13. Формулировка задачи построения оптимального регулятора для линейного объекта со случайными возмущениями типа «белого шума».

На реальные объекты управления часто действуют случайные возмущающие воздействия, а измерения физических координат сопровождается шумами. Кроме этого не все переменные составляющие объекта доступны измерению. Поэтому одной из распространенных задач, решаемых при разработке системы управления, является задача линейного опт управления объектами со случайным возмущением. Рассмотрим класс объектов со скалярным вводом и одной управляемой переменной, математическое описание которой может быть представлено системой векторно-матричных уравнений:

; ;

Z(t)- выходная переменная;

-векторный случ процесс типа белого шума, возмущающее состояние X(t);

-белый шум наблюдения, аддитивно наложенный на измер сигналы.

Совместный случ процесс и являются некоррелированным и хар-ся блочной матрицей интенсивности V

Доступным измерению явл r-переменных состояния из числа n.

Задача построения лин опт регул системы, включающая в себя наблюдатель и обр связи по восстановленным переменным, состоит в определении такого управления, при котором критерий:

Достигает мин при удержании вых переменной z в нулевом заданном состоянии.

Положительно опр-ые весовые коэф и опр вклад в критерий качества средних значений квадрат отклонения упр-й переменной от предписанного (нулевого) значения и квадрата управления к-рый при этом затрачивается. Сформированная задача решается на основе принципа разделения. Применение данного принципа позволяет доказать, что матрица коэффициентов К оптим регулятора, замкнутого по полному вектору состояния остается неизменной и в том случае, когда замыкание системы производится по оценкам вектора сост Х, восстановленным наблюдающим устр, параметры которого определены из условия мин ср квадрата ошибки восстановления. Таким образом опт управление, обеспечивающее мин критерия формируется в виде:

Где матрица коэф обратных связей К как и при решении задачи детерминированного оптим линейного уравнения опред выражением:

, в котором матрица Р является единственным неотр симметр решением уравнения Рикатти.

При необходимости стабилизир вых перем z на уровнях, отличных от нулевого, требуемое упр мб сформировано как: . Wз – перед функция системы замкнутой, Uз(t) – задающее воздействие. Оценка полного вектора состояния объекта выполняется установившемся опт регулятором, который реализуется в соответствии с: (3.8)

Установившийся наблюдатель является опт в том смысле, что при опр выборе пхч матрицы коэф-в L минимизируется ср значение квадрата ошибки восстановления, те ; , где Т – наперед заданная весовая матрица. Диф уравнение ошибки восстановления мб получено путем вычитания из первого уравнения 3.8.

14. Решение задачи построения оптимального регулятора для линейного объекта со случайными возмущениями типа «белого шума».

Решение задачи построения установившегося опт наблюдателя достигается выбором матрицы коэф-в наблюдателя как . Если обозначить ср знач вектора ошибок восстановления то выражение n x n матрицы Q будет выглядеть таким образом: . Матр Q явл матрицей дисперсии ошибок восстановления, которая опред решением алгебраического уравнения Рикатти: . Рассмотренные задачи построения опт упр когда предполагается что шум, возмущающий состояние объекта и шум датчиков измерения не корелированы между собой и явл случ процессами типа белого шума, мб переведены на некоторые инженерные задачи, однако в практ приложениях в приближ действующих на реал объекты – цветной шум, те случ процесс с определенной характеристикой спектральной плотности обычно формируемой путем фильтрации белого шума. Рассм возможность построения лин опт системы для объектов упр с цветным шумом внешн возд. Пусть объекту управления порядка n задается следующее написание:

. (3.16) Где и - случ возд с опред статическими хар-ками, полученные при фильтрации некорелир белых шумов и через соответствующие фильтры первого порядка:

; . 3.17

При таком описании объекта задачу построения оптимального регулятора объекта стремятся привести к такой, когда шум возмущенный и шум измерений являются случайными процессами типа белого шума. В этом случае часть описания относится к моделированию БШ , относят к самому объекту и рассматривается мат описание расширенного объекта.

; Следует отметить что расширенный вектор x(t) или x(p) включают в себя не только переменные состояния объекта X0, но и возмущение, действующее на него. Поэтому при синтезе наблюдающего устройства потребуется определить не только переменные X0(t), но и возмущение воздействия. Нетрудно показать что убавление цв шума наблюдения за счет дальнейшего повышения порядка объекта не может привести к положительным результатам. Задача становится некорректной относительно выбора коэффициентов наблюдающего устройства, поскольку в этом случае шум наблюдения будет рассматриваться как шум, возбуждающий состояние объекта, а измерительный канал оказывается вообще незашумленным, следовательно, можно заранее утверждать что значение коэффициентов наблюдения необходимо выбрать бесконечно большим, поэтому дальнейшее преобразование объекта с целью приведения его мат описания к ранее рассмотренной задание необходимо выполнить другим путем. Этого можно добиться если в качестве измеряемой переменной выбрать фиктивную переменную . фиктивную переменную можно представить как: . В результате такого выбора измеряемых переменных измеряемые фиктивные переменные возбуждаются случайными процессами типа БШ. Таким образом выполнение пр-ние привели мат описание объекта к виду:

;