§14. Смешанное произведение векторов

Теорема 14.1 (координатное представление смешанного произведения). Если векторы a,b и с относительно ортонормированного базиса заданы своими координатами a {a1, a2 , a3}, b {b1,b2 ,b3} , c {c1,c2 ,c3}, то смешанное произведение равно величине определителя, составленного из координат этих векторов. При этом в первую строку (столбец) определителя записывают координаты первого векторсомножителя, во вторую строку (столбец) – координаты второго векторсомножителя, а в третью – третьего. Таким образом,

Доказательство. Вычислим (a,b,c) , воспользовавшись определением смешанного произведения. Для этого найдем сначала координаты векторного произведения векторов a и b по формуле (14.1 )

Данное выражение и есть величина определителя (14.3), полученная разложением его по последней строке. ▲

Замечание. Если воспользоваться координатным представлением смешанного произведения (14.3), то свойства 1–5 непосредственно следуют из соответствующих

40

Отсюда следует, что одна из строк определителя есть линейная комбинация остальных двух. Например, c1 a1 b1, c2 a2 b2 , c3 a3 b3 . Таким образом, c a b , т.е. векторы a,b,с согласно теореме 4.2 линейно зависимые, а значит, компланарные.

Достаточность. Пусть a,b,с — компланарные векторы. По теореме 5.2 суще-

По свойствам определителей (a,b,c) 0 , так как его третья строка является ли-

нейной комбинацией остальных двух строк. ▲

Теорема 14.2 (геометрический смысл смешанного произведения). Абсолют-

ная величина смешанного произведения векторов a,b и с равна объему параллелепи-

педа, построенного на этих векторах. Если тройка векторов a,b, с — правая, то

(a,b,c) >0, если тройка — левая, то (a,b,c) <0. Доказательство.

Пусть векторы a и b не являются коллинеарными. Обозначим через S площадь параллелограмма, построенного на этих векторах, тогда Sпар мма a b . Пусть –

острый угол между вектором с и перпендикуляром к плоскости векторов a и b (см.

рис. 18). Расстояние Н от конца вектора с до этой плоскости находится по формуле H c cos . Тогда объем параллелепипеда, построенного на трех векторах, вычис-

ляется следующим образом: V S H a b c cos . А это и означает, согласно оп-

ределениям скалярного (11.1) и смешанного (14.1) произведений, что V abc . В слу-

41

a b

сH

a

b

Рис. 18

Следствие 14.1. Объем тетраэдра, построенного на векторах a,b и с, равен шестой части объема параллелепипеда, построенного на этих же векторах, т.е.

Vтетр. 16 (а,b,c).

§15. Двойное векторное произведение

Определение 15.1. Векторное произведение вектора a b на вектор c называ-

ется двойным векторным произведением и обозначается (a b) c или [[a,b],c] .

Согласно определению векторного произведения 13.2 результатом двойного векторного произведения также является вектор.

Замечание. Умножая вектор a векторно на вектор b c , получим двойное векторное произведение a (b c) , которое, вообще говоря, отлично от двойного вектор-

ного произведения (a b) c , т.е.

42

(a b) c и b (a,c) a (b,c) , а затем сравним результаты: 1. Используя формулу (13.1), находим:

a b {a2b3 b2a3 , b1a3 a1b3 , a1b2 b1a2},

(a b) c {c3 (b1a3 a1b3 ) c2 (a1b2 b1a2 ), c1(a1b2 b1a2 ) c3 (a2b3 b2a3 ), c2 (a2b3 b2a3 ) c1(b1a3 a1b3 )}.

2. По формуле (11.4) вычислим скалярные произведения a c и b c :

a c a1 c1 a2 c2 a3 c3 , b c b1 c1 b2 c2 b3 c3 .

Согласно следствию 7.1, умножая вектор b на число, полученное в результате скалярного произведения векторов a и с, получим вектор с координатами

b(a c) {b1 (a1c1 a2c2 a3c3 ), b2 (a1c1 a2c2 a3c3 ), b3 (a1c1 a2c2 a3c3 )} .

Аналогично, умножая вектор a на результат скалярного произведения векторов b и с, находим вектор с координатами

a(b c) {a1 (b1c1 b2c2 b3c3 ), a2 (b1c1 b2c2 b3c3 ), a3 (b1c1 b2c2 b3c3 )}.

Вычитая получившиеся векторы, имеем:

b(a c) a(b c) {c3 (b1a3 a1b3 ) c2 (a1b2 b1a2 ), c1 (a1b2 b1a2 ) c3 (a2b3 b2 a3 ), c2 (a2b3 b2a3 ) c1(b1a3 a1b3 )}.

Координаты векторов (a b) c и b(a c) a(b c) равны, следовательно, и сами векторы равны. ▲

43