Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

r = r2 − r1.

äå

∂

=

∂X ∂

+

∂x ∂

=

m1 ∂

−

∂

,

∂x1

∂x1 ∂X

∂x1 ∂x

m1 + m2

∂X

∂x

m1

1 =

R − ,

m1 + m2

m2

Тепер оператори iмпульсiв частиноê

iìïó

2 = m1

+ m2 R + .

pˆ

1 =

m1

ˆ

− pˆ,

P

äå

pˆ

2 =

m2

ˆ

+ pˆ,

P

раторгамiльтонiан,ˆ льсу вiдносногознахдимоператоррухуiмпульчаñутинок.центраПiдставляючимас,

цi виразиопе-

â

P = − ~ R

pˆ

= −i~

ˆ

ˆ 2

2

P

pˆ

де повна маса системиH =

+

+ U (r),

2M

2m

а величину

M = m1 + m2,

m, що визнача¹ться з рiвняння

1

1

1

-

центратично¨миназид

m = m1 + m2 ,

332

ϕP(R) =

1

eiPR/~,

(2π~)3/2

ункцiя ¹ ¨хнiм добутком:

ψ(r). Ïîвна хвильова

виразу в стацiонарне рiвняння Шредин ера

Пiдстановка цього

ψ(R, r) = ϕP(R)ψ(r).

ˆ

ìàñè

приводить до рiвняння для однi¹¨Hψ =частинкиEψ

m з координатою

r, ùî ðóõà¹òüñ

ïîëi U = U (r):

pˆ2

äå

+ U (r) ψ(r) = E′ψ(r),

2m

2

/2M

E′ = E − P

вiдндля, сiдаючисним рухом,на штрихнтр масезенерсистеми,iя i¨вiдноминогобудеморуху цiкавитисьчастинок. Надалише

åðà

це рiвняннямасою збiга¹тьсдлязспрощеннярiвняннямзаписуШрединзнiм

квантовiй¹мо. Якднi¹¨ба астинкиимо,

E′

унаслiдокртовхкоорсер −2m + U (r) ψ(r) = Eψ(r),

~2

2

динатчно¨ ñèметрi¨ поте цiалу, зручно перейти вiд де

домими правилами.

довкк

ординатах ви

лапласiана

-

аззадлявi

Випишемоx, y, z до с веричнихових

r, θ, ϕ

залиш ¹мо чит

2чевi,.Цi якiнескладнi,вiнзробитьале без особливихлiнуднiрозрахункизусиль:

=

2

1 ∂

2 ∂

1

1 ∂

∂

1 ∂2

=

∂r r

+ r2

∂θ

sin θ ∂θ

+

∂ϕ2 .

множникЛегко побачитè, ùî âèðàç ó êâàäðàò èõ äóæêàõ iç òî÷íiñòþ äî

äèí åðà,

−

ˆ2

динатах. Тепер рiвняння Шре-

скориставшисьу с еричнихтим,щооороператор

L

1 ∂

r

2

∂

=

1 ∂2

r,

333

r2 ∂r

∂r

r ∂r2

2

1 ∂

2

ˆ2

~

L

ункцi¨вiдрiвняннзображ

iàðþòçäiëÿüñ ÿêþòüñдобутокя,i, вiдповiдноункцi¨ до цього, хвильо-

âiÇìiííi

(−

2m r ∂r2

r +

2mr2

+ U (r))

ψ(r) = Eψ(r).

ëèøå

R(r), яка залежить

Цео, рiвнянщово

~2

1 d2

~2l(l + 1)

ðèiñòâàþèòü радiальнимласних значеньрiвнянням Шредин ера. Вид-

à

åçì

R + U (r) R = ER.

2mr2

−îÿ2åím r dr2 (rR) +

í залежить вiд к

тового числа

Lz = ~m, îòæå, åíåð iÿ

етичних ункцi¨рiвнiв.

ìè ìà¹ìî

-кратне

íянормування

m

(2l + 1)

виродженЗумови

Z

dϕ Z

ψ(r) та с ерично¨ ункцi¨

отрима¹мо умову

sin θ dθ|Yl,m(θ, ϕ)| = 1

декарто

ê

динат до с еричних,

не зберiга¹ норму ви

÷ ëè â Ÿ2,

справж

îþ

хвильовою ункцi¹ю ¹

ùî ç

урахувнанням вагово¨ ункцi¨ г

мiльтонiан, хiднаяк iншi опе

õiäíî¨

âèëüîâî¨ óíêöi¨

декартових якийоординатах. Як ми зазна

помножена

êîðiíü

й з якоб ана перех ду. Зрозумiлоункцiя,

величин,квадратн нен м ти ермiтовий вигляд. Мiж

раториявн вигляд якобiана перехîду (див. Приклад до цього парагра

iнш м, вимогиiзичних

öèõ операторiв можна обчислювати

а).Iсторичний досвiдермiтовостiсам вигляд рiвняння пiдказують нам пiд-

становку

Äëÿ óíêöi¨

rR(r) = χ(r).

