2259
.pdf6. Контрольные вопросы
Вариант 7.9
1. Найти общее решение дифференциального уравнения:
а) xy x2 xy y 0;
б) y y y2 xy ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) y(y xy ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 y4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. Решить задачу Коши |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
1 |
|
|
1 |
|
|
||||
2yy 1 (y ) , |
y |
|
|
1, |
y |
|
|
2. |
|||
3 |
3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Для уравнения y 3y 2y f(x) :
а) найтиобщеерешениесоответствующего однородногоурав-
нения yоо;
б) найти частное решение неоднородного уравнения, если f(x) 8e4x; записать общее решение этого уравнения;
в) найти частное решение, удовлетворяющее начальным ус-
ловиям y(0) 1, y (0) 1, y (0) 1, y (0) 1;
г) записать частное решение с неопределёнными коэффициентами, если f(x) ex (sin2x 3x) x2.
4. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений
dx |
x 4y 3e |
2t |
, |
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|||||
dt |
|
|
|
|
|
||
dy |
2x y 6e |
t |
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|||
dt |
|
|
|
|
|
Вариант 7.10
1. Найти общее решение дифференциального уравнения:
а) x2y y(x y);
б) 2 x y2 dy ydx;
в) 2xy ey 2y .
221
АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения
2. Решить задачу Коши
2yy (y )2 0, y(1) 1, y (1) 1.
3. Для уравнения y y 2y f(x) :
а) найтиобщеерешениесоответствующего однородногоурав-
нения yоо;
б) найти частное решение неоднородного уравнения, если f(x) 4cosx; записать общее решение этого уравнения;
в) найти частное решение, удовлетворяющее начальным ус-
ловиям y(0) 1, y (0) 1, y (0) 0;
г) записать частное решение с неопределёнными коэффици-
ентами, если f(x) e x (sin x 3cosx) x2.
4. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений
dx |
x 3y 3, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
dt |
|
|||
dy |
x y 8t 11. |
|||
|
|
|||
dt |
|
222
Приложения
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
Числа вида z x iy назовём комплексными числами. Назовём x действительной, а y мнимой частями комплексного числа z x iy и будем обозначать их соответственно x Rez, y Imz. Два комплексных числа будем считать равными, если совпадают их действительные и мнимые части. На множестве комплексных чисел введём операции сложения и умножения по формулам:
z1 z2 (x1 iy1) (x2 iy2) (x1 x2) i(y1 y2) ,
z1z2 (x1 iy1)(x2 iy2) (x1x2 y1y2) i(x1y2 x2y1) .
Обратные операции имеют вид:
z1 z2 (x1 iy1) (x2 iy2) (x1 x2) i(y1 y2) ,
z1 x1 iy1 (x1 iy1)(x2 iy2) (x1x2 y1y2) i(x2y1 x1y2) . z2 x2 iy2 (x2 iy2)(x2 iy2)
Каждому комплексному числу z x iy сопоставим точку (x,y) плоскости R2. Этим устанавливается взаимно однозначное соответствие между комплексными числамии точкамиплоскости. Операция сложения комплексных чисел совпадает с операцией сложения радиус-векторов точек (x,y). Для операции умножения комплексных чисел не находится соответствующей операции над векторами.
Если действительные числа отождествить с комплексными числами вида x 0 i , то эти операции совпадают с обычными операцияминад действительнымичислами, и поэтому комплексные числа являются расширением множества действительных чисел. Из введённых выше операций над комплексными числами следует, что для комплексного числа i 0 i 1 получаем
i2 i i 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Модулем |
z |
комплексного числа z x iy |
|
назовём длину |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
радиус-вектора точки (x,y), то есть число |
|
z |
|
|
|
x2 y2 . Тогда |
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
||||
z x iy |
x2 y2 |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
x |
2 |
y |
2 |
|
|
|
|
x |
2 |
y |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
223
АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения
Числа |
|
x |
и |
|
y |
являются соответственно коси- |
|
|
|
x2 y2 |
|||
|
|
x2 y2 |
|
|
|
нусом и синусом угла между радиус-вектором точки (x,y) и осью OX. Поэтому можем записать, что z z (cos i sin ) . Эта форма записи числа z называется тригонометрической формой комплексного числа. Угол при этом называется аргументом числа z. Совершенно ясно, что числа, аргументы которых отличаются на 2 , совпадают. Среди всех значений аргумента числа z выбирают значение, называемое главным, и обозначают его arg z . Наиболее удобным является выбор глав-
ногозначенияаргументаизпромежутков [0,2 ) , [ , ), , 3 .
