2259

4. Криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля

Теорема 4.7. Векторное поле

f(x,y,z) P(x, y,z)i Q(x,y,z)j R(x,y,z)k

(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))T

является потенциальным в области R3 тогда и только тогда, когда выполняется одно из двух условий:

1) криволинейный интеграл второго рода по любому замкнутому контуру L, полностью лежащему в , равен

нулю ( (f,dl) 0 для L ), или, чтотоже самое, цир-

L

куляция поля по любому замкнутому пути равна нулю;

2) если A1, A2 — любые две точки из и L1, L2

— две произвольные кривые, их соединяющие, то

(f,dl) (f,dl) , то есть криволинейный интеграл вто-

L1 L2

рого рода не зависит от пути интегрирования.

Если поле потенциально и U(x,y,z) — его потенциал, то

(f,dl) U(A2) U(A1) .

L

Доказательство. Покажем вначале, что условия 1 и 2 эквивалентны. Пусть выполнено условие 1, A1, A2 — две произвольные точки из и L1, L2 — две кривые, соединяющие A1 и A2. Рассмотрим замкнутый контур L L1 L2 . Тогда

0 (f,dl) (f,dl) (f,dl) (f,dl) (f,dl) ,

откуда и следует требуемое. Пусть теперь выполнено условие 2, L — произвольный замкнутыйконтур, лежащий в и A1, A2 — две произвольные точки, лежащиена контуре L. Точками A1, A2 контур L разбивается на два контура L1, L2 так, что L L1 L2 . Тогда, аналогично предыдущему, имеем

0 (f,dl) (f,dl) (f,dl) (f,dl) (f,dl).

Перейдём к доказательству теоремы.

Необходимость. Пусть полепотенциально, то естьсуществует скалярная функция U такая, что gradU (U )T (P,Q,R)T ,

131

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

A1, A2 — произвольные точки из и L — произвольный путь, соединяющий A1, A2. Пусть кривая L задана параметрически так, что значению параметра t1 соответствует точка A1, а значению параметра t2 соответствует точка A2. Так как

ной функции U(x(t), y(t), z(t)) . Поэтому последний интеграл равен

Мы получили, что интеграл зависит от конечных точек и не зависит от пути, соединяющего эти точки. Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, A(x,y,z) — произвольная точка из , A0 — фиксированная точка из . Покажем, что функция

P(x,y,z)i Q(x,y,z)j R(x,y,z)k . Для этого достаточно показать, что

Возьмём точку A1(x x,y,z) . Тогда

A1

U(x x,y,z) f(x,y,z),dl .

A0

В силу независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования последний интеграл равен

132

4. Криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля

— некоторая точка отрезка [x,x x] . Заметим, что эту точку можно записать в виде x1 x x , где 0 1 — некоторое число. Поэтому

U(x x,y,z) U(x,y,z) P(x1,y,z).

x

Переходя в последнем соотношении к пределу при x 0,

U

получаем, что x P(x,y,z). Аналогичноустанавливаетсяспра-

ведливость оставшихся соотношений

U Q(x,y,z), U R(x,y,z).

y z

Теорема доказана.

Доказанная теорема даёт возможность восстановить потенциал, если известно, что поле потенциально, но она не даёт практических рецептов выяснения потенциальности поля. Попытаемся получить характеристики, позволяющие установить потенциальность поля.

Введём вектор

который назовём ротором (вихрем) вектор-функции f(x,y,z) .

Определение. Поленазываетсябезвихревым, если rotf 0.

Между величиной rotf и потенциальностью поля f(x,y,z)

существует связь, выражаемая следующейтеоремой.

133

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

Теорема 4.8. Если поле

f(x,y,z) (P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z))T

потенциально и существует непрерывная производная f (x,y,z) , то оно безвихревое (всякое потенциальное дифференцируемое поле является безвихревым), то есть rotf 0 .

Доказательство. Если поле потенциально, то существует

Теорема доказана.

Обратное утверждение верно лишь при дополнительных ограничениях на область, в которой задано векторное поле. Для уточнения формулировок введём некоторые понятия.

