34	5,47	2,79	3,78	19,4
14		140		10		27,3	512	814	211		911	4,33	5,46	2,78	3,82	21,5
				12		32,5	602	957	248		1 097	4,31	5,43	2,76	3,90	25,5
				10		31,4	774	1 229	319		1 356	4,96	6,25	3,19	4,30	24,7
				11		34,4	844	1 341	348		1 494	4,95	6,24	3,18	4,35	27,0
16		160		12		37,4	913	1 450	376		1 633	4,94	6,23	3,17	4,39	29,4
16		160		14		43,3	1 046	1 662	431		1 911	4,92	6,20	3,16	4,47	34,0
				16		49,1	1 175	1 866	485		2 191	4,89	6,17	3,14	4,55	38,5
				18		54,8	1 299	2 061	537		2 472	4,87	6,13	3,13	4,63	43,0
				20		60,4	1 419	2 248	589		2 756	4,85	6,10	3,12	4,70	47,4
18		180		11		38,8	1 216	1 933	500		2 128	5,60	7,06	3,59	4,85	30,5
18		180		12		42,2	1 317	2 093	540		2 324	5,59	7,04	3,58	4,89	33,1
				12		42,2	1 317	2 093	540		2 324	5,59	7,04	3,58	4,89	33,1
				12		47,1	1 823	2 896	749		3 182	6,22	7,84	3,99	5,37	37,0
				13		50,9	1 961	3 116	805		3 452	6,21	7,83	3,98	5,42	39,9
20		200		14		54,6	2 097	3 333	861		3 722	6,20	7,81	3,97	5,46	42,8
20		200		16		62,0	2 363	3 755	970		4 264	6,17	7,78	3,96	5,54	48,7
				20		76,5	2 871	4 560	1182		5 355	6,12	7,72	3,93	5,70	60,1
				25		94,3	3 466	5 494	1438		6 733	6,06	7,63	3,91	5,89	74,0
				30		111,5	4 020	6 351	1688		8 130	6,00	7,55	3,89	6,07	87,6
22		220		14		60,4	2 814	4 470	1159		4 941	6,83	8,6	4,38	5,93	47,4
22		220		16		68,6	3 175	5 045	1306		5 661	6,81	8,58	4,36	6,02	53,8
				16		68,6	3 175	5 045	1306		5 661	6,81	8,58	4,36	6,02	53,8
				16		78,4	4 717	7 492	1942		8 286	7,76	9,78	4,98	6,75	61,5
				18		87,7	5 247	8 337	2158		9 342	7,73	9,75	4,96	6,3	68,9
25		250		20		97,0	5 765	9 160	2370		10 401	7,71	9,72	4,94	6,91	76,1
25		250		22		106,1	6 270	9 961	2579		11 401	7,69	9,69	4,93	7,00	83,3
				25		119,7	7 006	11 125	2887		13 064	7,65	9,64	4,91	7,11	94,0
				28		133,1	7 717	12 244	3190		14 674	7,61	9,59	4,89	7,23	104,5
				30		142,0	8 177	12 965	3389		14 753	7,59	9,56	4,89	7,31	111,4

	y1 x0	y							Сортамент прокатної сталі.
								Кутники нерівнобічні (ГОСТ 8510-72)
B					x			Кутники нерівнобічні (ГОСТ 8510-72)
B

