Частина 3

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Звичайні диференціальні рівняння.

Вирішення різних геометричних, фізичних і інженерних завдань часто приводять до рівнянь, які зв'язують незалежні змінні, що характеризують ту мул інше завдання, з якою – або функцією цих змінних і похідними цієї функції різних порядків.

Як приклад можна розглянути простий випадок рівноприскореного руху матеріальної крапки.

Відомо, що переміщення матеріальної крапки при рівноприскореному русі є функцією часу і виражається по формулі:

змінною t і похідній другого порядку функції f(t).

Визначення. Диференціальним рівнянням називається рівняння, що зв'язує незалежні змінні, їх функції і похідні (або диференціали) цієї функції.

Визначення. Якщо диференціальне рівняння має одну незалежну змінну, то воно називається звичайним диференціальним рівнянням, якщо ж незалежних змінних дві або більш, то таке диференціальне рівняння називається диференціальним рівнянням в приватних похідних.

Визначення. Найвищий порядок похідних, що входять в рівняння, називається

порядком диференціального рівняння.

Приклад.

x3 y′+8y − x + 5 = 0 - звичайне диференціальне рівняння 1 – го порядку. У загальному

загальному вигляді записується F (x, y, y′, y′′) = 0

y2 ∂∂xz + xy ∂∂yz = 0 - диференціальне рівняння в приватних похідних першого порядку.

Визначення. Загальним вирішенням диференціального рівняння називається така функція, що диференціюється, у = ϕ(x, C), яка при підстановці в початкове рівняння замість невідомої функції обертає рівняння в тотожність.

Властивості загального рішення.

1) Оскільки постійна З – довільна величина, то взагалі кажучи диференціальне рівняння має нескінченну безліч рішень.

2

“Курс вищої математики. Частина 3.”

2) При какихабо початкових умовах х = х0, у(х0)= у0 існує таке значення З = С0, при якому вирішенням диференціального рівняння є функція у = ϕ(х, С0).

Визначення. Вирішення вигляду у = ϕ(х, С0) називається приватним вирішенням диференціального рівняння.

Визначення. Завданням Коші (Огюстен Луї Коши (1789-1857) - французький математик) називається знаходження будь-якого приватного вирішення диференціального рівняння вигляду у = ϕ(х, С0), що задовольняє початковим умовам у(х0)= у0.

Теорема Коші. (теорема про існування і єдиність вирішення диференціального рівняння 1- го порядку)

Якщо функція f(x, у) безперервна в деякій області D в площині XOY і має в цій області безперервну приватну похідну, то яка б не була крапка (х0, у0) в області D, існує єдине вирішення y = ϕ(x) рівняння, визначене в деякому інтервалі, що містить

точку х0, що приймає при х = х0 значення ϕ(х0) = у0, тобто існує єдине вирішення диференціального рівняння.

Визначення. Інтегралом диференціального рівняння називається будь-яке рівняння, що не містить похідних, для якого дане диференціальне рівняння є слідством.

Приклад. Знайти загальне вирішення диференціального рівняння xy′+ y = 0 .

Загальне вирішення диференціального рівняння шукається за допомогою інтеграції лівої і правої частин рівняння, яке заздалегідь перетворене таким чином:

x dydx + y = 0 xdy = −ydx

dyy = − dxx

Тепер інтегруємо:

ln y = −ln x + C0 ln y + ln x = C0 ln xy = C0

xy = eC0 = C

y = Cx - це загальне вирішення початкового

диференціального рівняння.

Допустимо, задані деякі початкові умови: x0 = 1; y0 = 2, тоді маємо

При підстановці набутого значення постійною в загальне рішення отримуємо приватне рішення за заданих початкових умов (рішення задачі Коші).

y = 2x

3

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Визначення. Інтегральною кривою називається графік у = (x) вирішення диференціального рівняння на площині Хоy.

Визначення. Особливим вирішенням диференціального рівняння називається таке рішення, в усіх точках якого умова єдиності Коші (див. Теорема Коши.) не виконується, тобто в околиці деякої крапки (х, у) існує не менше двох інтегральних кривих.

Особливі рішення не залежать від постійної С.

Особливі рішення не можна отримати із загального рішення ні при яких значеннях постійної С. Якщо побудувати сімейство інтегральних кривих диференціального рівняння, то особливе рішення зображатиметься лінією, яка в кожній своїй крапці стосується принаймні однієї інтегральної кривої.

Відзначимо, що не кожне диференціальне рівняння має особливі рішення.

Приклад. Знайти загальне вирішення диференціального рівняння: y′+ y = 0. Знайти особливе рішення, якщо воно існує.

ln y = −x + C y = e−x eC

y = C1 e−x

Дане диференціальне рівняння має також особливе рішення у = 0. Це рішення неможливо отримати із загального, проте при підстановці в початкове рівняння отримуємо тотожність. Думка, що рішення у = 0 можна отримати із загального рішення при С1 = 0 помилково, адже C1 = eC ≠ 0.

Далі розглянемо докладніше прийоми і методи, які використовуються при вирішенні диференціальних рівнянь різних типів.

Диференціальні рівняння першого порядку.

Визначення. Диференціальним рівнянням першого порядку називається співвідношення, що зв'язує функцію, її першу похідну і незалежну змінну, тобто співвідношення вигляду:

F (x, y, y′) = 0

Якщо таке співвідношення перетворити до вигляду y′ = f (x, y) те це

диференціальне рівняння першого порядку називатиметься рівнянням, дозволеним

відносно похідною.