Определение. Множество называется связным, если для любых двух точек из этого множества существует непрерывная кривая, соединяющая эти точки и целиком лежащая в данном множестве.

Определение. Точку множества назовём внутренней точкой, если существует окрестность этой точки, целиком лежащая в данном множестве; внешней точкой, если существует окрестность этой точки, целиком лежащая вне данного множества; граничной, если во всякой окрестности этой точки есть как точки данного множества, так и точки, ему не принадлежащие. Совокупность всехграничных точек данного множества назовём его границей.

Определение. Множество назовём односвязным, если его граница есть связное множество.

134

4. Криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля

Теорема 4.9. Если область являетсяодносвязной и век-

торное поле безвихревое ( rotf 0 ), то оно потенциально.

Доказательство этого результата опустим. Желающие могут познакомиться с ним в [8].

Рассмотрим более подробно плоский случай. Пусть векторное поле задано на плоскости, то есть имеет вид

P(x,y)

f(x,y) P(x,y)i Q(x,y)j .Q(x,y)

Тогда

Таким образом, для плоского поля условие rotf 0 экви-

валентно условию Q P . Тогда сформулированные выше

x y

результаты о потенциальности поля приобретают следующий вид.

Теорема 4.10. Если плоское поле потенциально, то

плоское поле f потенциально.

Теорема 4.12. Если область односвязная, то любой кри-

волинейныйинтеграл Pdx Qdy попроизвольномукон-

L

туру L не зависит от пути интегрирования тогда и толь-

ко тогда, когда Q P .

x y

135

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

Теорема 4.13. Если область односвязная, то поле потен-

циально тогда и только тогда, когда Q P .

x y

П р и м е р 1. Доказать, что поле

2xy

f(x, y) 2xyi x2jx2

потенциально, и восстановить его потенциал.

потенциально во всей плоскости. Следовательно, криволинейный ин-

зависит от пути интегрирования. В качестве начальной точки интегрирования A0 выберем начало координат (0,0). Конечную точку возьмём произвольную с координатами (x,y). Наиболее простыми путями интегрирования являются две возможные ломаные, состоящие из отрезков прямых, параллельных координатным осям. Поэтому для пути, изображённого на рисунке (с учётом того, что (x0,y0) (0,0) ),

x y

(2x 0) dx x2dy x2y.

Таким образом, U(x, y) x2y .

П р и м е р 2. Доказать, что поле

f(x, y,z) y2z, 2xyz, xy2 3z2 T

y2zi 2xyzj (xy2 3z2)k (P,Q, R)T

потенциально, и восстановить его потенциал.

136

4. Криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля

то rotf 0, и поле потенциально во всём пространстве. Следовательно,

единяющему две точки, не зависит от пути интегрирования. В качестве начальной точки интегрирования A0 выберем начало координат (0,0,0). Конечную точку возьмём произвольную с координатами (x,y,z). Наиболее простыми путями интегрирования являются

возможные ломаные, состоящие из отрезков прямых, параллельных координатным осям. Поэтому для пути, изображённого на рисунке (с

учётом того, что (x0,y0,z0) (0,0,0)),

Введём ещё одну характеристику векторного поля, называемуюдивергенцией, илифункциейисточника, по формуле

Назовём поле соленоидальным или трубчатым, если дивергенция равна нулю в каждой его точке.

Сформулируемнесколькорезультатов, связывающихрассмотренные выше понятия.

Теорема 4.14 (Стокса). Пусть L — замкнутый кусочногладкий контур в R3, S — любая кусочно-гладкая поверхность, натянутая на L. Согласуемориентации L и S так, чтобы если смотреть из конца вектора нормали к S, определяющего сторону, то обход L совершается против часовой стрелки. Тогда если f — дифференцируемаяфункция, то циркуляция вектора f по контуру L равна потоку вектора rotf черезповерхность S, натянутуюнаэтотконтур, то есть

137

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

(f,dl) P(x,y,z)dx Q(x,y,z)dy R(x,y,z)dz

L L

(rotf,dS).

S

Эта формула называется формулой Стокса.

Формула Стокса позволяет дать другую характеристику векторного поля rotf . Действительно, по теореме 4.6 о среднем

для поверхностного интеграла второго рода (rotf,dS)

S

(rotf(x0,y0,z0),n0) (S) , где n0 — единичный вектор нормали

кповерхности S в некоторой её средней точке (x0,y0,z0) , (S)

— площадь поверхности S. Тогда

Другимисловами, если черезточку M0 провестиповерхность и на этой поверхности взять контур, охватывающий точку M0, то проекция (rotf,n0) вектора rotf на направление нормали n0 к поверхности S в точке M0 равна пределу средней плот-

ности циркуляции (1S) (f,dl) вектора f по контуру L при

L

стягивании контура в точку M0.

В случае плоской области, если положить dxdy dxdy k , теорема Стокса формулируется следующим образом.

Теорема 4.15 (Грина). Пусть D — плоская область с ку- сочно-гладкой границей D и D ориентирована так, что обход по ней в положительном направлении совершается против часовой стрелки. Тогда если f(x,y) — дифференцируемая функция, то

(f,dl) Pdx Qdy

D D

138

4. Криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля

Теорема 4.16. Пусть G — область в R3 и G — кусочногладкая граница G, ориентированная в сторону внешней нормали. Тогда если f(x,y,z) — дифференцируемая функция, то поток вектора через границу области G равен интегралу по области G от divf , то есть

(f,dS) divf(x,y,z) dx dydz .

G G

Эта формула называется формулой Гаусса-Остроградского. Формула Гаусса-Остроградского позволяет дать физическую интерпретацию дивергенции и соленоидальности векторного

поля.

Пусть G — шар с центром в точке (x0,y0,z0) радиуса . Применяя к правой части формулы Гаусса-Остроградского тео-

то есть divf в точке M0 равна пределу отношения потока вектора f через границу замкнутойобласти G, охватывающейточку, к объёму области G при стягивании области в точку M0.

Таким образом, если divf(x0,y0,z0) 0 , то говорят, что в точке — источник, если divf(x0,y0,z0) 0 , то говорят, что в точке — сток, если divf(x0,y0,z0) 0 , то говорят, чтовточке

нет ни источников, ни стоков.

Рассмотрим более подробно соленоидальные поля. Пусть L — замкнутый контур. Через каждую его точку проведём линию, касательная к которой параллельна вектору f(x,y,z). Такие

линии называются векторными или силовыми линиями поля. Поверхность, образованную векторными линиями поля f, проходящими через точки замкнутого контура L, назовём векторной трубкой. В силу построения векторной трубки вектор нормали n к ней перпендикулярен вектору f. Тогда (f(x,y,z),n)dS (f,dS) 0 в любой точке векторной трубки.

139

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

Поэтому для любого куска S поверхности векторной трубки

(f,dS) 0 , то есть поток вектора через поверхность векторной

S

трубки равен нулю (через неё, как и через боковуюповерхность реальной трубы, ничего ни вытекает, ни втекает). Пусть S1 и S2 — два сечения векторной трубки, векторы нормалей к которым направлены в одну сторону, и S — полная поверхность трубки, состоящая из S1 , S2 S2 и поверхности трубки между этими сечениями. Тогда по теореме Гаусса-Остроградского

(f,dS) divf(x,y,z) dx dydz , и так как для соленоидально-

S G

го поля divf(x,y,z) 0 для всех точеобласти G, то (f,dS) 0 .

вую поверхность трубки равен нулю, то из последнего соотно-

шения следует, что (f,dS) (f,dS) 0 , а следовательно, и

S1 S2

дальных полей потоки вектора через любые сечения равны между собой.

П р и м е р. Найти поток векторного поля f(x, y, z) xzi xyjyzk (xz, xy, yz)T через внешнюю сторону поверхности, лежащей в первом октанте и ограниченной цилиндром x2 y2 R2 и плоскостями x 0, y 0, z 0, z H . По теореме 4.15 Гаусса-Остроградс- кого поток векторного поля через замкнутую поверхность равен

(f,dS) xzdy dz xy dx dz yzdx dy

G G

div f(x,y,z) dx dy dz (x y z)dx dydz.

G G

Переходя к цилиндрическим координатам, окончательно получаем

140