4. Формирование составных критериев качества для решения задач на параметрическую оптимизацию систем управления при наличии случайных возмущающих воздействий.

Наиболее простым и частным критерием оптимальности системы по точности, при действии на неё случайных возмущений, является средний квадрат ошибки системы. Если ввести в рассмотрение систему управления, построенную по принципу обратной связи, где – случайное возмущающее воздействие, то ошибку системы можно представить как:

W

u(t) δ(t) y(t)

-1

δ(t)=[U(t)-y(t)] , где δ(t) – ошибка. Следовательно, ошибку необходимо характеризовать в статическом плане. Наиболее простой статической характеристикой является средний квадрат ошибки, который связан с дисперсией и математическим ожиданием следующим соотношением:

M{[U(t)-y(t)]}=+ Средний квадрат ошибки учитывает, как случайную составляющую ошибки, так и систематическую. Положительный корень из среднего квадрата ошибки называется СКО(средне-квадратическим отклонением), которое имеет размерность выходного сигнала системы и поэтому при практических расчётах является более удобной характеристикой, чем средний квадрат ошибки. Критерий минимума средне-квадратической ошибки получил широкое распространение в практике проектирования СУ электромеханическими объектами. Благодаря тому, что он прост в математическом отношении и для многих практических задач является удовлетворительной мерой успешности управления. = -> min Т.к. -> 0. Практика проектирования показала, что стремление к min значения функционала приводит к решению, которое не обеспечивает системе требуемого запаса устойчивости. Для того, чтобы ограничить колебательность системы, при решении задач на параметрическую оптимизацию в качестве критерия качества рассматривают критерий вида:

В котором и весовые коэффициенты, регулирующие вклад каждой составляющей функционала качества в его значение.

5. Выборочные распределения для интервального оценивания параметров систем управления.

Выборочные оценки числовых характеристик исследуемых переменных СУ:

Известные наиболее существенные характеристики распределения случайных величин, такие как средние значение и дисперсия являются теоритическими параметрами, которые могут быть найдены по бесконечному числу наблюдений. В практических условиях приходится иметь дело с ограниченным объемом экспериментальных данных, которым могут быть определены только выборочные оценки.

] имеется выборка nнаблюдений над случайной величиной y.Тогда:

Для практической работы, связанной с оценкой значения дисперсии в процессе экспериментальных исследований на объекте или в ходе математического моделирования.

_________________________________________________________________

Если представляет собой оценку истинного значения параметра β, то зная выборочное распределение , можно найти такие 2 числа для которых выполняется условие:

Доверительный интервал для генерального среднего.

Для построения доверительного интервала используютt- статистику.

Числовой пример:

Пусть дана выборка из n = 10 измерений

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yi	68	50	45	75	39	62	48	45	50	45

n = 10; = 9

1

Зададимся доверительной вероятностью P = 0.95, следовательно уровнем значимости

Для вероятности 0.975 и = 9:

Таким образом доверительный интервал : (52 – 2.262*3.1; 52 + 2.262*3.1). След-но с вероятностью P = 0.95, истинное среднее значение распределения случайной величины будет находиться в пределах:

6.Выборочное распеределение среднего в случае неизвесной генеральной дисперсии. Оценки параметров случайных величин сами являются случайными величинами, имеющими собственные случайные распределения. Для того, чтобы сделать заключение о достоверности оценок надо знать выборочные распределения.

Если генеральная совокупность случайных величин имеет нормальное распределение, то средние выборки из этой совокупности распределяются также по нормальному закону, имеющему функцию плотности распределения вида:

Параметры функции плотности распределения среднего:

m_y – центр распределения;

– среднее квадратичное отклонение (СКО);

– нормальный закон распределения;

Рассеяние среднего относительно m_y в n раз меньше самой случайной величины y:

В том случае, когда известна генеральная дисперсия, для оценки среднего по выборке может быть нормальное стандартное распределение, к которому приходят путем подстановки:

y-статистика.

Выборочное распределение среднего в случае неизвестной генеральной дисперсии. При практических исследованиях дисперсия общей совокупности почти всегда оказывается неизвестной, следовательно не можем произвести нормирование.

Имея частичную совокупность, можем найти оценку :

Отклонение среднего значения общей совокупности обозначается буквой t.

t-статистика.

При больших значениях n, распределение t-статистики не отличается от нормального. При малых n распределение резко отличается от нормального. Для практического использования t-распределения среднего создана таблица значении t-статистики для различных значений вероятностей и степеней свободы.