Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

суперпозицi¨

ãó|si-орбiталiзаксимумтриíîâiìèóíêöi¨,в площинiякi

молекулiипадкуiорисновивченняетиленубудепринципуповеCчас 2Hнутись4. Цю молекулудонього-станiвв.миПриклаВетиленiвжмiнiм

|siстинилише двi |p

âç

îðáiòàëi,

а- нета три,-орбяк цеутворюютьалiбуло.Ут оримопопередньомуниха

. Н хай це будуть-

|px

|py i

описують розподiл електронно¨

кутиУтворимо120

xOy i

мiж собою

зображзгiдеíî знарисунк.73ом:.

◦, якстани

óíêöié

|1i

= A C1|si + |pxi ,

|2i

=

B C2|si − |pxi cos 60◦ + |py i cos 30◦ ,

|3i

=

C C3|si − |pxi cos 60◦ − |py

cos 30◦ .

З урахуванням умов нормування цих

702

h1|1i = 1,

h2|2i = 1,

h3|3i = 1

C3:

C12

+ 1

| i

| i

| i

1

1

=

p

C1 s

+ px

,

23 |pyi! ,

|2i =

C

2

+ 1

C2|si − 2 |pxi +

1

1

√

ортогональнîñòi:

p

2

√

1

1

3

âiäïîвiднi рiвняння

C1,

p

3

|3i

=

C

+ 1

C3|s − 2 |pxi −

2 |pyi! .

Не тра аючи загальностi розгляду, уâàæà¹ìî

ìè âНакладемоели

умови

C1, C2

, C3

÷инамина. цi

àíè

äiéñíè-

Iз цих умов легкоh1|2i одержу¹мо= 0, h1|3

= 0,

h2|3 =äëÿ0.

величин

C2, C3:

C1C2 −

1

= 0,

703

2

1

C1C3 −

= 0,

2

2

√

2

1

3

Iз перших двох рiвнянь цi¹¨ системи

знаходимо, що

C2C3

+

2

−

2

!

= 0.

ñòàí iõ äâîõ

C2 = C3, ç

¹ìî çíак + . Остаточно,.при¹днуючиОтже,

ñòàí

√

. Ôiêñó-

C1

= C2

C1 = C2

= C3 = ±1/ 2

ðáiòàëi sp2-гiбридизацi¨:

√2 |si + |pxi ,

|4i = |pz i, отриму¹мо

|1i =

r 3

1

2

! ,

|2 =

r

√

|s −

|pxi +

|py

3

2

2

2

орбiталейПритвореннi молекули. C2H4 атоми водню пiд'¹днуютьс äî

2

1

1

√3

льно пе екриваютьс|2i, |çâ'ÿçîê3

вуглецю. Орбiталi |1i атомiв вуглецю си

àòîìiâ

1

σ-зв'язок. Перекриттструктурнаанiв

r

2

1

√3

! ,

|3 =

3

√2 |s −

2 |px

− 2 |py

|ò4огоурПрикладомπ

iþ

ìiæ

ìiíiìiçó

|pz .

напрПершiямкутриорбiталi|4 =

що ¹ перпен икулярною

лежатьутворюють

|4

-

ó.твовищеð¹ю¹енервмолекупотрцi¹¨лiйногомолекули,Nатомамизв'язкущоймiж.поясню¹Самеатомами,акий¨¨простонабiркрiмовуорбiталейозгляну

îðìó

òàêà:

2, ¹ молекула ацетилену C2H2,

У цьому випадку ма¹моH − C ≡ C − H.

нiйна комбiнацiя з хвильовихsp-гiбридизацiю,ункцiй

коли утворю¹ться лi-

704

|si- та дного з |pi-ñòàíiâ.

|1i =

√2 |s + |pxi ,

1

датному напрямку осi xçâ'ÿçîê,ñòàí|2 дiлу вiд'¹мному. При утвореннi

|1

ма¹ максимум розïî

електронно¨ густини

äî

|2i

=

√2

|s

− |px

1

òîìiâ

ëåöþ,

|2 . Стани |1

молекутабливуглецюповчальноТакiпопереднiхдвiйнихлахцiкiз.цимиповернутисьзв'ямолекули,жзавершимокiвстанамàâi нихснуютьякдоприкладбензол,¹цихакимибутхтомаж,доàäi¹íякнихвуглецю.у.Теперщойноiíøi,одного.чмирозгтачевiрозгдинарнлянутатомiвлядабулоèõ-

|3i

=

|py i,

ðîçäiëàõ

iншого

Ñòàí

прикладiв

|4i

=

|pz i.

