Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

4

"

2

2

#

ßêùî ν = 1/2, то з цього рiвняння в лiнiйному наближеннi по β знаходимо

äå

En,l = −

me

1 − 2β

me

1

n

+

2l +

1

− 1 ,

2~2n2

~

n2

2l + 1

4n

,

2

кулонiвському

Обчиснки~

тичнiПрiвнiикладчаст2.

√

ити з умов. квантуванняполi Бора Зоммер ельда енер е

β → ∞

Enr

= −e / β(2nr

+ 1)

р дiально¨

оординати

U = −e2/r з масою, залежн ю вiд

à и:Запишемо в

ðàç

r m

= m(1 + a/r) m > 0 a > 0

тут узагальнений iмпульсE =

pr2

pϕ2

−

e2

+

,

pϕ

= ~(l + 1/2), îðáiòàëü

квантове число l =

0, 1, 2, . . . . З цього виразу знаходимо радiальну компоíåнту iмпульсу

s

e

2

pϕ2

pr = 2m

+ E −

äå

,

pϕ2 = pϕ2 − 2mae2,

2

2

стандартно¨Зв'язанiстаниквазiкласично¨iснуютьзаумови,задачiщопро атом

воднюМи(дивзвели.Прикладнашприклад3доŸ30)до.e

= e

+ aE.

e2 + aE > 0:

m e 4

де радiальне квантове числоE = −

,

2~2 (nr + l + 1)2

число

nr = 0, 1, 2, . . ., а е ективне орбiтальне квантове

q

квадратне

2

озв'язуючи

рiвняння для енер i¨

l

=

(l + 1/2)

− 2a/aB − 1/2.

E, остаточно ма¹мо:

e2

~2n 2 r

!

2a

òîâå число

1 + n 2aB − 1

,

де е ективне головнеEn,l êâàí= − a

+

ma2

Знак перед радика м

вибира¹мо так, щоб при

n

= nr

+ l

+ 1.

зв'язаниху ормулустанiвБоравихдодить,енер щоетичних рiвнiв

атома воднюцей.З умовивираз переходивiснування

ëÿ

a = 0

782

a < aB/8.

ˆ

берютьαˆпереставнiβ матрицiспввiдношенняДiрака,акоординатиздеормованоютiмпульсиалеброюзадовольняайзен-

частинки.óíêПрипуöi¹þ fêà¹ìî,= f (x,ùîy, zé), масаяк частинкилише вiд

[x , x

] = 0,

äå

[xj , Pˆk ] = i~δ f ,

j

k

~

jk

ˆ

ˆ

ç

ормацiйноюˆ ˆ

[Pj , Pk ] = −

∂xj Pk −

∂xk Pj

координат

íå

деяку е ективну масу

m çàìi

динат частинки:

m

яка також залежить вiд коор-

m

= mf1

, f1 = f1(x, y, z).

Запровадженняових рiвняння Дiракна ункцiй

предствв енняавленiдодаткункцi¹юсил,

ÿêi

äiþòü

f

òà

f1

частинку,

крiм тих,означа¹що

Уведемо новий iмпульс:U .

pˆ = f −1/2Pˆ f −1/2,

ˆ

1/2

1/2

783

3Див. також: I. O. Vakar huk,P J=. Physf .pˆAf 38, ,7567 (2005).

Зробимоhfперетворення(αˆ pˆ)f c + mc f1βˆ

+ U i Ψ = EΨ.

матрицi

¯

рiвняння,f, f1: αˆ ′

= f αˆ βˆ′ = f1β.ˆ

1/2

у результатi якого рiвнянняΨ =Äiðàêàf Ψ,äëÿ íîâî¨ óíêöié

вигляду:

¯

Ψ набира¹

матрицiсь наДiракматрицяцеˆ

¯ ÿê í௠звичайне рiвняння

Дiрака,Мимоужемоякомудивит

2

ˆ

Компонентиквадратинi вiд рдин , масштабнi множникиαˆ , β множаться на деякi, залеж-

αˆ ′

βˆ′

компонент матрицi

мiж собою

нтикомутують,

âíþ¹

αˆ ′ дорiвнюють f 2,

квадрат βˆ′

f 2

рiвняння:

