2.2 Аналіз стійкості системи

Розроблена САР в першу чергу має бути перевіреною на стійкість. Найбільше росповсюдження для перевірки стійкості отримали алгебраїчний критерій стійкості Рауса-Гурвиця та частотний критерій Найквіста.

Коефіцієнт передачі П-регулятора Кр>5,2

У відповідності до критерія Гурвиця потрібно скласти визначник Гурвиця за характеристичним рівнянням замкненої системи за каналом управління із розрахованим у прикладі 3.1 коефіцієнтом передачі :

Складаємо визначник Гурвиця:

Звідси діагональні мінори:

;

;

Робимо висновок, що відповідно до критерія Гурвиця замкнена система є нестійкою.

Визначення стійкості замкненої САР, яка складається з об’єкта, описаного системою рівнянь та П-регулятора з коефіцієнтом передачі Kp  5,2 %ХРО/С за допомогою MatLab:

w=tf([14.68],[8000 1333.3 68.33 15.68])

w =

14.68

-------------------------------------

8000 s^3 + 1333 s^2 + 68.33 s + 15.68

Continuous-time transfer function.

>> sys=ss(w)

sys =

A =

x1 x2 x3

x1 -0.1667 -0.06833 -0.1254

x2 0.125 0 0

x3 0 0.125 0

B =

u1

x1 0.25

x2 0

x3 0

C =

x1 x2 x3

y1 0 0 0.4698

D =

u1

y1 0

D3=det([1333.3 15.68 0; 8000 68.33 0; 0 1333.3 15.68])

D3 =

-5.3838e+05

>> D2=det([1333.3 15.68 ; 8000 68.33])

D2 =

-3.4336e+04

Оскільки детермінанти третього і другого порядку менше нуля, то система нестійка.

Стійкість системи необхідно підтвердити моделюванням в Simulink. В схему ОК додаємо П-регулятор. Встановлюємо в ньому розраховане значення налаштування регулятора К_р=5,2%XPO/^oC.

Для перевірки отриманих результатів побудуємо структурну схему. П-регулятор імітуємо звичайною підсилювальною ланкою. Час перегляду ставимо 500 с. А також в ланках Step встановлюємо: для сигналу U1 та U3 встановлюємо налаштування Final Value = 10 ºС, а для сигналу Z1 встановлюємо налаштування Final Value = 40 ºС та Z2 – Final Value = 15 ºС .

Рисунок 2.2 – Структурна схема системи з П-регулятором

Рисунок 2.3 – Розбіжний перехідний процес системи з П-регулятором

Дана система є нестійкою і статична похибка 5% є недопустимою, що підтверджується розбіжним перехідним процесом і критерієм Рауса-Гурвиця оскільки детермінанти третього і другого порядку менше нуля.

Як спеціальне завдання було отримано, дослідження системи за допомогою критерія стійкості Найквіста.

Частотний критерій стійкості Найквіста використовує амплітуднофазову характеристику розімкненої системи W_роз(jω) = W_рег(jω), W_ок(jω) , тобто послідовне з’єднання (добуток) відповідних характеристик і передаточних функцій автоматичного регулятора і об’єкта за каналом керування. Критерій Найквіста формулюється так: автоматична система керування стійка, якщо амплітудно-фазова характеристика розімкненої системи W(jω) роз не охоплює точку з координатами (-1; j0) на комплексній площині.

Визначаємо передаточну функцію розімкнутої системи :

Проводимо заміну в передаточній функції p → jω і отримуємо аналітичний вираз для амплітудно-фазової характеристики

Модуль цього виразу дорівнює

а фаза визначається, як аргумент цього виразу:

Умовою перетину годографом АФХ дійсної осі є виконання рівності, яка випливає з рівняння:

Дана умова виконується при додатних частотах та

Уявна вісь перетинається годографом АФХ за додатної частоти, яка визначається з рівності:

.

.

Рисунок 2.4 – Годограф розімкненої АСР

Висновок: так як охоплює точку з координатами (-1; j0 ). Можна зробити висновок, що система в замкненому стані нестійка.

У випадку, коли статична похибка неприпустима, створюється системи стабілізації (використовується регулятор з астатичною складовою – ПІ- або ПІД-регулятор). В даній курсовій роботі створюється система стабілізації.