2 2
В пакете Mathcad главное значение аргумента выбирается из промежутка [ , ) . При выборе главного значения аргумента из промежутка [0,2 ) его находят по формулам
|
y |
|
|
|
|
если x 0,y 0, |
|
arctg |
|
, |
|
|
|
||
x |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
y |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
arg z arctg |
|
|
, |
если x 0, |
|||
x |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
y |
|
||
2 arctg |
|
|
, если x 0,y 0. |
||||
x |
|||||||
|
|
|
|
|
Формулы для нахождения главного значения аргумента при выборе его из других промежутков предлагается написать самостоятельно. Все значения аргумента обозначают Arg z . Отме-
тим, что Arg z arg z 2k . |
|
Полагая ei cos i sin , можем записать |
z z ei . |
Эта форма записи числа z называется показательной формой записи комплексного числа. Так как e i cos( ) isin( )cos isin , то, складывая и вычитая с ei , получаемформулы Эйлера:
cos |
ei e i |
, sin |
ei e i |
||||
|
|
|
|
. |
|||
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2i |
||
Далее, |
|
|
|
|
|
|
|
ei 1 ei 2 (cos |
i sin )(cos |
i sin ) |
|||||
|
1 |
|
1 |
|
2 |
2 |
|
cos( |
) i sin( |
) ei( 1 2 ) . |
|||||
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
224
Приложения
Поэтому
z1z2 z1 (cos 1 i sin 1) z2 (cos 2 i sin 2)
|
|
z |
|
|
|
z |
|
cos( |
|
) isin( |
|
) |
|
z |
|
|
|
z |
|
ei( 1 2 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
Таким образом, мы получили, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Аналогично при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.
Какследствие этих результатовполучаем формулыМуавра:
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
z |
|
n |
e |
in |
|
|
z |
|
n |
(cosn i sinn ) ; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
2k |
|
|
|
|
|
2k |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
z n |
|
z |
|
i sin |
k 0,1,...,n 1. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
cos |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
П р и м е р 1. Найдём 3 |
|
1 |
|
1, arg1 0, то, используя |
|||||||||||||||||||||||||
1. Так как |
|
вышеприведённую формулу, имеем 3 |
|
cos |
2k |
i sin |
2k |
, |
|
|
1 |
k 0,1,2. |
|||||||
|
|
|||||||
3 |
3 |
|
|
Придавая k последовательно значения 0,1,2, получаем три значения корня кубического из единицы:
|
|
|
|
3 |
|
1 1, 3 |
|
2 |
|
1 |
|
3 |
i, 3 |
|
|
3 1 |
|
|
3 |
i. |
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Так как |
|
1 i |
|
|
|
|
|
arg(1 i) |
|
||||||||||
|
П р и м е р 2. Найдём |
|
|
|
1 i |
|
|
|
2, |
, то |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2k |
|
2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 i |
cos |
4 |
|
|
|
i sin |
4 |
|
, |
|
k 0,1. |
|
Придавая k последователь- |
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
но значения 0,1, получаем два значения корня квадратного из 1 i :
|
|
cos |
i sin |
|
|
2 |
cos |
|
|
i sin |
|
. |
1 i |
1 |
, |
1 i |
|||||||||
|
|
8 |
8 |
|
|
|
|
8 |
|
|
8 |
|
225
АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
И НЕКОТОРЫЕ ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
Достаточно интересной для практических применений является теорема Стефана Банаха о сжимающем операторе, называемая также принципом сжатых отображений и справедливая в полных метрических пространствах [12]. Прежде чем приступать к её изложению, дадим необходимые определения.
