Добавил:

Avrora32 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Калининградский государственный технический университет

Предмет:

Математическая статистика

Файл:

Вектора / Элементы векторной алгебры учеб_метод. пособие по дисциплине Вялова.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.04.2021

Размер:

712.34 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

Задача 10. Даны три вектора a 7i 4 j , b i 2 j 6k и c 8 j 3k . Вычис-

лить прa (c 2b) .

Решение. Введемобозначение c 2b d и вычислим координаты вектора d : d {c1 2 b1, c2 2 b2 , c3 2 b3},

d {0 2 ( 1), 8 2 2, 3 2 6} { 2, 4, 15}.

Запишем формулу (11.6) для вычисления проекции вектора на вектор для нашего случая:

прa d aad a1 d1 a2 d2 a3 d3 ,

a12 a22 a32

пр		7 ( 2) ( 4) ( 4) 0	30	6 65 .
	d
		72 ( 4)2	65
a				13

Ответ: пр d 6 65 .

a	13

4. Векторное произведение векторов

)

Задача 1. Данывекторы

, причем

и (

. Найдите:

; 2)

) (

)

Решение.

1) согласно п.1 определения13.2 имеем:

a b a b sin 5 2 sin 30 10 0,5 5 ;

2) воспользовавшись свойствами 1–4 векторного произведения и результатами предыдущего пункта, находим:

(2a b) (a 2b) 2a a 4a b b a 2b b 4a b a b 5 a b 25 .

Ответ:1) a b 5 , 2) (2a b) (a 2b) 25 .

Задача 2. Найти a b , если a 7i 3 j 5k , b 2i 4 j 3k .

Решение. Координаты векторного произведения векторов

находятся по

формуле (13.1

В нашем случае

( 1)2

( 1)3

( 1)4

29i 11

3 5

Ответ:

{29, 11, 34}.

Задача 3. Найти векторное произведение векторов (3

) (2

) , если

i 2 j 10k,

5i 4 j 7k .

Решение.

1-й

способ. Упрощаем выражение

) (2

) ,

воспользовавшись

свойствами векторного произведения:

(3a 4b) (2a 5b) 6a a 15a b 8b a 20b b 15a b 8a b 7a b .

			Находим координаты вектора																									. Для этого составляем																и вычисляем опре-
			Находим координаты вектора																			a				b		. Для этого составляем																и вычисляем опре-
делитель:
				i
						j					k		i ( 1)2			2 10								( 1)3						1 10								( 1)4				1 2				54i 57
						j					k
				1	2 10																																														6				.
	a	b		1	2 10																		j													k														j	6			k	.
				5	4				7							4			7											5	7											5		4
				5	4				7
			Таким образом, (3												4			) (2			5						) 7(54					57					6			) 378						399			42				.
			Таким образом, (3											a	4		b	) (2		a	5				b		) 7(54				i	57			j		6		k	) 378					i	399		j	42			k	.
			2-й способ. Находим координаты векторов (3																															4				) и (2					5				) :
			2-й способ. Находим координаты векторов (3																														a	4			b	) и (2			a		5		b		) :
					3					4			{3 1 4 5,						3 2 4 4,										3 ( 10) 4 7} {23, 22, 2},
					3		a			4	b		{3 1 4 5,						3 2 4 4,										3 ( 10) 4 7} {23, 22, 2},
						2				5			{2 1 5 5,						2 2 5 4,										2 ( 10) 5 7} {27, 24, 15}.
						2		a		5		b	{2 1 5 5,						2 2 5 4,										2 ( 10) 5 7} {27, 24, 15}.

Вычисляем (3a 4b) (2a 5b) , составив определитель:

									i		j		k	i	22	2		23	2		23	22
									i		j		k
(3		4		) (2		5		)	23	22		2
(3	a	4	b	) (2	a	5	b	)	23	22		2					j			k
									27	24		15			24	15		27	15		27	24
									27	24		15

378i 399 j 42k .

Ответ: (3a 4b) (2a 5b) {378, 399, 42}.

Задача 4. Вектор x , перпендикулярный векторам a {2,3,1} и b {5,9,5},

образует с осью Oz острый угол. Найти координаты вектора x , зная, что

x 2 70.

Решение. 1. Вектор, перпендикулярный векторам a и b , согласно п. 2 определения 13.2, коллинеарен их векторному произведению, т.е. x a b . Следова-

тельно, их координаты пропорциональны. Находим координаты a b :


			i		j		k
		2		3		1		6		5		3		.
a	b								i		j		k
		5		9		5

Таким образом, координаты вектора

{6k, 5k,

3k}, k R .

2. Находим коэффициент пропорциональности k ,

2 70.

учитывая, что

Составляем и решаем уравнение

(6k)2 ( 5k)2

(3k)2 2 70,

36k 2 25k 2

9k 2

70,

70k 2 2

70,

k 2 .

2 { 12,10, 6}, которые

Итак, мы получили два вектора

1 {12, 10, 6},

имеют заданную длину и перпендикулярны векторам a и b .

3. Искомый вектор x должен образовывать с осью Oz острый угол. Возьмем любой вектор, лежащий на оси Oz и имеющий с ней одинаковое направление, например вектор k {0,0,1}, и воспользуемся геометрическим смыслом скалярного произведения:

(k x) 900 k x 0 . Легко видеть, что этому условию удовлетворяет вектор

x1 {12, 10, 6}.

Ответ: x {12, 10, 6}.

Задача 5. Даны точки A(2, 1, 5), B(–7, 4, 3), C(0, 8, 9). Найти площадь треугольника АВС и длину его высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС.

Решение. 1. Площадь треугольника АВС, построенного на векторах AB и AC , равна половине площади параллелограмма, построенного на тех же векторах. Вос-

пользуемся геометрическим смыслом векторного произведения
												S ABC			1					.
												S ABC			1		AB		AC	.
															2
															2
		Для того чтобы произвести вычисления по указанной формуле, находим коор-
динаты векторов				,					и					:
динаты векторов			AB	,			AC		и	AB			AC	:

																					i		j		k
		{ 9, 3, 2},						{ 2, 7, 4},												9		3		2		26		40		57		.
	AB	{ 9, 3, 2},				AC		{ 2, 7, 4},								AB		AC		9		3		2		26	i	40	j	57	k	.
																				2		7		4
		S ABC 1									1	262			402 ( 57)2							1		5525 2,5 221 .
		S ABC 1			AB				AC		1	262			402 ( 57)2							1		5525 2,5 221 .
2											2											2
2											2											2

2. Для того чтобы найти высоту AH, опущенную из вершины А на сторону ВС, воспользуемся известной из школьного курса геометрии формулой для вычисления площади треугольника:

S ABC 12 AH BC .

Откудасучетомп.1 имеем

2S ABC

Вычисляемдлинувектора BC {7, 4, 12}:

BC 72 42 ( 12)2 209 .

Окончательнополучим

AH 5209221 5 209221 5,14 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Вектора

#
10.04.2021101.89 Кб136. Векторный базис на плоскости и в пространстве..doc
#
10.04.2021649.22 Кб14Векторы .doc
#
10.04.2021161.79 Кб17Нахождение координат вектора в новом базисе.doc
#
10.04.2021836.1 Кб15Решение задач.doc
#
10.04.202133.28 Кб13Умнож. векторов.Шпаргалка.doc
#
10.04.2021712.34 Кб57Элементы векторной алгебры учеб_метод. пособие по дисциплине Вялова.pdf