åðà1

χ = χ(r) одержу¹мо одновимiрне рiвняння Шредин-

з е ективною

−2m dr2 + Ul(r)

χ = Eχ

потенцiальн

îþ åíåð i¹þ

Ul(r) = U (r) +

çà óì âè, ùî

2mr2

Дослiдимо поведi

∞

2

êó

Почнемо з випадку

χ на малих та великих вiдстанях

Залишаючи

r → 0

приймем данки,щопри ць му r

2

U → 0

рiвняннi для

.

χ ведучi дî

ìà¹ìî

бар'¹ра1Тепервтеорi¨ста¹зрозум−

~2 d2χ

~2

2m dr2

+ 2mr2 l(l + 1)χ = 0.

iëî, ÷îìó äëÿ êîå iц ¹нта прозоростi потенцiального

тривимiрнiйдновимiрногозадачiвипадку(див.Ÿ27),.

ристали вираз, якийα-розпаду,бувзнайденийпосутiвдля

ìè âèê335-

ùîá äëÿ

(частинк

k. Будемо вимагати,

Øóêà¹ìî óíêöiþ χ у виглядi χ = const × r

l 6= 0 R = χ/r → 0 ïðè r → 0. iвняння для показник k

ä๠äâà ðîçâ'ÿçêè −k k − 1) + l(l + 1) = 0

тьсяпочаткуний лишерадiальнаоординатугезначенняk óíêöiÿ= −l

безмежноkà =ïàäà¹l + 1. зроста¹Першийнацентр)прирозв'язок.Отже,наближзалиша¹

åннiiзичдо

k = l + 1:

Нехай тепер

χ = const × rl+1,

r → 0.

åíåð iÿ

r → ∞, при цьому ми вважа¹мо, що потенцiальна

U (r) → 0. Залиша¹мо в рiвняннi для χ гол внi члени:

озв'язок цього рiвняння−

~2 d2χ

2m dr2 = Eχвиглядi.

øóê

à¹ìî ó

α ¹ óявною, тобто

У результатi

χ eαr

r → ∞.

èëÿöiéíèé

ßêùî

α = ±r

−2

2mE

дощосöентрапошир. þ¹òüхсярактервiдцентр.Знà,кзнакплюсмiнусвiд-

ïðè

E < 0, щоб забезпечити умову R → 0

r → ∞, çàл ша¹мо дне значення

У результатi

α = −r

2

~|2

|.

m E

336

χ exp "−rr

# .

m E

U =ПрикладU (r). Обчислити

обiан перех ду вiд декартових координат

äî

с еричних

(x, y, z)

(r, θ, ϕ)-

~

2

1 ∂

2

ˆ2

~

2

2 ∂

∂

2

ˆ

L

H =

−

r

r +

+ U (r) = −

r

∂r

+

∂r2

~2

1

∂2

∂

∂2

де вираз для оператора

вадра

òà ìоменту

iìïóëüñó

+ U (r)

−

2mr2

sin2

θ ∂ϕ2 + ctgθ

∂θ

+ ∂θ2

маютьзапшийнеермiтовийчленупершiйвигляд

ˆ

2

êруглiй.Щобдужцiзвстиiдругийоператорчлен

увзятодругiйзŸ32круглiй.Якбадужцiчимо,

L

шемо стацiонарне рiвняння Шр дин

ˆ

для справжнiхH до ермiтовогоункцiйвигляду

отр муються з вихiдно¨ ункцi¨

¯

ψ ÿê

ïå åõ äó

ψ множенням на корiнь квадратний якобiана

без ваговог множника, ¯

√

¯

√

Ÿ2):

J

нормуютьс

,

ψ =

J

(äèâ.

ψ = Jψ

ψ/

або, домножуючи злiваHψˆ =íàEψ,

HJˆ −1/2ψ¯

= EJ−1/2ψ,¯

2

√

, ìà¹ìî

J

де гамiльтонiан

Hˆ ′ψ = Eψ,¯

п рш ми похiдними,

причому, оскiльки неермiтовiсть

ˆ

виявляють члени з

çà

J

H

операторабiан очеви но залежить лише вiд цих

çìiííÂèхкористовуючи. явнийr òà θвигляд,тояк

J

~2 4 2

∂ ln J ∂

Hˆ äëÿ Hˆ ′, елементарно знахо-

Hˆ ′ =

+

∂2

1 ∂ ln J

−2m

r

−

∂r

∂r

∂r

2

− r ∂r

22 I. Î.

Вакарчук

337

3

2

3

−

1 ∂2 ln J

+

1 ∂ ln J 2 5

−

~2 4 1

∂2

2 ∂r2

4

∂r

2mr2

sin2 θ ∂ϕ2

∂ ln J

∂

∂

2

1

∂ ln J 1 ∂2 ln J 1 ∂ ln J 2 5

Будемо вимагати,

ùîá

íååðìiòîâi äоданки в

− 2 ∂θ2

+ 4

∂θ

.

