1.Применение интегральных критериев качества от квадратичных форм в качестве меры соответствия ПХ проектируемой системы наперёд заданной.

Основное назначение любого критерия оптимальности СУ является численная оценка качества работы проектируемой системы. Выбор статистических критериев качества СУ, так же , как и детерминированных, не м.б. формализован. Однако, к любому критерию оптимальности предъявляются общие требования:

-Должен физически соответствовать поставленной задачи управления(служить мерой успешности ее решения)

-должен быть достаточно просто, что бы можно было решить задачу его вычисления

Учитывая специфику СУ эл/мех объектами, на практике достаточно часто критерии оптимальности формируются их 2х частей, одна из которых является мерой соответствия переходной характеристики проектируемой системы наперед заданной при отработке типовых управляющих воздействий. Эта часть критерия качества является детерминированной. Другая является мерой успешности управления при действии на систему случайных возмущений(например момента нагрузки, обусловлен. ветровым потоком). Следовательно вторая часть критерия качества является случайной величиной, и для ее оценки м.б. использованы числовые характеристики(среднее значение, СКО дисперсия.) - [коэф соотв тексту.]

Рассмотрим практически часто применимые оценки успешности управления для обеих частей составного критерия качества. В качестве меры соответствия перех характеристики проектируемой системы наперед заданной, широкое распространение получили интегральные критерии квадратичных форм вида:

(1-1)

Где Х - выходная переменная, движения которой анализируется при переводе системы из некоторого установившегося состояния в нулевое, весовые коэффициенты при квадратичных производных i-ого порядка от выходной координаты,t-время перехода СУ из одного установившееся состояния в другое.

Известно, что экстремалью для функционала(1-1) является одно из решений однородного ДУ Эйлера-Пуассона:

в котором число членов соответствует количеству слагаемых квадратичной формы V. Под экстремалью количественного решения такого ДУ, которое доставляет минимальное значение выбранного функциАНАЛА Если ограничиться первыми 4 членами квадр формы под знаком интеграла в выражении (1-1), то соответствующее ему уравнение Эйлера-Пуассона в операторной форме записи можно представить как:

Решение этого уравнения имеют 3 корня с отрицательной вещественной частью, а три с положительной. Практический интерес представляет уст. Уравнения, поэтому в решении уравнения (1-2) следует учитывать корни только с отрицательной вещественной частью. Поэтому экстремалью этого функционала будет решение ДУ-3его порядка, корни которого соответствуют корням уравнения Эйлера –Пуассона с отрицательной вещ частью.(1-3)

Отмеченный результат позволяет формировать расчет весовых коэфф. функционала по желаемому виду движения выходных координат заданному однородн. ДУ.

2.Методика формализованного выбора весовых коэффициентов в составе интегральных критериев от квадратичных форм.

Пусть желаемое движение вынужденного перемещения определяется:

При нач. условиях:

является характеристическим уравнением, настроенным на симметричный оптимум: (1-5)

T_m-эквивалентная малая постоянная времени, характеризующая быстродействие системы.

Чтобы решение (1-5) являлось экстремалью для функционала , его весовые коэффициенты выбираются следующим образом:

1. Составляется дифф.ур., аналогичное 1-5, для корней расположенных в правой полуплоскости комплексной переменной p:

(1-6)

2. Получить уравнение соответствующее уравнению Эйлера – Пуассона, перемножить (1-5) и (1-6)

3)Определяем весовые коэффициенты приравнивая коэфф этого уравнения и уравнения Эйлера-Пуассона при одинаковых степенях оператора p.Указанные действия приводят к результату

Таким образом решение ДУ (1-5) является экстремалью для функционала:

Минимизируя этот функционал в процессе параметрической оптимизации системы мы получили реакцию выходной переменной в соотвествии с переходной характеристикой(1-4). Применение изложенной методики для выбора весовых коэффициентов функционала вида

с целью обеспечения проектируемой системе напред заданной переходной характеристики.

3. Формирование критериев качества при решении детерминированных задач на параметрическую оптимизацию систем управления с использованием эталонных моделей.

Другой практически часто применяемый подход к формированию функционала качества при необходимости обеспечить ей наперёд заданную переходную характеристику основан на применении эталонных моделей. В этом случае, как показано на схеме, в процессе оптимизации на вход обеих систем подаётся ступенчатое входное воздействие, а функционал качества формируется как

J_VЭ = (1-13)

X_в, Х_э – выходные переменные, t – интервал времени, за который проектируемая система переходит из одного установившегося состояния в другое. Желая обеспечить выходной переменной X_в движение, аналогично Х_э, необходимо так подобрать варьируемые параметры проектируемой системы, чтобы J_vэ → 0.

Достаточно часто такие модели реализуют с использованием принципов модального управления, т.е. желания разместить корни характеристического уравнения замкнутой системы в соответствие с наперёд заданной стандартной формой.

Существуют различные подходы к выбору желаемых корней характеристического уравнения замкнутой системы. Если все корни выбираются одинаково, причем действительные и отрицательные со значением модуля = ω₀ , то характеристическое уравнение n-ного порядка обращается в бином Ньютона

(1-14)

Стандартные формы, соответствующие (1-14) получили название биномиальных, их вид для ряда значения n можно представить следующим образом:

H(p) = n=1

n=2

n=3

n=4 и т.д.

Другим широко распределённым распределением корней, является распределение Баттерворта. В этом случае корни располагаются на полуокружности радиуса ω₀ в левой полуплоскости комплексной переменной p. Угол между мнимой осью и лучом, проходящим через ближайший к ней корень и начало координат равен половине угла между соседними корнями.

Стандартная форма Баттерворта для ряда значений n имеет вид:

H(p) = n=1

n=2

n=3

n=4

Если считать, что ПФ СУ по управлению имеет вид

Её динамические свойства определяются видом

Если при разработке системы стремиться обеспечить реакцию на ступенчатое воздействие в соответствие со стандартной формой Баттерворта, то эталонная модель может быть выполнена в соответствие с передаточной функцией:

Звено чистого запаздывания введено на вход эталонной модели 3-го порядка с целью имитации движения, соответствующего стандартной форме Баттерворта более высоких порядков. Обязательным условием успешной реализации поиска экстремума функционала (1-13) является необходимость обеспечения одинаковых статических коэффициентов передачи проектируемой системы и эталонной модели на каждом шаге движения к экстремуму, иначе условие решения задачи становится некорректным

J_vэ =