. з'ясуватипочинатирiввластивостiяннiрозмДiракавупроункцiйточнiнерелятивiстськрозв'язкирiвнянняо¨межiдляäî

öîãî,iльноПершщобперейти1 íiæ

òи рiвняння Шредин ера

f

à

f1

-

попередньогоспiввiдношенням:яння. ЩобДiракаодержапри

c → ∞, уведемо нову ункцiю ψ

àêèì

Тепер

¯ óíêöi¨

2

ˆ

äëÿΨ = hf (αˆ pˆ)c + mc f1

β + E − U

ψ.

(

ψ знаходимо таке

f (αˆ pˆ)f (αˆ pˆ)

+

m2c4f12 − (E − U )2

2m

2mc2

~

(αˆ

ˆ

i~cf

βˆ (αˆ f1) )ψ = 0.

U )

784

+

i f

+

2mc

2

2

й пiсля простих перетвореньE′ =одержу¹мо:E mc ,

−

fñâiò1

2m

øâèäêiñòü

2mc

mc2

2

~cf

дужках цього рiвняння

виплива¹Зостаннiхумоваäâîнах пдоданкiвведiнкуу ункцi¨iгурнихˆ

+

2

f1

− 1 +

2

β (αˆ

f1) )ψ = E′ψ,

жi. Справдi, для того, щоб

ëà

ié ìå-

ðiâíÿ íÿ ïðè

c випала з нашого

залиша¹→ ∞

необхiдно, щоб

2

−

2. Ôóíêöiÿ

f1

1

1/c

2

f1

c

диницi при

може ямувати до

âîíà íå

ж дного слiду

нерелятивiстськi межi. ,Якщотодi

c → ∞

швидше, нiж 1/c

äå

f12 −

1 =

2

U1,

c → ∞,

2m

+ U + U1 ψ = E′ψ.

Зробимо пiдстановку

f p

åê îðà

r

i, припускаючи, що ункцiяψ =

fϕ,

залежить вiд довжи и

властирадiу

âîñòей матрицir, пiсля простих перетворень, iз використанíÿì

-

α держу¹мо ак

рiвняння:

(

(f

1/2pˆf

1/2)2

+ U + U + U1) ϕ = E′ϕ,

2m

f df

ˆ ˆ

50 I. О. Вакарчук

U =

mr

dr

(SL),

785

äå ˆ

оператор спiну частинки,

σˆ = (ˆσx, σˆy , σˆz ) ìàò

ðèöiS Ïàóëi,= ~σˆ /2

орбiтальноюЯкщозаписайзенбервз ¹модi¹ютирiвняння. дляU , назвемункцi¨ ¨¨

äå îðì öiéíîþ ñïií-

ç

ϕ

через ст ормованоюiмпульс

äåðèé

àëPеброю,тома¹мо рiвнянняа: Шредин ера

просторi з

ˆ 2

P

-

спiвивнчвiдношеннямизразусок вiдстартуватиповедiнкидеормацiйно¨дляшокчастинзiоорзви

iмпувнянльсiв,ерелятивiстськiйвза¹модi¨Шрединèìитоперестми ераавнимивтрадляча¹мотеорi¨

спiнвiдсткичайнОтже,натздербiтгоякщоормованально¨ 2m

+ U + U + U1!

ϕ = E′ϕ.

озглянемоi

U

,

так ж можливий зал

U1

ляхзалежнос

U, f, f1

àíi

, òобто вважа¹мо, що цi ункцi¨ залежать лише

iä

. Повернемось дорiвнянняня Дiрака для ункцi¨ ¯

â -

радiальнудемо йогоrгодоiмпульсурадiального

. Для цього вводимо операторΨ i з

матрицi1

(rpˆ

− i~)

складову pˆr = r−

αˆ ,

Далi вводимо оператор, який свого ÷rасу запровадив ще Дiрак,

αˆr = (αˆ nˆ),

n = r .