Перетворимо такий вираз далі:

4

“Курс вищої математики. Частина 3.”

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0

-це так звана диференціальна форма рівняння першого порядку.

Далі розглянемо докладніше типи рівнянь першого порядку і методи їх рішення.

Рівняння вигляду у’ = f(x).

Хай функція f(x) – визначена і безперервна на деякому інтервалі а < x < b. У такому разі всі вирішення даного диференціального рівняння знаходяться як

y = ∫ f (x)dx + C . Якщо задані початкові умови х0 і у0, то можна визначити постійну С.

Рівняння із змінними, що розділяються

Визначення. Диференціальне рівняння y′ = f (x, y) називається рівнянням із

змінними, що розділяються, якщо його можна записати у вигляді y′ = α(x)β( y) .

Таке рівняння можна представити також у вигляді:

Після знаходження відповідних інтегралів виходить загальне вирішення диференціального рівняння із змінними, що розділяються.

Якщо задані початкові умови, то при їх підстановці в загальне рішення знаходиться постійна величина З, а, відповідно, і приватне рішення.

Приклад. Знайти загальне вирішення диференціального рівняння: yy′ = − 2x cos y

y cos y dydx = −2x y cos ydy = −2xdx

∫y cos ydy = −2∫xdx

Інтеграл, що стоїть в лівій частині, береться по частинах (див. Интегрирование по частям.):

5

y sin y + cos y = −x2 + C y sin y + cos y + x2 +C = 0

-це є загальний інтеграл початкового диференціального рівняння, оскільки шукана функція і не виражена через незалежну змінну. У цьому і полягає відмінність загального (приватного) інтеграла від загального (приватного) рішення.

Щоб перевірити правильність отриманої відповіді продиференціюємо його по змінній х.

y′sin y + yy′cos y − y′sin y + 2x = 0 yy′ = − cos2xy - вірно

Приклад. Знайти вирішення диференціального рівняння yy′ = ln y за умови у(2)=

Приклад. Вирішити рівняння y′ = y 23 . dydx = y 23

y−23 dy = dx ∫y −23 dy = ∫dx 3y 13 = x + C

6

Інтеграл, що стоїть в лівій частині братимемо по частинах (див. Интегрирование по частям. ).

Для знаходження інтеграла, що стоїть в лівій частині рівняння див. п.16. Отримуємо загальний інтеграл:

7

“Курс вищої математики. Частина 3.”

ln tg 2y = −2sin x + C

Приклад. Вирішити рівняння 2xe−x2 + yy′ = 0

Перетворимо задане рівняння:

2xe−x2 + ydxdy = 0 2xe−x2 dx + dyy = 0

∫2xe−x2 dx + ∫dyy = C

− e−x2 + ln y = C

Отримали загальний інтеграл даного диференціального рівняння. Якщо з цього співвідношення виразити шукану функцію, то отримаємо загальне рішення.

Приклад. Вирішити рівняння y′ = x( y2 +1) .

Однорідні рівняння.

Визначення. Функція f(x, у) називається однорідною n – го вимірювання

щодо своїх аргументів х і у, якщо для будь-якого значення параметра t (окрім нуля) виконується тотожність:

f (tx,ty) = t n f (x, y).

Приклад. Чи є однорідною функція f (x, y) = x3 + 3x2 y ?

f (tx,ty) = (tx)3 +3(tx)2 ty = t 3 x3 + 3t 3 x2 y = t 3 (x3 + 3x2 y) = t 3 f (x, y)

8

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Таким чином, функція f(x, у) є однорідною 3- го порядку.

Визначення. Диференціальне рівняння вигляду y′ = f (x, y) називається

однорідним, якщо його права частина f(x, у) є однорідна функція нульового вимірювання щодо своїх аргументів.

Будь-яке рівняння вигляду P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 є однорідним, якщо функції P(x, у) і Q(x, у) – однорідні функції однакового вимірювання.

Вирішення будь-якого однорідного рівняння засноване на приведенні цього рівняння до рівняння із змінними, що розділяються.

Розглянемо однорідне рівняння y′ = f (x, y).

Оскільки функція f(x, у) – однорідна нульового вимірювання, то можна записати: f (tx,ty) = f (x, y).

Оскільки параметр t взагалі кажучи довільний, припустимо, що t = 1x . Отримуємо:

f(x, y) = f 1, y

x

Права частина отриманої рівності залежить фактично тільки від одного аргументуu = xy , тобто

f(x, y) = ϕ y = ϕ(u);

x

Початкове диференціальне рівняння таким чином можна записати у вигляді:

таким чином, отримали рівняння із змінними, що розділяються, щодо невідомої функції u.

Далі, замінивши допоміжну функцію u на її вираз через х і у і знайшовши інтеграли, отримаємо загальне вирішення однорідного диференціального рівняння.

9

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Відзначимо, що введена нами функція u завжди позитивна, оскільки інакше втрачає сенс початкове диференціальне рівняння, що містить ln u = ln xy .

Підставляємо в початкове рівняння:

Переходячи від допоміжної функції назад до функції у, отримуємо загальне рішення:

y = xeCx .

Рівняння, що приводяться до однорідних.

Окрім рівнянь, описаних вище, існує клас рівнянь, які за допомогою певних підстановок можуть приведені до однорідних.

Застосовуємо підстановку x = u −1/ 5; y = v + 7 / 5; в початкове рівняння:

(u −1/ 5 − 2v −14 / 5 + 3)dv + (2u − 2 / 5 + v + 7 / 5 −1)du = 0; (u − 2v)dv + (2u + v)du = 0;

10