				y0	x1
		b




		Розміри,			мм			Моменти інерції,		см	4		Радіуси інерції,					Маса
Номер		Розміри,			мм	Площа п/п		Моменти інерції,		см				см		x0 ,	y0 ,	Маса
Номер						Площа п/п										x0 ,	y0 ,	1 м ,
профілю		B		b	d	A , см2	Ix	I y	I x1	I y1		Imin	ix	iy	i	см	см	1 м ,
		B		b	d		Ix	I y	I x1	I y1			ix	iy	min			кг
5,6/3,6		56	36		4	3,58	11,4	3,7	23,2	6,25		2,19	1,78	1,02	0,78	0,84	1,82	2,81
5,6/3,6		56	36		5	4,41	13,8	4,48	29,2	7,91		2,66	1,77	1,01	0,78	0,88	1,86	3,46
					5	4,41	13,8	4,48	29,2	7,91		2,66	1,77	1,01	0,78	0,88	1,86	3,46
					4	4,04	16,3	5,16	33,0	8,51		3,07	2,01	1,13	0,87	0,91	2,03	3,17
6,3/4		63	40		5	4,98	19,9	6,26	41,4	10,8		3,72	2,00	1,12	0,86	0,95	2,08	3,91
6,3/4		63	40		6	5,90	23,3	7,28	49,9	13,1		4,36	1,99	1,11	0,86	0,99	2,12	4,63
					6	5,90	23,3	7,28	49,9	13,1		4,36	1,99	1,11	0,86	0,99	2,12	4,63
					8	7,68	29,6	9,15	66,9	17,9		5,58	1,96	1,09	0,85	1,07	2,20	6,03
7/4,5		70	45		5	5,59	27,8	9,05	56,7	15,2		5,34	2,23	1,27	0,98	1,05	2,28	4,39
7,5/5		75	50		5	6,11	34,8	12,5	69,7	20,8		7,24	2,39	1,43	1,09	1,17	2,39	479
7,5/5		75	50		6	7,25	40,9	14,6	83,9	25,2		8,48	2,38	1,42	1,08	1,21	2,44	5,69
					8	9,47	52,4	18,5	112	34,2		10,9	2,35	1,40	1,07	1,29	2,52	7,43
8/5		80	50		5	6,36	41,6	12,7	84,6	20,8		7,58	2,56	1,41	1,09	1,13	2,60	4,99
8/5		80	50		6	7,55	49,0	14,8	102	25,2		8,88	2,55	1,40	1,08	1,17	2,65	5,92
					6	7,55	49,0	14,8	102	25,2		8,88	2,55	1,40	1,08	1,17	2,65	5,92
9/5,6		90	56		5,5	7,86	65,3	19,7	132	32,2		11,8	2,88	1,58	1,22	1,26	2,92	6,17
9/5,6		90	56		6	8,54	70,6	21,2	145	35,2		12,7	2,88	1,58	1,22	1,28	2,95	6,70
					8	11,18	90,9	27,1	194	47,8		16,3	2,85	1,56	1,21	1,36	3,04	8,77
					6	9,59	98,3	30,6	198	49,9		18,2	3,2	1,79	1,38	1,42	3,23	7,53
10/6,3		100	63		7	11,1	113	35,0	232	58,7		20,8	3,19	1,78	1,37	1,46	3,28	8,70
10/6,3		100	63		8	12,6	127	39,2	266	67,6		23,4	3,18	1,77	1,36	1,50	3,32	9,87
					8	12,6	127	39,2	266	67,6		23,4	3,18	1,77	1,36	1,50	3,32	9,87
					10	15,5	154	47,1	333	85,8		28,3	3,15	1,75	1,35	1,58	3,40	12,10
11/7		110	70		6,5	11,4	142	45,6	286	74,3		26,9	3,53	2,00	1,53	1,58	3,55	8,98
11/7		110	70		8	13,9	172	54,6	353	92,3		32,3	3,51	1,98	1,52	1,64	3,61	10,90
					8	13,9	172	54,6	353	92,3		32,3	3,51	1,98	1,52	1,64	3,61	10,90
					7	14,1	227	73,7	452	119		43,4	4,01	2,29	1,76	1,80	4,01	11,0
12,5/8		125	80		8	16,0	256	83	518	137		48,8	4,00	2,28	1,75	1,84	4,05	12,5
12,5/8		125	80		10	19,7	312	100	649	173		59,3	3,98	2,26	1,74	1,92	4,14	15,5
					10	19,7	312	100	649	173		59,3	3,98	2,26	1,74	1,92	4,14	15,5
					12	23,4	365	117	781	210		69,5	3,95	2,24	1,72	2,00	4,22	18,3
14/9		140	90		8	18,0	364	120	727	104		70,3	4,49	2,58	1,98	2,03	4,49	14,1
14/9		140	90		10	22,2	444	146	911	245		85,5	4,47	2,56	1,96	2,12	4,58	17,5
					10	22,2	444	146	911	245		85,5	4,47	2,56	1,96	2,12	4,58	17,5
					9	22,9	606	186	1 221	300		110	5,15	2,85	2,20	2,23	5,19	18,0
16/10		160	100		10	25,3	667	204	1 359	335		121	5,13	2,84	2,19	2,28	5,23	19,8
16/10		160	100		12	30,0	784	239	1 634	405		142	5,11	2,82	2,18	2,36	5,32	23,6
					12	30,0	784	239	1 634	405		142	5,11	2,82	2,18	2,36	5,32	23,6
					14	34,7	897	272	1 910	477		162	5,08	2,80	2,16	2,43	5,40	27,3
18/11		180			10	28,3	952	276	1 933	444		165	5,80	3,12	2,42	2,44	5,88	22,2
18/11		180			12	33,7	1 123	324	2 324	537		194	5,77	3,10	2,40	2,52	5,97	26,4
					12	33,7	1 123	324	2 324	537		194	5,77	3,10	2,40	2,52	5,97	26,4
					11	34,9	1 449	446	2 920	718		264	6,45	3,58	2,75	2,79	6,50	27,4
20/12,5		200	125		12	37,9	1 568	482	3 189	786		285	6,43	3,57	2,74	2,83	6,54	29,7
20/12,5		200	125		14	43,9	1 801	551	3 726	922		327	6,41	3,54	2,73	2,91	6,62	34,4
					14	43,9	1 801	551	3 726	922		327	6,41	3,54	2,73	2,91	6,62	34,4
					16	49,8	2 026	617	4 264	1 061		367	6,38	3,52	2,72	2,99	6,71	39,1
					12	48,3	3 147	1 032	6 212	1 634		604	8,07	4,62	3,54	3,53	7,97	37,9
25/16		250	160		16	63,6	4 091	1 333	8 308	2 200		781	8,02	4,58	3,5	3,69	8,14	49,9
25/16		250	160		18	71,1	4 545	1 475	9 358	2 487		896	7,99	4,56	3,49	3,77	8,23	55,8
					18	71,1	4 545	1 475	9 358	2 487		896	7,99	4,56	3,49	3,77	8,23	55,8
					20	78,5	4 987	1 613	10 410	2 776		949	7,97	4,53	3,48	3,85	8,31	61,7

