Доказательство. Пусть среди векторов a1 ,a2 ,...,an имеется k (k < n) линейно зависимых. Можно считать, что первые k векторов линейно зависимы (если это не так, то векторы всегда можно перенумеровать), т. е.

1 a1 2 a2 ... k ak 0,

где, например, 1 0 . Равенство не изменится, если мы добавим в его левую часть остальные (n–k) векторов с нулевыми коэффициентами:

1 a1 2 a2 ... k ak 0 ak 1 ... 0 an 0 .

Мы имеем равную нулевому вектору линейную комбинацию n векторовa1 ,a2 ,...,an и при этом 1 0 . Следовательно, система векторов a1 ,a2 ,...,an ли-

нейно зависима.▲

§5. Примеры линейно зависимых и линейно независимых систем векторов

В этом параграфе рассмотрим примеры линейно зависимых и линейно независимых векторов пространства L3 . Предварительно приведем следующие теоремы.

Теорема 5.1. Если векторы a и b коллинеарные, то существует единственное число R такое, что a b .

Теорема 5.2. Если векторы a , b и c компланарные, то существуют единственные числа , R такие, что c a b .

Теоремы 4.1, 4.2, 5.1, 5.2 позволяют сформулировать следующие утверждения:

1.Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда он нулевой.

2.Система, состоящая из двух векторов, линейно зависима тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны.

3.Система, состоящая из трех векторов, линейно зависима тогда и только тогда, когда данные три вектора компланарны.

16

Теорема 5.3. Пусть в пространстве L3 даны три некомпланарных вектора p , q и r , тогда любой вектор a этого пространства можно разложить по данным векторам, причем единственным образом.

Доказательство. I. Покажем существование чисел , , , таких, что

ру p . Тогда, согласно теореме 5.1, вектор a можно представить: a p 0 q 0 r , где R .

планарными являются векторы a , p , r или a , q , r .

3. Вектор a произвольный. Отложим от некоторой точки О пространства векторы OP p, OQ q, OR r и OA a (рис. 8). Проведем прямую через точку А па-

раллельно вектору r . Прямая пересекает плоскость QOP в точке К. По правилу треугольника сложения векторов (2.1) имеем:

Так как векторы OP, OQ, OK принадлежат одной плоскости QOP, т.е. являют-

ся компланарными, то по теореме 5.2: OK p q , где , R . По построению

17

ров в трехмерном пространстве является любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов {e1,e2 ,e3} этого пространства. Такие базисы называют аффинными бази-

сами векторов прямой, плоскости и трехмерного пространства соответственно.

Введем понятие координат вектора трехмерного пространства в данном базисе. Пусть {e1,e2 ,e3} – аффинный базис векторов пространства, a – произвольный вектор пространства. Согласно теореме 5.3 и определению базиса векторов трехмерного пространства, вектор a можно разложить по базисным векторам, т.е. представить в виде

a1, a2 , a3 и наоборот.

Определение 6.2. Коэффициенты a1, a2 , a3 в разложении (6.1) вектора по базису

называются координатами (аффинными координатами) вектора a в данном базисе (относительного данного базиса). Число a1 называют первой координатой, a2 – вто-

рой координатой, а a3 – третьей координатой вектора a .

Вектор можно задавать его координатами: a {a1;a2 ;a3}.

Замечание. Коэффициенты одного и того же вектора в разложениях по разным базисам различны.

Замечание. Координаты вектора a можно также записывать в виде строчной

мают соответствующую строчную (столбцевую) матрицу и наоборот: при необходимости любую матрицу рассматривают как вектор с соответствующими координатами. Строчные (столбцевые) матрицы часто называют вектор-строкой (вектор-

столбцом).

Замечание. Базисные векторы e1,e2 ,e3 в базисе {e1,e2 ,e3} имеют координаты: e1 {1,0,0}, e2 {0,1,0}, e3 {0,0,1}.

19

Определение 6.3. Если базисные векторы {e1,e2 ,e3} пространства являются единичными и взаимно перпендикулярными, то базис называется прямоугольным де-

картовым, или ортонормированным, а сами векторы – ортами.

Векторы ортонормированного базиса трехмерного пространства принято обозначать i, j, k . Вектор a относительно декартового базиса {i, j, k} задается в виде:

Определение 6.4. Координаты вектора относительно ортонормированного базиса {i, j, k} будем называть прямоугольными.

Замечание. Аналогично определяются координаты вектора на плоскости или прямой. Вектор на плоскости относительно некоторого аффинного базиса {e1,e2} од-

нозначно задается упорядоченной парой чисел a {a1;a2}, т. е. a a1e1 a2 e2 . Век-

тор, лежащий на прямой, относительно некоторого базиса {e1} однозначно задается одним числом a {a1}, т. е. a a1e1 .

Рассмотрим понятие базиса для произвольного линейного пространства L. Определение 6.5. Базисом линейного пространства L называется любая упорядо-

ченная система линейно независимых векторов {e1, e2 , ...,en} этого пространства таких,

что каждый вектор a L представимв виде линейной комбинацииэтих векторов, т.е.

i 1

Выражение (6.3) называется разложением вектора a по базису {e1 , e2 , ...,en}, а

числа{ ai }(i 1,n ) называются координатами вектора a относительно данного базиса.

В пространстве L существует много различных базисов, однако все они состоят из одного и того же числа векторов. Количество векторов в базисе называется размерностью линейного пространства. Размерность линейного пространства L будем обозначать dim L (от французского слова dimension – размерность). Пространство L размерности n будем называть n-мерным и писать Ln.

Замечание. Если пространство состоит из одного нулевого элемента, то его размерность будем считать равной нулю.

20