Частина 3

“Курс вищої математики. Частина 3.”

30

20

10

-10

-20

-30

Ряди Фурье для функцій будь-якого періоду.

Ряд Фурье для функції f(x) періоду Т = 2l, що безперервною або має кінцеве число точок розриву першого роду на відрізку [-l, l] має вигляд:

Для парної функції довільного періоду розкладання в ряд Фурье має вигляд:

Ряд Фурье по ортогональній системі функцій.

81

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Визначення. Функції (х) ϕі (х), визначені на відрізку [а, b], називаються ортогональними на цьому відрізку, якщо

∫b ϕ(x)ψ(x)dx = 0

a

Визначення. Послідовність функцій ϕ1(x), 2(x) ., ϕn(x), безперервних на відрізку [а, b], називається ортогональною системою функцій на цьому відрізку, якщо всі функції попарно ортогональні.

Відзначимо, що ортогональность функцій не має на увазі перпендикулярності графіків цих функцій.

Визначення. Система функцій називається ортогональною і нормованою

(ортонормованою), якщо

Визначення. Поряд Фурье по ортогональній системі функцій ϕ1(x), ϕ2(x) .,ϕn(x)

називається ряд вигляду:

∞

∑an ϕn (x)

n=1

коефіцієнти якого визначаються по формулі:

ортогональній системі функцій. f(x) – будь-яка функція, що безперервна або має кінцеве число точок розриву першого роду на відрізку [а, b].

У разі ортонормованої системи функцій коефіцієнти визначаються:

b

an = ∫ f (x)ϕn (x)dx

a

Інтеграл Фурье.

Хай функція f(x) на кожному відрізку [-l,l], де l – будь-яке число, кусочно – гладка або кусочно – монотонна, крім того, f(x) – абсолютно інтегрована функція, тобто сходиться невласний інтеграл

∞∫ f (x) dx

−∞

Тоді функція f(x) розкладається в ряд Фурье:

82

Можна довести, що межа суми, що стоїть в правій частині рівності рівний інтегралу

∞∞

∫du ∫ f (t) cosu(t − x)dt

83

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Подвійний інтеграл Фурье для функції f(x) можна представити в комплексній

формі:

Перетворення Фурье.

Визначення. Якщо f(x) – будь-яка абсолютно інтегрована на всій числовій осі функція, що безперервна або має кінцеве число точок розриву першого роду на кожному відрізку, то функція

F (u) = ∞∫ f (x)e−iux dx

−∞

називається перетворенням Фурье функції f(x).

Функція F(u) називається також спектральною характеристикою функції f(x).

Якщо f(x) – функція, уявна інтегралом Фурье, то можна записати:

косинус - перетворення Фурье і синус – перетворення Фурье.

Косинус – перетворення Фурье буде перетворенням Фурье для парних функцій, синус – перетворення – для непарних.

Перетворення Фурье застосовується у функціональному аналізі, гармонійному аналізі, операційному численні, теорії лінійних систем і ін.

Елементи теорії функцій комплексного змінного.

Визначення. Якщо кожному комплексному числу z з деякої безлічі D по деякому закону поставлено у відповідність певне комплексне число w з безлічі G, то на цій області задана однозначна функція комплексного змінного, що відображає безліч

D на безліч G.

w = f(z)

Безліч D називається областю визначення, безліч G – областю значень

функції.

Комплексну функцію можна записати у вигляді: w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)

u(x, y) = Re f (z)

v(x, y) = Im f (z) u, v – дійсні функції від змінних х і у.

84

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Якщо кожному z D відповідає декілька різних значень w, то функція w=f(z)

називається багатозначною.

Властивості функцій комплексного змінного.

Для функцій комплексного змінних f(z) і g(z) справедливі наступні властивості:

Визначення. Функція w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) називається безперервною в точці z0, якщо виконується рівність

zlimz f (z) = f (z0 )

→ 0

Основні трансцендентні функції.

Визначення. Трансцендентними називаються аналітичні функції, які не є алгеброю.

Якщо аргументом показовою або тригонометричних функцій є комплексне число, то визначення цих функцій, що вводиться в елементарній алгебрі втрачає сенс.

Розглянемо розкладання в статечній ряд наступних функцій:

Див.

Функції ez, cosz, sinz зв'язані між собою формулою Ейлера (див. Уравнение Эйлера.) Ця формула може бути дуже легко отримана складанням соотвествующих рядів.

e−iz = cos z + i sin z

Також справедлива рівність:

85

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Для тригонометричних функцій комплексного аргументу справедлива основна тригонометрична тотожність (синус і косинус суми, різниці і так далі), яка справедлива для функцій дійсного аргументу.