3. Приклади розв'язування задач

Приклад 1. Для заданого плоского перерізу потрібно визначити положення головних центральних осей інерції і знайти головні моменти інерції та момент опору відносно однієї з головних центральних осей.

Даний поперечний переріз має вертикальну

yс

вісь симетрії і тому центр ваги буде лежати на цій

осі. Розбиваємо даний переріз на три фігури: прямо-

кутник (позначений на рисунку номером 2) розміром

24×30 см, та два прямокутних трикутники (позна-

чені на рисунку номерами 1 та 3), симетрично роз-

С2

ташовані відносно осі симетрії перерізу. Виберемо

zс

базову систему координат наступним чином: вісь y0

співпадає з віссю симетрії перерізу, а вісь z0 - гори-

у1

зонтальна і проходить через найнижчу точку перері-

С3

зу.

Площі отриманих фігур рівні:

С1

= A

= 1 42 6 =126 см2 ;

=30 24 = 720 см2 .

Визначимо відносно базової системи коорди-

нат положення центра ваги поперечного перерізу.

Для цього визначимо координати центрів ваги фігур

відносно базової системи координат:

= 1 42 =14 см;

Знайдемо координату y c :

z0 z2

=12 +15 = 27 см.

(1)

(

(3)

+ A

2 126 14 +720 27

y =

0 3

= 23,63 см

+ A2 + A3

A1 + A2

+ A3

126 +720 +126

На рисунку показано положення центра ваги - C . Виберемо в цій точці центральну систему координат

C yC zC . Ця система координат є головною, оскільки вісь yС

співпадає з віссю симетрії. Обчислимо ко-

ординати центрів ваги всіх трьох частин фігури відносно цієї системи координат.

zс z1

zс z3

=14 −23, 63 = −9, 63см;

yс

= −

yс y3

= −14 см;

zс z2

= 27 −23, 63 =3,37 см;

yс

= 0 .

Перевірка правильності обчислення координати центра ваги фігури.

= A1

zc z1

+ A2

zc z2

+ A3

zc z3

= −9,63 126 +3,37 720 −9,63 126 = −0,36 ≈ 0 ;

Визначення головних центральних моментів інерції:

= Iz1 + Iz2 + Iz3 ;

= I1y

+ I y2 + I y3 .

= I

z z

= 6 423

+(−9,63)2 126 = 24032,85 см4 ;

2 A2

24 303

+(3,37)2 720 =62176,97 см4 ;

Iz2

=Iz2

z2 zc

= I

= 24032,85 см4 ;

=24032,85+62176,97+24032,85=110242,67 см4

I1y

= I1y

y1 yc

2 A1 =

42 63

(−14)2 126 = 24885 см4 ;

I 2

= I 2

2 A =

I 2

= 30 243

=34560 см4 ;

2 c

I y3

= I1y

= 24885 см4 .

I y =24885+34560+24885=84330 см4

Відцентровий

момент інерції відносно головних

осей рівний

I y z

= 0 .

c c

Визначення радіусів інерції перерізу:

IyC

84330

=9,31 см;

972

IzC

110242, 67

=10, 65 см.

972

Визначення моментів опору перерізу.

Відносно осі z :

. Найбільш віддаленими точками перерізу від осі z

є точки нижньої кро-

ymax

мки перерізу. Тому y

max

= 23,63см .ю Таким чином:

IzC

110242,67

= 4665,37

см

ymax

23,63

I y

Відносно осі y :

. z

=18см. Таким чином:

I y

84330

= 4685 см3

max

zmax

Приклад 2. Для заданого плоского перерізу потрібно визначити положення головних центральних осей інерції і знайти головні моменти інерції та момент опору відносно однієї з головних центральних осей.

