2259

2. Определенный интервал

1 x

y12 x4 .

4.Трапеция ограниченакривыми y ex, y 0, x 0, x 1. Найти объём тела, полученного вращением этой трапеции:

а) вокруг оси OX; б) вокруг оси OY.

5.Найти длину дуги кривой y ln x , заключенной между точками x1 8 и x2 24 .

6.Найти длину дуги кривой x cos2t, заключенной между

y sin2t,

точками t1 0 и t2 .

7. Найти длину дуги кривой a sin , заключенной между точками 1 0 и 2 .

8 1

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3.1. Определение и свойства

Пусть D Rn — некоторое множество. Диаметром этого множества назовём число d sup (x,y) , где (x,y) — рассто-

x,y D

яние между точками x и y.

Определение. Пусть функция f(x) f(x1,x2,...,xn) опре-

делена и ограничена в области D Rn. Разобьем область D на части поверхностями размерности n 1 (в R2 — кривыми, в R3 — поверхностями и так далее), пронумеруем полученные элементарные области Di, выберем внутри каждой из них по точке i и составим сумму

n 1

f( i ) (Di ), где (Di) — мера области Di (в R2 –

i 0

площадь, в R3 – объём и так далее). Предел полученных сумм по всевозможным разбиениям, если этот предел существует, не зависит от способа разбиения, способа выбора точек i, при условии, что максимальный из диаметровэлементарных областей стремитсяк нулю, называется кратным интегралом от функции f(x) (двойным на плоскости, тройным в R3 и так далее) и обозначается

интегрируемойпо Риману.

Отметим некоторые свойства кратных интегралов при условии существования всех используемых ниже интегралов.

1. Если область D разбита на две области D1, D2 так, что D D1 D2 и D1, D2 пересекаются лишь по поверхности разби-

82

3.Кратные интегралы

2.(f(x) g(x)) dx f(x) dx g(x) dx .

D D D

3. kf(x) dx k f(x) dx .

D D

Следующие ниже свойства справедливы для скалярнознач-

DD

7.Если m f(x) M , то m (D) f(x)dx M (D).

D

8. f(x)dx (D), где — некоторое число, такое, что

D

m M.

9. Если f(x) непрерывна в области D, то существует точка

c из D такая, что f(x) dx f(c) (D) .

D

Аналогично тому, как это сделано при рассмотрении интеграла от функции одной переменной, можно рассмотреть нижние и верхние суммы Дарбу, нижний и верхний интегралы Дарбу и доказать следующие результаты.

Теорема 3.1. Интеграл от функции f(x) по области D существует тогда и только тогда, когда нижний и верхний интегралы Дарбу равны между собой.

Теорема 3.2. Для всякой непрерывной на ограниченном замкнутом множестве функции существует интеграл по этой области.

Теорема 3.3. Если область D можно разбить на конечное число областей, в замыкании каждой из которых функция непрерывна, то она интегрируема на этом множестве.

83

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

Определения ограниченного и замкнутого множеств можно найти в [3, 5, 8]. Любознательным читателям предлагается доказать теоремы 3.1, 3.2, 3.3 самостоятельно или посмотреть их доказательства в [5, 8, 15].

3.2. Вычисление кратных интегралов

3.2.1. Вычисление двойных интегралов

Рассмотрим вначале самый простой случай прямоугольной области D [a,b] [c,d] . Предположим, что для всякого

d

x [a,b] существует интеграл f(x,y)dy . Разобьём отрезки

c

84

3. Кратные интегралы

Заметим, что в левой и правой частях неравенства (3.1) стоят соответственно нижняя и верхняя суммы Дарбу для интег-

рала f(x,y)dxdy , которые могут быть введены так же, как и

D

для определённого интеграла. В случае, когда функция f(x,y) непрерывна в области D, каждая из сумм Дарбу совпадает с одной из интегральных сумм. Так как

то, переходя в неравенстве (3.1) к пределу, имеем, в случае интегрируемости функции f(x,y),

Последнее неравенство эквивалентно соотношению

b

Аналогично, если существует f(x,y)dx , то

a

85

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

Положим

Далее,

переписать в виде

Для криволинейной трапеции, ограниченной линиями

y c, y d, x x1(y), x x2(y) (x1(y) x2(y) для y [c,d]),

имеем

Интегралы, стоящие в правых частях формул (3.3) и (3.4), называются повторными, а результат о сведении кратного интеграла к одному из повторных носит название теоремы Фубини.

86

3.Кратные интегралы

Пр и м е р 1. Пусть область D — внутренность треугольника с вер-

шинами A(3,2), B(4,4), C(4,1). Вычислить интеграл (x 2y) dx dy .

Таким образом, область может быть задана неравенствами 3 x 4 ,x 5 y 2x 4 . Поэтому

Для перехода к интегралу типа (3.4) требуется разбить область на две. Мы подобное проделаем в следующем примере, а читателю предлагаем в данном примере сделать это самостоятельно.

П р и м е р 2. Пусть область D задана неравен-

интеграле f(x,y) dxdy перейти к повторным

D

ирасставить пределы интегрирования. Перейдем вначале к повторному интегралу

Для перехода к интегралу типа (3.4) требуется разбить область на

87

П р и м е р 3. Пусть область D — внутренность треугольника с вер-

шинами A(1,1), B(5,5), C(3,2). В двойном интеграле f(x,y) dx dy

D

перейти к повторным и расставить пределы интегрирования. Найдём уравнения прямых AB, BC, AC. Урав-

нение прямой AB можно записать в виде

перехода к интегралу вида (3.4) приходится разбивать область на две. Для интеграла вида (3.3) соответствующие области задаются неравен-

Расставить пределы интегрирования, взяв внешний интеграл по y (то есть представить двойной интеграл в виде повторного интеграла вида (3.4)), предлагается самостоятельно.

П р и м е р 4. Пусть область D задана неравенствами y x2, y x . Тогда

П р и м е р 5. Изменить порядок интегрирования в интеграле

88

3. Кратные интегралы

Исходная область представлена в виде объединения двух об-

Задание 3.1

В двойном интеграле f(x,y)dxdy для заданной области

D

D перейти к повторным и расставить пределы интегрирования (приведены оба варианта ответа).

1. Область D задана неравенствами:

в) A(–1,1), B(2,3), C(5,–2); г) A(–1,0), B(2,4), C(5,–2).

3. Область D есть внутренность четырёхугольника с верши-

нами A(0,0), B(2,2), C(4,1), D(3,–1).

4. В повторном интеграле поменять порядок интегрирования:

89

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения