Ответ: S ABC 2,5 221 (ед. 2 ), AH 5,14 (ед.).

Задача 6. Даны три силы F1 {3, 2, 6}, F2 {5, 1, 3}, F3 { 4, 7, 0}, при-

ложенные к точке А(2, 2, 1). Определить величину момента равнодействующей этих сил относительно точки О(–1, 9, 3).

4 6 3

Величина момента силы F относительно точки О равна

Ответ: OA F 2486 .

5. Смешанное произведение векторов

c перпендикулярен векторам a и b , а a,b 45 . Решение. Формулу (14.1)

(a,b, c) (a b) c

сучетомопределения скалярного произведения (11.1) можно переписатьввиде:

(a, b, c) a b c cos ,

63

где – уголмежду векторами ( a b ) и c .

Находим a b :

Вектор ( a b ), как следует из определения векторного произведения 13.2, перпендикулярен векторам a и b , а значит, коллинеарен вектору c . При этом векторы

( a b ) и c могут быть как сонаправленными (в этом случае 0 ), так и противопо-

ложно направленными ( 1800 ). Такимобразом, находим

(a b) c a b c cos 3 2 7 ( 1) 21 2 .

Ответ: (a,b, c) 21 2 (смешанное произведение положительное, если a, b и

с – правая тройка векторов, отрицательное – если a, b и с образуют левую тройку векторов).

Задача 2. Установить компланарные или нет следующие векторы: a { 4, 0, 2},

b { 2, 5, 0}, c {2, 2, 3}. Если векторы некомпланарные, то выяснить, какую тройку векторовони образуют.

Решение. Согласно свойству 5 смешанного произведения, три вектора компланарные, если их смешанное произведение равно нулю. Вычислим смешанное произведение векторов a, b и с, воспользовавшись формулой (14.3):

Такимобразом, составим и вычислимопределитель

64

Мы показали, что векторы компланарны, а это значит, что точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.

Замечание. В задаче 3 из четырех точек можно составить различные тройки векторов, но важно, чтобы векторы в этих тройках имели общее начало.

Задача 4. Даны вершины тетраэдра: A(1,1,1), B(1,4,4), C(4,1,4), D(4,4,1). Найдите объемтетраэдра и длину его высоты, опущенной из вершиныD.

Решение. 1. Согласно следствию 14.1, объем тетраэдра, построенного на векторах a, b и с, находится по формуле

Vтетр. 16 (а,b,c).

В качестве векторов a, b , с можно взять любые три вектора, составленные из точек А, В, С и D с тем лишь условием, что эти три вектора должны иметь общее начало. Пусть a AB, b AC, c AD . Находим координаты векторов AB , AC , AD и вычисляем их смешанное произведение

AB {0, 3, 3}, AC {3, 0,3}, AD {3,3,0};

65

раэдра:

V 13 Sосн H ,

где H – высота в тетраэдре, а Sосн – площадь грани в пирамиде, к которой проведена высота. Выразим из нее высоту:

H 3V .

Sосн

В нашем случае высота в тетраэдре опущена из вершины D, а значит,

Sосн S ABC 12 AB AC . Используя геометрический смысл смешанного произведения векторов (см. п.1), перепишем выражение для высоты втетраэдре ввиде:

Подставляя найденные значения произведений в формулу для расчета высоты, окончательно получаем:

66

Задача 5. Даны три вершины тетраэдра: A(1, 1, 5), B(5, 1, 5), C(2, 5, 5). Найдите координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси Oz, а объем тетраэдра равен8.

Решение. Объем тетраэдра находитсяпо формуле (см. п. 1 задачи4):

Vтетр. 16 ( AB, AC, AD)

Откуда

(AB, AC, AD) 6 Vтетр. 48.

Вычисляем координаты векторов AB , AC , AD . Для этого обозначим через z аппликату точки D. Так как по условию задачи D Oz , то D(0, 0, z) . Таким образом,

AB {4, 0, 0}, AC {1, 4, 0}, AD { 1, 1, z 5}.

Вычисляя смешанное произведение векторов через определитель 3-го порядка, получаем уравнение, содержащее неизвестное z

16(z 5) 48 , z 5 3,

z 8 или z 2 .

Таким образом, существует две точки D1 (0, 0,8) и D2 (0, 0, 2) , удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: D1 (0, 0,8) , D2 (0, 0, 2) .

67