+

ctgθ −

∂θ

∂θ

+

∂θ2

−

2 ctgθ

∂θ

другiй квадратнiй дужцi)

Hˆ

′

дужцi i другий у

дорiвнювали(перший унулевi:першiй квадратнiй

2

−

∂ ln J

= 0,

r

∂r

З першого рiвняння ма¹мо, що ctgθ −

∂ ln J

= 0.

∂θ

рiвняння для

J = Cr2, C = Cвиплива¹,(θ) знах другогоумовизнахдимо

C

, ctgθ

− ∂ ln C/∂θ

=

0

, з якого

ùî

C =

C1 sin θ

2

. Îòæå,

êîáiàí

Сталу

одимо з

íîð-

Cмування1 = constякобiана перех д

J: îñêiëüêè= C1r sinîá'¹ìθ.

êóëi Cðàäióñà1

R

a äîðiâíþ¹ 4πa3/3,

a dr R 2π dϕ R π dθJ

= 4πa3

/3, çâiäñè C1

= 1. Отже, остаточно, якобiан

0

2

0

0

бутидля.

Використавши, як повинрiв

J = r

s n θ

ÿííÿ

Hˆ ′:

Ÿ23,

(m − 1/4)/ cos x − 1/4

ìè

~2 ∂2

∂2

ˆ

′

1

∂

2

1

1

с еричнà óíêöiÿ

Нев жксноюпеðåê

онатисü, ùî

+ U (r).

H

= −

2m ∂r2

−

2mr2

амiльтонiанаункцi¹ю.Якщооператдругурадорiвнюютьпохiднукруглихза дужках, тобто

кутпомноженаво¨частинина

öüî-

го¹ влмагнi

Yl,m(θ, ϕ)

,

√sin θ

ðåçó

òàò ¨¨ äi¨

ìí æíèê

çâîˆçàìiíó′

èòè íà

2

, тобто на

íå êâàçíàêòîâå

e

mϕ

ϕ

H

(−m

)

да вiдаснiзробитисерич

î¨ óíêöi¨

m = 0, ±1, ±2, . . .

число)

çìiííî¨(

= π/2 − x,

−êàõ,π/åð2óçÿi¨≤частинки,xîãî≤ π/çi2прикладi

θ

якомрiвняруха¹тьсямiняс,наормальнополi значеíдитьсяняоператорадознхвдженнякруглихрiвнiвдуж-

í чення,озв'язалиякi повинноу бути,1до

2

2

звiдки зразу одержу¹мо, що .шуканiТакузадачувласнi

l(l+1), де квантове число l = |m|+n,

n = 0,озглянемо1, 2, . . .

рухŸ 40частинки. Просторовиймасою

осцилятор

ÿìi, êîëè

m в осциляторнiй с еричнiй

mω2r2

mω2

338

U =

=

(x2 + y2 + z2).

2

2

цi¹¨ задачi ¹ важливим, тому що

акий потенцiал

¨

статньзв'язок

бре опису¹ структуру енер

етичних рiвнiв оболонк

нуклонами,

ак про кiлькiснi енер етичнi х

äîá -

ì äåëi àò

ого ядра. Мова йде як про порядок заповнення

ω: ~ω 41A−

1/3

A

ìîíi÷íèõ

слiджУнаслiдок.вдалоенняосциляторiвпiдiбратизводитьсроздiлення.частотуЕнердозмзадачiiяннихтако¨проу системирiвняннiрухтрьохШрединMeV,незалежнихарактеристики,ерамасовенашг-

лонок

дчиякщо

хвильова ункцiя для

дновимi ного осцилятора, ви

å ψn

а хвильовi ункцi¨E

,n2,n3

= ~ω(n

1

+ n

2

+ n

3

+ 3/2),

n1

дiальне

ψn1

,n2,n3

(x, y, z) = ψn1

(x)ψn2 (y)ψn3

(z)

1

+ n

2

+ n

. -

n1,n2,n3

3

−

d2

l(l + 1)

χ =

2E

+ ρ2 +

χ,

Для основного стануρ = r/( r

R(r) = χ/r.

mω

l = 0) радiальна ункцiя