молекуличерезCлецю

2станиH2 атоми водню вступаютьвуг зв'язок з атомами вуг-

На цьому ми

аналiз властивостей хi

iчного

. Зазначимо ли е, що

é iíøi òèïè ìiæàòîìíèõ çâ'ÿçêiâ.

утворюють силь ий σ-

перпендикулярнiперекриваючись,донього два

зв'яз к мiж атомами реалiзу¹ться,

оли розподiл елект

нно¨ густини в систем

перех довi електрона вiд

Йоннийго атома

до iншого.

Âiíâiäïîâiäà¹òüñ

внаслiдок

кулонiвськ

π-çâ'ÿçêè óò îðåíi перекр ттям

àíiâ |3

Характери|4

лекула кухонно¨ солi NaCl. Узагалi

ажучПрикладом, зку ежу мiж ого

¹ деякий ступiньрiзнойменнимийонностi в'язку

ìiæ íøèì, вимiрюють

притягання мiж

йонами.

цього ¹ мо

валентним

йонним зв'я

утворюом становити неможливо. Завжди

методом, що

рунту¹тьсякий,на

ÿâèùi ядерного

êâàä-

спектральнимТутупольноголонiвськрезонансу

(äèâ. Ÿ38).

мiж йонами на деяких характер-

У металах зв'язок мiж йо ами, якi зануренi в електронну

них вiдстанях(електроннийомпенсувiдштовхування¹тьс силами притягання, якi виникають

iäèíó

ãàç),

прикладом металiчного типу зв'язку.

45 I. О. Вакарчук

705

унаслiдоколектив

¨х екрану ання

. Öå

¹

багаточа

è,

инковим ектомрiдиноюзалежить вiд густини

електрон

о¨ пiдсисте

електронноюаракт рнi вiдстанi

¹

рiвноваж-

ними мiжйонними

âiäñò

íÿìè, ÿêi

реалiзуються в

екрануваннякрист iчних,

Â

ò ðiäêèõ

еталах.

альсi ський тип зв'язку мiж атомамитимирозглянемо

докладнондервнаступному

.

ð ÷ âè è, äå âií

Ùå äèí òèï çâ'ÿçêó

водневий.

õiìiøî¨èéìà-

ченнякисоголено¨ювií

овоктро

å

â.Укисню'язокатисьСиливпараграмолекулiживихма¹доВантакиматомиелектронеособливоорганiзмахiHдерOПрикладомчичастинаВаальсавелат.частквногоеелзна

процесах. жзмiщенаВодневийпритягу¹дваводаобмiнуŸ 90донейтральнi.з

íèõ

згляньмоi

àìîðеалiзу¹ться,водню

2

ïðîò

бiлкмолекули

A

i

B

зарядами ядер

òîíiàíiâ

iзоль. ованихамiльтонiанатмтако¨ системи

ZA

клада¹ться iç ñóìè ãàìiëü

ZB

ядра т електронiâ атомаˆ

ˆ

ò

енер i¨ кулонiвсько¨ вза¹модi¨

U

HA

HB

A ç óñiма частинками атома B:

ˆ

ZAZB e2

ZA

ZB

e2

+

U

=

RA

−

RB

|

=1 j=1

RA + rAi

−

RB

−

rBj

|

|

X X

|

ZA

ZB e2

ZB

ZAe2

Òóò

−

− j=1

.

=1

RA + rAi

−

RB

|

RA

−

RB

−

rBj

|

X |

X

|

RA, RB

оординати ядер атомiвелектронаA B; rAi, rBj

ñâ ¨õ ÿäåð:-ãî åëåêтрона атома Aiþj-ãî

атома B

нумеру¹мо

rAi

=ñîìri − RA

rBj

= rj − RB . Електронивiдштовхуванняатомi A

îïå

iíäåê

i,

àòîìi B декядромj. Ïåð

èé äî îê

ìiæëêò

.

ˆатомаДругийзображдоданок

ñüê

ãî

данокìiæíÿ

U

๠електронамиенерцекулонiверiя

åядромнектоядрамиi¹юàòîðiпр тяганняA à

атомаатома B. Третiй довiдноснорадiу¹-

останнiй до анок електронiвце енер iяопе итяганняA

електронiватомаB.атомаНареш

атома

чином,

B

òîìíî¨ âçà¹ì äi¨.. Таким

îð

ˆ опису¹ енер iю мiж -

706

A

U

Ìè ïîñò

собi за мету розр хувати енер iю вза¹модi¨ мiж

атомами залежнавимо

вiд вiдстанi мiж ними. Будемо розглядати опе-

операторˆ

ˆ

ˆ

HA + HB

êè

зробимоенер iйдеякiатомiвпростiметодомперетвореннястандартно¨Aоператорiеорi¨B. Знайдемозбурень. ористовуСпочпопр