Определение 1. Множество M элементов произвольной природы называется метрическим пространством, если каждой паре точек x,y из M поставлено в соответствие положительное число (x,y), удовлетворяющееусловиям, называемым аксиомами метрического пространства:
1)(x,y) 0 , причем (x,y) 0 x y ;
2)(x,y) (y,x) для всех x,y из M;
3)(x,y) (x,z) (z,y) для всех x,y,z из M.
Примерами метрических пространств являются следующие. 1. Множество действительных чисел R с расстоянием(x,y) x y . Справедливость аксиом 1 и 2 очевидна из свойств модуля. Из свойства x y x z z y следует со-
отношение
x y |
|
x z y z |
|
x z |
|
z y |
, |
доказывающее справедливость аксиомы 3.
2. Множество Rn упорядоченных наборов из n вещественных чисел (векторов размерности n) x ( 1, 2,..., n) с расстоянием
|
n |
(x,y) |
i i 2 . |
|
i 1 |
Для удобства, там где может возникнуть неоднозначность, будем обозначать это пространство R2n . Справедливость аксиомы 1 следует из того, что арифметический корень всегда неотрицателен и сумма квадратов действительных чисел равна нулютогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю. Справедливость аксиомы 2 следует из равенств
226
Приложения
|
n |
2 |
|
n |
|
2 |
|
(x,y) |
|
|
|
(y,x). |
|||
|
i |
i |
|
|
i |
i |
|
|
i 1 |
|
|
i 1 |
|
|
|
Справедливость аксиомы 3 следует из неравенства КошиБуняковского[1]. Соответствующее доказательствоможнонайти, например, в [1].
3. То же, что и в предыдущем примере, множество Rn векторов x ( 1, 2,..., n) размерности n с расстоянием
n
(x,y) i i .
i 1
Для удобства, там где может возникнуть неоднозначность, будем обозначать это пространство R1n .
Справедливость аксиомы 1 следует из того, что модуль всегда неотрицателен и сумма модулей равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю. Справедливость аксиомы 2 следует из равенств
n |
|
|
n |
|
|
||||
(x,y) |
|
i |
i |
|
|
|
i i |
|
(y,x) . |
|
|
|
|
||||||
i 1 |
|
|
i 1 |
|
|
Справедливость аксиомы 3 устанавливается следующей цепочкой вычислений:
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
(x,y) |
|
i i |
|
|
|
i i i i |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||||||||||||
|
|
i i |
|
|
|
i |
i |
|
|
|
i i |
|
|
|
|
|
i i |
|
(x,z) (z,y). |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
||||||||||||
4. То же, что и в предыдущих двух примерах, множество Rn |
||||||||||||||||||||||||||||||
векторов x ( 1, 2,..., n) размерности n с расстоянием |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x,y) max |
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 i n |
|
i |
|
|
i |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В случае возникновения неоднозначности будем обозначать это пространство Rn .
Справедливость аксиомы 1 следует из того, что модуль всегда неотрицателен и максимум конечного числа модулей равен нулю тогда и только тогда, когда каждый из модулей равеннулю. Справедливостьаксиомы2 следуетиз цепочкиравенств
227
АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения
(x,y) max |
|
|
|
|
|
max |
|
|
|
|
(y,x) . |
1 i n |
|
|
i |
i |
|
1 i n |
|
i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Далее, так как для всякого i 1,2,...,n |
|
выполнено неравен- |
|||||||||
ство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i i |
|
i i |
|
i i |
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
то для всякого i 1,2,...,n имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
i i |
|
max |
|
i i |
|
|
max |
|
i |
|
i |
|
. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 i n |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 i n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Поэтому выполнено неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
max |
|
i |
i |
|
max |
|
i i |
|
max |
|
i |
i |
|
, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1 i n |
|
|
|
|
|
|
|
1 i n |
|
|
|
|
|
1 i n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
означающее справедливость аксиомы 3. |
|
|
|
|
|
|
|
Понятие расстояния позволяет ввести определение окрестности конечной точки в метрическом пространстве.
Определение 2. Окрестностьюточки x0 M назовем множество точек U (x0) x M : (x0,x) .
Тогда, по аналогии с определением предела последовательности в Rn [3], можем ввести следующее ниже определение предела последовательности точек метрического пространства.
