7. Выборочное распределение для оценки дисперсии

Распределение величины S² задается χ² – распределением.

оценка

Графически распределение χ²-статистикиимеет вид:

Распределение χ² задается таблицами вероятности(получить расчетное значениеχ²>табличное).

ν Р	0,99	0,95	0,9	…	0,05	0,025	0,01

8. Применение выборочных распределений для интервального оценивания параметров систем управления.(нужно также в этом билете кратко рассказать 9,10, 11- все что связано с интервалами)

Если представляет собой оценку истинного значения параметра β, то зная выборочное распределение , можно найти такие два числа δ₁, δ₂ для которых выполняется условие:

9.Доверительный интервал генерального среднего

Для построения доверительного интервала используют t – статистику

Числовой пример

Пусть выборка из n=10 измерений

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yi	68	50	45	75	39	62	48	45	50	45

n=10;=9

;

Зададим доверительность вероятностьюР= 0,95 следовательно уровнем значимости α=0,05;

Для вероятности 0,975 и =9

T_9;0,975=2,262

Таким образом, доверительный интервал:

(52-2,262·3,1; 52+2,262·3,1)

Следовательно с вероятностью Р=0,95, истинное среднее значение рассматриваемой случайной величины будет находиться в пределах:

10. Доверительный интервал для генеральной дисперсии.

Для определения доверительного интервала генеральной дисперсии используют -статистику.

Т.к. таблица задает вероятность того, что Х²_расп>X²_табл, можно записать:

;

На практике часто приходится решать обратную задачу: по истинному значению ср. величины и требуемой точности найти требуемое число экспериментов для обеспечения этой точности.

σ²_Х=0,01 (σ=0,1) ±0,02 Р=0,95

n - ?

Известно, что генеральная совокупность исследуемых случайных величин распространяется нормально. Для решения такой задачи можно использовать выборочное распределение для ср. значения и дисперсии.

11. Определение объема выборки, который позволит с вероятностью Р=0,95 накрыть истинное значение дисперсии доверительным интервалом шириною 0,1σ².

Определим объем выборки, для которой доверительный интервал 0,1σ² будет накрывать истинное значение дисперсии с вероятностью 0,95.

12. Формирование случайных процессов с заданными спектральными хар-ками.

При математическом моделировании в процессе создания СУ весьма важно сформировать случайное воздействие с заданными спектральными характеристиками генератора.

Пусть имеют характеристику спектральной плотности типа белого шума, т.е одинаковые значения плотности на всех частотах.

для того, чтобы сформировать случайное воздействие, необходимо преобразовать с помощью фильтра, имеющего определенную ПФ. Для определения ее вида и параметров, необходимо знать, как преобразовывается спектральная характеристика сигнала, проходя через фильтр. Пусть на вход линейной системы с ПФW(P) действует случайный сигнал сигнал.

Известно, что спектральная характеристика выходного сигнала в результате те прохождения через ПФ W(P) получит вид:

Рассмотрим решение задачи формирования случайных воздействий с заданным спектральными характеристиками на конкретном примере :

Допустим требуется сформировать случайное воздействие с заданной спектральной характеристикой

By Simulink

Power noise Nr=0.01

SampletimeTo=0.01

Seed=[23341]

Символы на рисунке(Sr; Sy; ;;; ;)

при реализации модели необходимо контролировать как характеристики генератора, так и характеристики модели.

Имея ввиду (2-3) можно записать

В процессе моделирования целесообразно контролировать как сигнал на выходе генератора, так и сигнал на выходе формирующего фильтра. Для этого целесообразно определить дисперсию и контролировать ее на выходе Ф.

в конце после арктангенса не скобка фигурная а вертикальная черта( от минус бесконечности до плюс)