ˆ

ˆ

ˆ

~K = β

(σˆ L) + ~ ,

ˆ , перетворю¹мо рiвняння для ¯

i, обчислюючи добуток αˆrK

Ψ â òàêå:

ма¹ вигляд:

K ¹ äiàãîнальним, радiальне рiвняння Дiрака

Оператор

i~cf

ˆ ˆ

2

ˆ

¯

¯

f αˆrpˆrc +

r

αˆrβK + mc f1

β + U Ψ = EΨ.

K ¹ iнте ралом руху з власними значеннями

k = ± j +

1

= ±1

±2, . . . ,

2

íÿì:

ñïiíîð,

R таким спiввiдношен-

причому

~cf

ˆ

2

ˆ

¯

f αˆrpˆrc +

r

αˆrβk + mc f1

β + U

− E R = 0,

¯

¯

Ψ = Y R,

Y

ñ åðè÷ èé

який ¹ влас ою ункцi¹ю оператора ˆ

íà ó

кцiяовурадiальну. уíêöiþ

K,

¯

R Увераäемоiальтепер

i~ñf

2

Пiдставляючидля цей вираз у

попередн¹ˆ

рiвняння,ˆ

знаходимо рiвнян-

íÿ

R¯ = f αˆrpˆrc +

r

αˆrβk + mc f1β + E − U R.

R:

âiëüíîñòi, çìiíí

d

f

c2(f pˆr)2 + ~2c2kf βˆ

r + m2c4f12

внутрiшнi50* +îç

r2

+ f αˆrc ~ dr

− ~mc αˆrβf dr

~2c2f

2k2

dU

3

df1

2

дiленняступенiпросторових

можливех вiдтутˆ çìiякщонних,множникищоописуютьбiля787

матриць ˆ

ˆ

íî¨ çìiííî¨β, αˆrтобтоаαˆr

β матимуть однаковi залежностi вiд радiаль-

r,

C1

d

f

=

dU

,

dr

r

dr

äå

C2

d

f

=

df1

,

dr

r

dr

C1, C2

Якщо цi умовисталiвеличинивиконано,. то рiвняння для

R набува¹ вигляду:

(c2(f pˆr)2

d

f

+ ~2c2Λˆ f

dr

r

матрицько звести

äî Λ не залежить вiдвигляду.ðàäiàëüíî¨Зважаючикоординативластивостiйоголег-

дiагональнîãî

~2c2f

2k2

ˆ

ˆ

mc

ˆ

Оператор Λ = kβ + ~c αˆrC1 − ~

αˆrβC2.

ˆ

ˆ

αˆr òà β, виберемо ¨х так:

.

матрицяβ =

I

0

,

αˆr =

0

−

i

Òîäi

ˆ оператора

i

0

−I

0

ˆ

Λ äîðiâíþ¹:

788

ˆ

k

~c +

~

C2

C1

mc

+

C2

k

Λ =

C1

mc

−

,

− ~c

~

mc

2

C1

2

2

Якщо працюватиλ = ±âsk

+

~ C2

− î

~c .

ˆ

н м, то наше радiальне рiвняння для

набува¹Λ дiагональ-

âèгляду:

R остаточно

такого

(c2(f pˆr)2 + ~2c2λf

d

f

dr

r

~2c2f

2k2

2 4

2

2

óíêöi¨

Зауваж мо, що оскiльки+

(E − U ) )R = 0.

r2

+ m c f1 −

äå 2 квадрат заряду. З рiвнянь, якi зв'язують ункцi¨

U, f, f1

,

знаходимо де ормацiйну ункцiю

e

äå

f = 1 + νr,

óíêöiþν стала величина з

ðîçìiðíiñòþ, оберненою до довжини, i

a

f1 = 1 + r

,

a стала, що ма¹ розмiрнiсть довжини. Причому

а власнi значення оператора 2

C2 = a,

C1

= −e ,

ˆ

Λ

λ = ±sk2

mca

2

e2

2

.

+

−

789

~

~c

äå

R =

χ

,

r

~2

d2

~2

e 2

äå

−

+

l (l + 1) −

χ = E χ,

2m

dx2

2mr2

r

çâiäêè ìà¹ìî, ùî

dx =

dr

,