Определение 3. Точка A называется пределом последовательности {an }n 1 при n, стремящемся к бесконечности
( A lim an ), если длявсякого 0 существует N, завися-
n
щее от выбора , такое, что для всех n N выполнено неравенство (A,an ) .
Последовательность, имеющуюпредел A, назовем сходящейся. Будем при этом говорить, что последовательность {an }n 1 сходится к точке A. Если же предела не существует, то последовательность назовем расходящейся. Так как бесконечно удаленная точка не является элементом из R, то числовая последовательность, имеющая пределом , является расходящейся.
Определение 4. Последовательностьметрическогопространства X называется фундаментальной, если для всякого0 существует номер N такой, что для всех n,m N выполнено неравенство (am,an ) .
Теорема. Всякая сходящаяся последовательность фундаментальна.
228
Приложения
Доказательство. Так как A lim an , то для всякого 0
n
существует N такое, что для всех n,m N выполнены неравенства (A,an ) 2 , (A,am ) 2 , поэтому
(am,an) (A,an ) (A,am ) 2 2 .
Теорема доказана.
Обратное утверждение, вообще говоря, неверно, то есть существуют метрические пространства, в которых не каждая фундаментальнаяпоследовательность имеет предел. Например вомножестве рациональных чисел Q с тем же, что и в R, расстоянием(x,y) x y , любая последовательностьрациональных чисел, сходящаяся к иррациональному числу, предела в Q не имеет.
Определение 5. Mетрическое пространство X называется полным, если в нем каждая фундаментальная последовательность сходится.
Приведённые выше примеры 1,2,3,4 метрических пространств являются полными метрическими пространствами.
Если в линейном пространстве C[a,b] непрерывных на отрезке [a,b] функций (см. п.5.2.3) ввести расстояние по формуле
(x,y) max x(t) y(t) ,
t [a,b]
то это пространство становится полным метрическим пространством. Заметим, что пространство, полное в одной метрике, может не быть полным в другой метрике. Если в C[a,b] ввести
расстояние по формуле (x,y) x(t) y(t) dt , то в этой метри-
ке пространство не является полным. Соответствующий пример последовательности непрерывных функций, сходящейся в этой метрике к разрывной функции, можно найти в книгах по функциональному анализу, например в [12].
Теорема (о сжимающем операторе). Пусть на полном метрическом пространстве X задан оператор A : X X (то есть переводящий X в себя) такой, что для x,y X выполняется неравенство
(Ax, Ay) (x,y) , |
(1) |
229
АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения
где 0 1 и не зависит от x и y. Тогда существует единственная точка x0 такая, что
Ax0 x0 .
Оператор A, обладающий свойством (1), называется сжимающим, а точка x0 — неподвижной точкой оператора A.
Доказательство. Пусть x0 X — произвольная точка. За-
фиксируем её на процесс дальнейших рассуждений и положим
x1 Ax,x2 Ax1,...,xn Axn 1,....
Покажем, что последовательность {x } |
— фундаментальна. |
|||||||||||
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
(x1,x2) (Ax, Ax1) (x,x1) (x, Ax) , |
|
|||||||||
(x ,x ) (Ax , Ax ) (x ,x ) 2 (x,x ) 2 (x, Ax) , |
|
|||||||||||
2 |
3 |
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
................................................................... |
|
||||||||||
|
|
|
(x ,x |
) n (x, Ax) . |
|
|
|
|||||
|
|
|
n |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(xn,xn p) (xn,xn 1) (xn 1,xn 2) ... (xn p 1,xn p) |
|
|||||||||||
|
n (1 ... p 1) (x, Ax) |
n n p |
(x, Ax) . |
(2) |
||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
Так как 0 1 , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||
|
|
|
(x ,x |
|
) |
|
(x, Ax) , |
(3) |
||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
n |
n p |
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда и следует утверждение о фундаментальности последовательности {xn }n 1 . Так как X — полное пространство, то существует элемент x0 X такой, что
x0 lim xn .
n
Докажем, что Ax0 x0 . Для этого достаточно показать, что
(x0, Ax0) 0 . Действительно,
(x0, Ax0) (x0,xn ) (xn, Ax0) (x0,xn ) (Ax0, Axn 1)
(x0,xn ) (x0,xn 1) .
230