Розрахунок балок при прямому згині

Рис. 4. Епюра дотичних напружень в стінці двотавра

Дотичні напруження в точках переходу від стінки до полички двотавра згідно з формулою (6) дорівнюють

а також за еквівалентними напруженнями з використанням певних теорій міцності. Зокрема, якщо очікується пластичне руйнування, то умови міцності мають вигляд:

а) згідно з ІІІ теорією міцності (теорією міцності найбільших дотичних напружень)

де σ, τ – нормальні та дотичні напруження, які діють в розглядуваній точці балки; α – кут між напрямком напруження σ і головного напруження σ1, що вважається додатнім за ходом стрілки

- 10 -

Зауважимо, що перед складанням рівняння прогинів балки спочатку слід визначити опорні реакції. Рівняння кутів повороту поперечних перерізів балки можна одержати шляхом диференціювання рівняння прогинів (15).

Крім розрахунку балок на міцність виникає потреба їх розрахунку на жорсткість. Розрахунок на жорсткість полягає в тому, щоб максимальний прогин балки не перевищував допус-

де допустимий прогин [ν] встановлюється на підставі експериментальних та експлуатаційних даних і приймається рівним

l – прогин балки; m – число, що встановлюється нормами проектування, його значення знаходиться в межах від 300 до 1000.

3. Приклад розв'язання задачі.

Виконати розрахунок на міцність і жорсткість статично визначеної двотаврової балки (рис.7, а), модуль пружності матеріалу якої дорівнює E = 2 105 МПа, допустиме напруження взяти [σ ]=160 МПа. В ході розрахунку виконати наступне:

1.Визначити опорні реакції;

2.Побудувати епюру поперечних сил;

3.Побудувати епюру згинальних елементів;

-12 -

4.Підібрати двотавровий переріз балки за умовою міцності найбільших нормальних напружень;

5.Виконати перевірку міцності для підібраної балки за найбільшими нормальними напруженнями;

6.Виконати перевірку міцності балки за найбільшими дотичними напруженнями;

7.Побудувати епюри нормальних і дотичних напружень в перерізі балки, де одночасно діють великі згинальний момент та поперечна сила;

8.Виконати перевірку міцності в точці переходу від стінки до полички перерізу балки, вказаному в пункті 7, використовуючи третю теорію міцності;

9.Записати для розглядуваної балки рівняння її зігнутої осі з використанням універсального рівняння прогинів балки;

10.Обчислити прогини в характерних точках осі балки;

11.Виконати перевірку жорсткості балки.

1,32

Рис. 7. Розрахункова схема балки (а) і епюри поперечних сил (б), згинальних моментів (в) та прогинів (г).

- 13 -

1.Визначення опорних реакцій.

Зумов рівноваги балки маємо:

∑МB = 0 : RA 4 + F 5 − q 3 3.5 − M + F1 1 = 0,

RA = 14 (−24 5 +16 3 3.5 + 44 −32) =15kH ;

∑МA = 0 : RB 4 + M − F1 5 − q 3 0.5 − F 1 = 0,

RB = 14 (−44 +32 5 +16 3 0.5 + 24) = 41kH.

Перевірка:

∑Y = 0 : − RA − RB − F + q 3 + F1 = 0

−15 − 41− 24 +16 3 +32 = 0, −80 +80 = 0; 0 = 0

Значення та напрямки реакцій показані на рис. 7, а.

2. Побудова епюри поперечних сил.

Для окремих ділянок балки знаходимо: а) ділянка І (0 ≤ х ≤ 1):

QI (x) = F − q x = 24 −16x,

QI (0) = 24kH , QI (1) = 24 −16 = 8kH ;

б) ділянка ІІ (1 ≤ х ≤ 3):

QII (x) = F + RA − qx = 24 +15 −16x = 39 −16x,

QII (1) = 39 −16 = 23kH , QII (3) = 39 −16 3 = −9kH ;

в) ділянка ІV (0 ≤ х ≤ 1):

QIV (x) = F1 = 32kH ;

г) ділянка ІІІ (1 ≤ х ≤ 3):

QIII (x) = F1 − RB = 32 − 41 = −9kH .

За обчисленими значеннями Q(x) будуємо епюру (див рис. 7, б).

3. Побудова епюри згинальних моментів.

Для окремих ділянок маємо: а) ділянка І (0 ≤ х ≤ 1):

M I (x) = Fx − qx2 / 2 = 24x −8x2 ,

M I (0) = 0, M I (1) = 24 −8 =16kH м;

б) ділянка ІІ (1 ≤ х ≤ 3):

M II (x) = Fx + RA (x −1) − qx2 / 2 = 24x +15(x −1) −8x2 .

На цій ділянці поперечна сила змінює знак в точці x = x0 , де поперечна сила Q(x0 ) = 0 . У цій точці згинальний момент набуває екстремального значення:

У характерних точках ділянки значення згинального моменту:

M II (1) = 24 1−8 12 =16kH м, M II (2.44) = 24 2.44 +15 1.44 −8 2.442 = 32,53kH м,

M II (3) = 24 3 +15 2 −8 32 = 30kH м;

в) ділянка ІV (0 ≤ х ≤ 1):

M IV (x) = −F1 x = −32 x ,

M IV (0) = 0; M IV (1) = −32 1 = −32 kH м;

г) ділянка ІІІ (1 ≤ х ≤ 3):

- 14 -

M III (x) = −F1 x + M + RB (x −1) = −32 x + 44 + 41(x −1) ,

M III (1) = −32 + 44 =12kH м, M III (3) = −32 3 + 41 2 + 44 = 30kH м.

За обчисленими значеннями згинальних моментів будуємо епюру, яка зображена на рис. 7, в.

4. Добір двотаврового поперечного перерізу балки.

Таким чином, в межах можливого п'яти відсоткового перенапруження балки умова міцності виконується.

6. Перевірка міцності двотавра за найбільшими дотичними напруженнями.

Як бачимо, умова міцності виконується.

7. Побудова епюри нормальних і дотичних напружень в перерізі, де одночасно виникають велика поперечна сила та великий згинальний момент.

Переріз, в якому одночасно великі М(х) і Q(х) є переріз, що знаходиться навпроти опори В, де QB = Qmax = 32 kH і M B = −32 kH м. Для цього перерізу у точках K , L та C маємо:

- 15 -

−0.67(x −3)4 H (x −3) + 22(x −5)2 H (x −5) −6.83(x −5)3 H (x −5)).

10.Визначення прогинів балки для характерних точок осі та побудова епюри прогинів.

Обчислимо прогини балки для характерних точок:

За одержаними числовими значеннями будуємо епюру прогинів балки (рис. 7, г).

11. Перевірка жорсткості балки.

Допустимий прогин знаходимо як [v] = l500 = 0,8см. Максимальний прогин, згідно з ре-

зультатами обчислень, vmax = v(0) =1,45см >[v] = 0,8см.

Таким чином, умова жорсткості не виконується. Для добору двотаврового поперечного перерізу балки, що задовольняв би умову жорсткості, розглянемо прогин балки в точці з координатою x = 0 і запишемо умову жорсткості у вигляді

За цим значенням моменту інерції згідно з сортаментом добираємо двотавр № 24а, для якого I z = 3800см4 .

Очевидно, що така двотаврова балка буде задовольняти як умову жорсткості, так і умови міцності.

- 17 -

Програмне забезпечення MathCAD для

розрахунку на міцність та жорсткість балок при прямому згині , прямокутного поперечного перерізу

Введення нестандартних розмірностей MPa := 106 Pa kN := 103 N

Вхідні дані

Навантаження балки:

- 18 -