Частина 3

hf (x1 , y1 ) = h(x1 + y1 ) = 0,12;

y2 = y1 + hf (x1 , y1 ) =1,1+ 0,12 =1,22.

Проводячи аналогічні обчислення далі, отримуємо таблицю значень:

Для порівняння точності приведених методів чисельного вирішення даного рівняння вирішимо його аналітично і знайдемо точні значення функції у на заданому відрізку.

Для порівняння отриманих результатів складемо таблицю.

31

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Як видно з отриманих результатів метод Рунге – Кутта дає найбільш точну відповідь. Точність досягає 0,0001. Крім того, слід звернути увагу на те, помилка (розбіжність між точним і наближеним значеннями) збільшується з кожним кроком обчислень. Це обумовлено тим, що в – перших набутого наближеного значення округляється на кожному кроці, а в – других – тим, що як основа обчислення приймається значення, отримане на попередньому кроці, тобто наближене значення. Таким чином відбувається накопичення помилки.

Це добре видно з таблиці. З кожним новим кроком наближене значення все більш відрізняється від точного.

При використанні кмпьютерной версії “Курсу вищої математики” можливо запустити програму, яка вирішує будь-яке диференціальне рівняння першого порядку розглянутим вище методом РунгеКутта. Програма детально виводить результати обчислень на кожному кроці.

Примітка: Для запуску програми необхідно щоб на комп'ютері була встановлена програма Maple (© Waterloo Maple Inc.) будь-якій версії, починаючи з MAPLEV Release 4.

Диференціальні рівняння вищих порядків.

Визначення. Диференціальним рівнянням порядку n називається рівняння вигляду:

задовольняє початковим умовамx0 , y0 , y0′,..., y0(n−1) , називається рішенням задачі Коші.

Теорема Коші. (Теорема про необхідні і достатні умови існування рішення задачі Коші).

Якщо функція (n-1) -ої змінних вигляду в деякій області D (n-1) - мірного простору безперервна і має безперервні приватні похідні по, то яка б не була крапка

( x0 , y0 , y0′,..., y0(n−1) ) у цій області, існує єдине вирішення y = ϕ(x) рівняння, визначеного

32

“Курс вищої математики. Частина 3.”

в деякому інтервалі, що містить точку х0, що задовольняє початковим умовам

x0 , y0 , y0′,..., y0(n−1) .

Диференціальні рівняння вищих порядків, вирішення яких може бути знайдене аналітично, можна розділити на декілька основних типів.

Розглянемо докладніше методи знаходження вирішень цих рівнянь.

Рівняння, що допускають пониження порядку.

Пониження порядку диференціального рівняння – основний метод вирішення рівнянь вищих порядків. Цей метод дає можливість порівняно легко знаходити рішення, проте, він застосовний далеко не до всіх рівнянь. Розглянемо випадки, коли можливе пониження порядку.

Рівняння вигляду у(n)= f(x).

Якщо f(x) – функція безперервна на деякому проміжку а < x < b, те рішення може бути знайдене послідовною інтеграцією.

y(n−1) = ∫ f (x)dx + C1 ;

y(n−2) = ∫(∫ f (x)dx + C1 )dx + C2 = ∫dx∫ f (x)dx + C1 x + C2 ;

........................

Отримуємо приватне рішення (рішення задачі Коші): y = 18 e2 x − 14 x2 − 54 x + 78 .

Нижче показана інтегральна крива даного диференціального рівняння.

33

“Курс вищої математики. Частина 3.”

10

7.5

5

2.5

-2.5

-5

-7.5

Рівняння, що не містять явно шуканої функції і її похідних до порядку до – 1 включно.

Це рівняння вигляду: F(x, y(k ) , y(k +1) ,..., y(n) ) = 0.

У рівняннях такого типу можливе пониження порядку на до одиниць. Для цього проводять заміну змінною:

Тепер допустимо, що отримане диференціальне рівняння проінтегрувало і сукупність його рішень виражається співвідношенням:

z = ψ(x,C1 ,C2 ,...,Cn−k ).

Роблячи зворотну підстановку, маємо:

y(k ) = ψ(x,C1 ,C2 ,..., Cn−k )

Інтегруючи отримане співвідношення послідовно до раз, отримуємо остаточну відповідь:

y = ϕ(x,C1 ,C2 ,...,Cn ).

Приклад. Знайти загальне вирішення рівняння y′′′ = yx′′ .

y = ∫ C21 x2 +C2 dx = C61 x3 +C2 x +C3 ;

Загальне вирішення початкового диференціального рівняння:

y = Cx3 + C2 x + C3 ;

34

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Відзначимо, що це співвідношення є вирішенням для всіх значень змінної х окрім значення х =0.

Рівняння, що не містять явно незалежної змінної.

Це рівняння вигляду F( y, y′,..., y(n) ) = 0.

Порядок таких рівнянь може бути знижений на одиницю за допомогою заміни змінних

Підставляючи ці значення в початкове диференціальне рівняння, отримуємо:

Якщо це рівняння проінтегрувати, і Ф(y, p,C1 ,C2 ,...,Cn−1 ) = 0 - сукупність його

рішень, то для вирішення даного диференціального рівняння залишається вирішити рівняння першого порядку:

Ф( y, y′,C1 ,C2 ,...,Cn−1 ) = 0.

Приклад. Знайти загальне вирішення рівняння yy′′−( y′)2 − 4yy′ = 0.

Для вирішення отриманого диференціального рівняння проведемо заміну змінною:

p= 4y ln C1 y ;

Зурахуванням того, що p = dydx , отримуємо:

35

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Загальний інтеграл має вигляд: ln ln C1 y = 4x + C;

Таким чином, отримали два загальні рішення.

Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків.

Визначення. Лінійним диференціальним рівнянням n – го порядку

Визначення. Якщо f(x)= 0, те рівняння L(y)= 0 називається лінійним однорідним рівнянням, якщо f(x) ≠ 0, то рівняння L(y)= f(x) називається лінійним неоднорідним рівнянням, якщо всі коефіцієнти p0, p1, p2 . pn – постійні числа, те рівняння L(y)= f(x) називається лінійним диференціальним рівнянням вищого порядку з постійними коефіцієнтами.

Відзначимо одну важливу властивість лінійних рівнянь вищих порядків, яке відрізняє їх від нелінійних. Для нелінійних рівнянь приватний інтеграл знаходиться із загального, а для лінійних – навпаки, загальний інтеграл складається з приватних. Лінійні рівняння є найбільш вивченим класом диференціальних рівнянь вищих порядків. Це пояснюється порівняльною простотою знаходження рішення. Якщо при рішенні яких – або практичних завдань потрібно вирішити нелінійне диференціальне рівняння, то часто застосовуються наближені методи, що дозволяють замінити таке рівняння “близьким” до нього лінійним.

Розглянемо способи інтеграції деяких типів лінійних диференціальних рівнянь вищих порядків.

Лінійні однорідні диференціальні рівняння з довільними коефіцієнтами.

називається лінійним диференціальним оператором.

Лінійний диференціальний оператор володіє наступними властивостями:

36

“Курс вищої математики. Частина 3.”

1)L(Cy) = CL( y);

2)L(y1 + y2 ) = L( y1 ) + L( y2 );

Вирішення лінійного однорідного рівняння володіють наступними властивостями:

1)Якщо функція у1 є вирішенням рівняння, то функція Су1, де З – постійне число, також є його рішенням.

2)Якщо функції у1 і у2 є вирішеннями рівняння, то у1 +у2 також є його рішенням.

Структура загального рішення.

Визначення. Фундаментальною системою вирішень лінійного однорідного диференціального рівняння n -го порядку на інтервалі (а, b) називається всяка система n лінійно незалежних на цьому інтервалі вирішень рівняння.

Визначення. Якщо з функцій yi скласти визначника n – го порядку

то цей визначник називається визначником Вронського.

( Юзеф Вроньський (1776 – 1853) – польський математик і філософ - містик)

Теорема. Якщо функції y1 , y2 ,..., yn лінійно залежні, то складений для них визначник Вронського рівний нулю.

Теорема. Якщо функції лінійно незалежні, то складений для них визначник Вронського не рівний нулю ні в одній точці даного інтервалу.

Теорема. Для того, щоб система вирішень лінійного однорідного диференціального рівняння y1 , y2 ,..., yn була фундаментальною необхідно і достатньо,

щоб складений для них визначник Вронського був не рівний нулю.

Теорема. Якщо y1 , y2 ,..., yn - фундаментальна система рішень на інтервалі (а,

b), то загальне вирішення лінійного однорідного диференціального рівняння є лінійною комбінацією цих рішень.

y = C1 y1 +C2 y2 +... + Cn yn ,

де Ci – постоянные коефіцієнти.

Застосування приведених вище властивостей і теорем розглянемо на прикладі лінійних однорідних диференціальних рівнянь другого порядку.

Загальне вирішення лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку.

З вищевикладеного видно, що відшукання загального вирішення лінійного однорідного диференціального рівняння зводиться до знаходження його фундаментальної системи рішень.

Проте, навіть для рівняння другого порядку, якщо коефіцієнти р залежать від х, це завдання не може бути вирішена в загальному вигляді.

37

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Проте, якщо відоме одне ненульове приватне рішення, то завдання може бути вирішена.

Теорема. Якщо задано рівняння вигляду y′′+ p1 (x) y′+ p2 (x) y = 0 і відоме одне ненульове рішення у = у1, то загальне рішення може бути знайдене по формулі:

Таким чином, для отримання загального рішення треба підібрати яке – або приватне вирішення диференціального рівняння, хоча це буває часто досить складно.

Лінійні однорідні диференціальні рівняння з

відповідає вирішення диференціального рівняння.

Залежно від коефіцієнтів до характеристичне рівняння може мати або n різного дійсного коріння, або серед дійсного коріння може бути кратне коріння, можуть бути комплексно – зв'язане коріння, як різне, так і кратне.

Не детально розглядатимемо кожен випадок, а сформулюємо загальне правило знаходження вирішення лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами.

1)Складаємо характеристичне рівняння і знаходимо його коріння.

2)Знаходимо приватні вирішення диференціального рівняння, причому: a) кожному дійсному Корню відповідає вирішення ekx;

б) кожному дійсному Корню кратності m ставиться у відповідність m рішень:

ekx ; xekx ; ... xm−1ekx .

в) кожній парі комплексно – зв'язаного коріння α ± iβ характеристичного

рівняння ставиться у відповідність два рішення: eαx cosβx і eαx sin βx .

38

3) Складаємо лінійну комбінацію знайдених рішень.

Ця лінійна комбінація і буде загальним вирішенням початкового лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами.

Приклад. Вирішити рівняння y′′′− y = 0 .

Приклад. Вирішити рівняння (1− x2 ) y′′− 2xy′+ 2y = 0.

Це лінійне однорідне диференціальне рівняння із змінними коефіцієнтами другого порядку. Для знаходження загального рішення необхідно відшукати яке - або приватне рішення.

Таким приватним рішенням буде функція y1 = x.