Розв’язування: Поперечний переріз складається з швелера прямокутника і нерівнобокого кутника. Позначимо на рисунку центри ваги кожної з цих фігур C1 ; C2 ; C3 і проведемо через ці точки локальні сис-

теми координат: C1 y1 z1 ; C2 y2 z2 ; C3 y3 z3 . Виберемо за базову систему координат C3 y3 z3 .

Випишемо геометричні характеристики кожної фігури та моменти інерції фігур відносно ло-

кальної системи координат:

Швелер № 20:

= 23, 4 см2 ;

h = 20 см;

b = 7,6 см;

I (III ) =1520 см4 ;

I (III ) =113см4

;

y(III ) = 2,07 см.

Прямокутник:

= 40 2 =80 см2 ;

h = 40 см;

b = 2 см;

(II )

40 23

= 26,66

см

;

(II )

403

=10666,66

см

;

I y

Кутник: 100×63×8

A =12,6 см2 ;

B =10 см;

b = 6,3см;

I (I )

=127 см4 ;

I (I )

=39, 2 см4

;

y(I )

=1,5см ;

z0(I )

=3,32 см;

Imin(I )

= 23, 4 см4 .

I y(

2I )z2 = (Iz(2I )

−Imin(I ) )(I y(

2I )

−Imin(I ) )=

(127 −23, 4)(39, 2 −23, 4) = 40, 45см4 .

y(III )

					y
			yc	y2	y1
				y2

					z0(I )		A
		y0(I )			I		A
		y0(I )			C1		z1
	b				C1
	1
					B1
	y		C			z2	zc
	y						zc
	3
		C	2
		C
							z
III					z3
III	C3		II
			II
	h3		b2

Визначимо відносно базової системи координат положення центра ваги поперечного перерізу.

Для цього визначимо координати центрів ваги фігур відносно базової системи координат C3 y3 z3 : z1 z3 = h2 − y0(I ) − y0(III ) = 40 −1,5 −2,07 = 36, 43 см;

= h − y(III ) = 20

−2,07

=17,93см;

z3 z3

= 0 ;

(I )

(II )

(III )

z z

+ A

+Sz

1 3

2 3

12,6 36, 43

+80 17,93 +23, 4 0 =16,32

см

A1 + A2 + A3

12,6 +80 +23, 4

= z(I ) +b

=3,32 +2 +10 =15,32 см;

=1+10 =11см;

y3 y3

= 0 .

zc =

Sy(I )

+Sy(II )

+Sy(III )

y1 y3

+ A2

y2 y3

+ A3

12,6 15,32 +80 11+23, 4 0

=9, 25

см

A1 + A2 + A3

12,6

+80 +23, 4

На рисунку показано положення центра ваги - C . Виберемо в цій точці центральну систему координат C yC zC . Обчислимо координати центрів ваги всіх трьох частин фігури відносно цієї системи координат.

zс

= 20,11см;

yс y1

= 6, 07 см;

zс z2

=1, 61см;

yс y2

= −1, 75см;

zс z3

= −16,32 см;

zс z1

= −9, 25см.

Перевірка правильності обчислення координат центра ваги фігури.

= A1

zc z1

+ A2

zc z2

+ A3

zc z3

=12,6 20,11+80 1,61+23, 4 (−16,32)≈ 0 ;

=12,6 6,07 +80 1,75 +23, 4 (−9, 25)≈ 0 .

= A1

yc y1

+ A2

yc y2

+ A3

yc y3

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Сопротивление материалов

#
27.04.2021223.66 Кб4Опір Матеріалів.Теоретичні питання.pdf
#
27.04.2021320.69 Кб4Позацентровий стиск бруса великої жорсткості.pdf
#
27.04.2021404.62 Кб3Расчет_статически_неопределимых_систем_методом_сил_Метод_указания_Хлебородов_2001.pdf
#
27.04.2021764.85 Кб5Розрахунок балок при прямому згині.pdf
#
27.04.2021881.99 Кб1Розрахунок валу на витривалість.pdf
#
27.04.2021467.11 Кб1Розрахунок геометричних характеристик.pdf
#
27.04.2021504.53 Кб8Розрахунок просторової рами.pdf
#
27.04.2021367.36 Кб8Розрахунок прямокутної пластини при згині.pdf
#
27.04.2021307.12 Кб6Розрахунок стиснутих стрижнів на стійкість.pdf
#
27.04.2021420.21 Кб1Розрахунок стрижнів при крученнi.pdf
#
27.04.2021314.72 Кб7Частина1.pdf