15. Общая характеристика методов поиска экстремума функции нескольких переменных.

Методы, ориентированные на решение задачи поиска экстремума функции нескольких переменных можно условно разделить на три широких класса в соответствии типом используемой при реализации того или иного метода информации:

1. Методы прямого поиска. Основаны на вычислении только значения целевой функции.

2. Градиентные методы, в которых используются значения первых производных.

3. Методы второго порядка, в которых наряду с первыми производными используются так же и вторые производные.

К прямому поиску( 1 метод) относятся методы

- прямого поиска экстремума Нелдера-Мида.

- п.п.э. Хука-Дживса.

Градиентные методы- наискорейшего спуска, метод ньютона

16. Методы прямого поиска экстремума. Метод Нелдера-Мида.

Данный метод хорошо зарекомендовал себя при решении задач СУ эл/мех объектами. Поиск экстремума основан на использовании симплексов.

Симплекс — n-мерная замкнутая геометрическая фигура, ребра которой представляют собой прямые линии, пересекающиеся в n+1 вершине.

Суть алгоритма — в минимизации функции нескольких переменных.

1) В соответствии с числом варьируемых переменных nформулируется нормированная матрица планирования на симплексе, размером (n+1)∙n

d — масштаб симплекса, обычно d=1, расстояние между вершинами симплекса

На основании матрицы вычисляется напряжение планирования в нормальных единицах.

Элементы матрицы определяются как: , где — начальное значение встр. параметров, — принятые приращения. При d = 1 и числе n = 2 будет М(3,2).

С целью удобства дальнейшего описания алгоритма, строки параметров, обозначим i-ую вершину как:

2) В каждой вершине симплекса вычислим значение целевой функции

3)Определяется (max) и наилучшее (min) значение целевой функции и соответствующие им индексы строкhи e — функции планирования и симплекса

4) Вычисляются координаты центра тяжести симплекса:

5) Определяются координаты отраженной точки

Коэффициент отражения , а в конкретной модификации принят .

6) Проверяется условиеЕсли условие (*) выполняется, то производится растяжение симплекса с коэффициентом растяжения

7) Проверяется условие , в случае его выполнения ; и поиск экстремума продолжается, начиная с пункта 3.

8) Если условие (*) не выполняется, тогда определение вершин симплекса с наибольшими после худшей вершины с инд. hс наихудшим значение целевой функции.

При выполнении этого условия худшая вершина заменена на вершину

, после чего движение к экстремуму продолжается с пункта 3, иначе аннулируется условие (***)

Если (***) выполняется, то координаты худшей вершины заменится коорд. , после чего осуществится сжатие вектора , смысл которого состоит в определении координаты с индексом n+4 как:— коэфф. сжатияЕсли (***) не выполняется, то операция сжатия выполняется сразу, минуя замену (****)

9) Проверяется эффективность сжатия по условию: если оно соблюдается, то выполняется операция (**) и поиск экстремума выполняется с пункта 3. Если нет, то симплекс редуцируют, те все векторы (i=1…n+1) вычзнач целевой ф во вновь определеннх точках и поиск экс начинаются с п. 3

17. Методы прямого поиска экстремума. Метод Хука-Дживса.

Процедура поиска экстремума функции нескольких переменных разработанная Хуком и Дживсом, представляет собой комбинацию из исследуемого поиска с циклическим изменением переменных и поиска по образцу с использование определенных правил.Алгоритм поиска этим методом может быть представлен последовательностью:

Шаг 1:

1. Определяются координаты начальной точки

2. Величина приращения varпеременных

3. Коэффициент уменьшения шага

4. Параметр окончания цикла

Шаг 2:Выполнить процедуру исследующего поиска. Поиск начинается из начальной точки, поочередно изменяется одна из varпеременных. Значение остальных фиксируется на прежнемуровне. Если значение целевой функции в пробной точке оказывается меньше, чем в исходной, то шаг поиска по этой переменной рассматривают как успешный, в противном случае необходимо вернуться в предыдущую точку и сделать шаг в противоположном направлении, с последующей проверкой значения целевой функции. После последовательного перебора всех varпеременных, исследование точек завершается. Полученную в результате него точку в пространстве varпарам называют базовой точкой. Если поиск новой базовой точки оказался удачным, осуществляется переход к выполнению шага 4, в противном случае к шагу 3.

Шаг 3:Производится проверка на завершение поиска экстремума, с этой целью выполняет.проверка рав-ва: –норма приращвект

Если оно выполняется, то поиск прекращается, иначе приращение всех переменных уменьшается по формуле:

После чего осуществляется переход к шагу 2.

Шаг 4:Выполняется поиск по образцу. Заключающийся в реализации единственного шага из полученной базовой точки вдоль прямой, соединяющей эту точку с предыдущей базовой точкой. Новая точка образуется в соотв со след формулой:

Шаг 5:Выполняется исследование точек, в котором используется в качестве базовой точки. Пусть , полученная в рещзультате такого поиска новая базовая точка.

Шаг 6:Проверяется выполнение рав-ваЕсли выполняется, то просится переиндексация После чего осуществляется переход к шагу 4. Если не выполняется, осуществляется переход к шагу 3, минуя операцию переиндексации.