ˆ

доючиданкуоператорв змiщення, запишемо âираз пiд сумамиU . Викв другомó-

ˆ

àê:

U

r

e−

r

1

1

e

âçà¹=

операторадi¨

,

де радiус-вектор мiжатомно¨Ai Bj

R

|R + rAi − rBj |

радi¹нта похiднi беруться за к

понентами вектора, а

випису¹мо й наступнi доданки

R. Ïîäiáíî

ˆ

U . У результатi

ZA

ZB

X X

e2

Якщо ввести Uоператориˆ =

r

e−rBj

зарядiв(e Ai − 1)

− 1

R

.

i=1 j=1

ZA

X

ˆмiжатомно¨ вза¹модi¨Ai

тодiвиглядувираз для енер i¨QA = e

r

− 1) , набува¹ компактного

(e

i=1

1

Формальнийраторизклад експонентиˆ êâàäˆ ˆ+ÿäóïольнихвиразах для

U = QAQB R .

льнихроджу¹

ˆ ˆ

дипольних,

i вищихQA, QB

ìåíòiâ:ï

ð

мультиïî-

ˆмоменту

A

) + · · · ,

де оператор дипольногоQA = (d

ZA

45*

dA = e

X

rAi.

707

тепер ряд теорi¨ збурень для повно¨ енер i¨ атомiв,

що Випишемознах дяться

основному станi:

(0)

(1)

(2)

·iç· ·ñóìè.

енер iй основ-

нихЕнерстанiвiя нульатомiвового Eнаближ= E åííÿ+ Eсклада¹ться+ E +

EA ò

içîëü

àòîìiâ

Унаслiдок

EB :

0

0

Перша поправк

E(0) = EA

+ EB .

0

0

ВипишемоE äëÿ= íå¨0. Томузагальнийнеобõiäíîвираз:

другу попр вку.

E

(1)

ˆ

= h0|U |0

системинадипольногохвовiй ункцi¨ ,нульовогоде,

наближення с-

ункцвногзрахîву¹тьсстанучення

|0Ai|0B i

|0A

|0B

ùîâi

дорiвсереднюютьi¨ знаосновногонулевi ану|0 =

ованихмоментурозрахуватитома. основномутого,хвильстан

n = (nA, nB ), m = (mA, mB )

числа,

правка

(1)

h0A|dA|0A

= 0, h0B |dB |0B i

= 0, то перша по-

E(2)

=

X

n

m(n6=m) En(0) − Em(0)

тутстани системи двох атомiв, де

квантовi

що нумерують

для iзольов них атомiв,

nA, mA

nB , mB квантовi числа

матричнийвк для енерелементi¨ основного стану, якщо

ÿâíié îðìiˆ .

розписатиДруг попр

Umn матричний елемент оператора U

ма¹ такий вигляд:

ˆ

ˆ

ˆ+

1

,

708

Um0

= hm|U |0i = hmA|QA|0AihmB |QB |0B iR

X

ˆ

ih |

ˆ+

i

1

2

E

=

−

−

| . виразу для

(2)

mA

QA 0A

mB

QB

0B

R

Оскiльки рiзниця

EA

входить у знаменник

0

EA

+ EB

EB

mA,mB

0

mA

0

mB

E(2)

(0)

(0)

A

A

B

B

, ì๠âiä'¹ìíèé çíàê:

E0

− Em = E0 − EmA + E0 − EmB < 0,

то друга поправк

åíåð i¨

сновного стану ¹ вiд'¹мною вели-

чиною. Це означа¹,

ùî

вза¹модiя мiж атомами, яка опису¹ться

поправкою

E

(2)

випадок,

тер притягання.

, ì๠õàðàêоли беремо до уваги лише дипольний

моментозгляньмовоператорах0

ïiñëÿ

зарядiв:

цьомуˆ наближеннi

A

простих обчисленьˆ

отрима¹мо

+

|0B i =

B

|0B i .

hÓmA|QA|0Ai = hmA|d

|0A ,

hmB |QB

−hmB |d

E(2) = −

const

,

вандерваальсiвськ

m ,m

ченням,

Ваальса,

потенцiально¨

2

A

B

−

−

const =

X

3

dmA A,0n

dmB B ,0n − dmA A ,0dmB B 0

EA

EA + EB

EB

mA

0

mB

0

ютьдегуознаЗнайдединичнийенервза¹мо

n = R/R

const > 0.

ê

E(2), взятому зi зна

либиноюнадню,ванiкривихстйкихнапростiйкихвiддалях,молекулахякий. Вонимолейшлосяêприводять.¹Зокрема.знаЦiуервiдчпоi¨о

них, якiвiдстанiрозташнеямаченьутворюютьг

êè

тенцiальнапоатомнiяризованого

ìiæ