Визначення. Гіперболічним синусом, косинусом, тангенсом і котангенсом

називаються відповідно функції:

Гіперболічні функції можуть бути виражені через тригонометричних:

Гіперболічні функції sh z і ch z мають період 2iπ, а функції th z і cth z – період πi.

Приклад. Знайти sin(1+2i).

86

Визначення. Вираз ln z = ln z +i arg z називається головним значенням

логарифма.

Логарифмічна функція комплексного аргументу володіє наступними властивостями:

1) ln(z1 z2 ) = ln z1 + ln z2 ;

3)ln(z)n = n ln z;

4)ln n z = 1n ln z;

Зворотні тригонометричні функції комплексного змінного мають вигляд:

Похідна функцій комплексного змінного.

Визначення. Похідній від однозначної функції w = f(z) в точці z називається

межа:

Визначення. Функція f(z), що має безперервну похідну в будь-якій точці області D називається аналітичною функцією на цій області.

Правила диференціювання функцій комплексного аргументу не відрізняються від правил диференціювання функцій дійсною змінною.

Аналогічно визначаються похідні основних функцій таких як синус, косинус, тангенс і котангенс, статечна функція і так далі

Похідні гіперболічних функцій визначаються по формулах:

(thz)′ = ch12 z ;

87

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Виведення правил інтеграції, значень похідних основних функцій нічим не відрізняється від аналогічних операцій з функціями дійсного аргументу, тому детально розглядати їх не будемо.

Умови Коші – Рімана.

(Бернхард Ріман (1826 – 1866) – німецький математик)

Розглянемо функцію комплексної змінноїw = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) , що визначену на деякій області і має в якій, – або точці цієї області похідну

Ця рівність називається умовами Коші – Рімана, хоча ще раніше вони були отримані Ейлером і Даламбером.

Теорема. Якщо функція w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) має похідну в крапці

z = x + iy, то її дійсні компоненти u і v мають в крапці (х, у) приватні похідні першого порядку, що задовольняють умові Коші, – Рімана.

Також справедлива і зворотна теорема.

На підставі цих теорем можна зробити вивід, що з існування похідної виходить безперервність функції.

Теорема. Для того, щоб функція w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) була аналітичною

на деякій області необхідно і достатньо, щоб приватні похідні першого пасмочка функцій u і v були безперервні на цій області і виконувалися умови Коші – Рімана.

Інтеграція функцій комплексною змінною.

88

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Хай w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) - безперервна функція комплексного змінного z,

визначена в деякій області і L – крива, лежача в цій області.

у

У

L

А

х

Визначення. Інтеграл від функції f(z) уподовж кривою L визначається таким чином:

∫ f (z)dz = ∫(u +iv)(dx +idy) = ∫(udx −vdy) +i∫(vdx +udy) =

Теорема. (Теорема Коші) Якщо f(z) - аналітична функція на деякій області, то інтеграл від f(z) по будь-якому кусочно – гладкому контуру, що належить цій області рівний нулю.

∫ f (z)dz = 0

L

Інтегральна формула Коші.

Якщо функція f(z) – аналітична в односвязной замкнутій області з кусочно – гладкою межею L.

D

ρ

z0

Тоді справедлива формула Коші:

89

“Курс вищої математики. Частина 3.”

де z0 – будь-яка крапка усередині контура L, інтеграція по контуру проводиться в позитивному напрямі (проти годинникової стрілки).

Ця формула також називається інтегралом Коші.

Ряди Тейлора і Лорана.

(Пьер Альфонс Лоран (1813 – 1854) – французький математик)

Функція f(z), аналітична в крузі z − z0 < R , розкладається в той, що сходиться до неї статечною ряд по ступенях (z – z0).

Коефіцієнти ряду обчислюються по формулах:

Статечною ряд з коефіцієнтами такого вигляду називається поряд Тейлора.

Розглянемо тепер функцію f(z), аналітичну в кільці r < z − z0 < R . Ця функція може бути представлена у вигляді ряду, що сходиться:

Ряд такого вигляду називається поряд Лорана. При цьому функція f(z) може бути представлена у вигляді суми:

Ряд, що визначає функцію f1(x), називається правильною частиною ряду Лорана, а ряд, що визначає функцію f2(x), називається головною частиною ряду Лорана.

Якщо припустити, що r = 0, то можна вважати, що функція аналитична у відкритому крузі 0 < z − z0 < R за винятком центральної точки z0. Як правило, в цій крапці функція буває не визначена.

Тоді точка z0 називається ізольованою особливою точкою функції f.

Розглянемо наступні окремі випадки:

∞

1) Функція f(x) має вигляд: f (z) = f1 (z) = ∑ck (z − z0 )k . Оскільки статечною

k =0

ряд сходиться в усіх точках усередині круга, то його сума f1(x) визначена і безперервно дифференцируема в усіх точках круга, а, отже, і в центрі круга z0.

90