2259

3. Кратные интегралы

умноженному на объём u v w . В общем случае требуется замена меры n-мерной элементарной области на меру n-мерного параллелепипеда, которая равна модулю определителя матрицы Якоби (модулюопределителя производной матрицы), умноженному на объём элементарной области в новых переменных. Теорема доказана.

Заметим, что для ортогональной системы координат на плоскости dS huhv du dv , где hu и hv — коэффициенты Ламе.

Аналогично в R3 dV huhvhw dudvdw .

Для полярной системы координат на плоскости матрица Якоби равна

Определитель этой матрицы r равен , поэтому модуль Якобиана r тоже равен , и формула перехода к полярным координатам в двойном интеграле приобретает вид

П р и м е р 2. Пусть область D — внутренность треугольника с вершинами A(0,0), B(4,4,), C(4,2).

В интеграле f(x, y) dx dy перейти к полярным ко-

D

ординатам и расставить пределы интегрирования в нём.

Уравнения прямых AB, AC и BC — y = x, y = 0,5x и x = 4 соответственно. Поэтому угол между радиус-вектором точки,

101

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

принадлежащей треугольнику ABC, и осью OX меняется в пределах

arctg0,5 arctg1 /4 . Уравнение прямой x = 4 в полярных коор-

П р и м е р 3. Пусть область D — внутренность треугольника с вер-

шинами A(0,0), B(2,4), C(4,2). В интеграле f(x, y)dxdy перейти к

D

полярным координатам и расставить пределы интегрирования в нём.

Уравнения прямых AC, AB и BC — y 2x, y 0,5x и x + y 6 соответственно. Поэтому угол между ради- ус-вектором точки, принадлежащей треугольнику ABC,

и осью OX меняется в пределах arctg 0,5 < < arctg 2. Уравнение прямой x + y 6 в полярных координатах переписывается в виде

П р и м е р 4. Пусть область D — внутренность треугольника с вершинами A(1,0), B(0,1), C(1,1).

прямой y 1 переписывается в виде sin 1 или, что то же самое,

102

3. Кратные интегралы

sin1 . С учётом того, что при изменении угла в пределах

0 4 и 4 2 длина радиус-вектора точки, принадлежащей треугольнику ABC, меняется в разных пределах, имеем

полярным координатам, получаем для этой окружности уравнение

Длясферической системыкоординатматрица Якоби r ( , , )

равна

103

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

ческим координатам в тройном интеграле приобретает вид

f(x,y,z) dx dydz

D

f( cos sin , sin sin , cos ) 2 sin d d d .

D1

Для цилиндрической системы координат матрица Якоби r ( , ,z) равна

перейдя к сферической системе координат.

104

3. Кратные интегралы

Область интегрирования есть верхняя половина шара с центром в

линдрической системе координат.

Область интегрирования есть половина кругового цилиндра ради-

Задание 3.3

В двойном интеграле f(x,y)dxdy перейти к полярным

D

координатам и расставить пределы интегрирования, если область D задана неравенствами:

В тройном интеграле f(x,y,z) dx dydz перейти к сфери-

D

ческим или цилиндрическим координатам и расставить пределы интегрирования, если область D задана неравенствами:

105

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

9)x 0, y 0, z 0, 4 x2 y2 z2 9 ;

10)x 0, y 0, z 0, z 4 x2 y2 ;

11)x2 y2 4, x2 y2 8z, z 6 ;

12)x2 y2 4, x2 y2 8z, z 0 .

Ответы:

4

0

4

3

4 sin

00

4 sin

106

d d f( cos sin , sin sin , cos ) 2 sin d ;

2 0 0

10) цилиндрические координаты,

11) цилиндрические координаты,

2 2 6

d d f( cos , sin ,z) dz ;

12) цилиндрические координаты,

d d f( cos , sin ,z) dz .

0 0 0

3.4. Приложения кратных интегралов

3.4.1. Вычисление площадей плоских фигур

Из определения двойного интеграла следует, что площадь

S(D) плоской области D выражается формулой S(D) dx dy .

D

Если область D есть криволинейная трапеция, ограниченная

линиями x a, y b, y y1(x), y y2(x) , и для x [a,b] y1(x) y2(x) , то

b y2 (x) b

S(D) dx dy dx dy (y2 (x) y1(x))dx

D a y1 (x) a

— формула площади области D, полученная нами в п. 2.7.1.

107

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

П р и м е р. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y x,

3.4.2. Вычисление объёмов тел

Из определения тройного интеграла следует, что объём V(G) пространственной области G выражается формулой

V(G) dx dydz .

G

Если G — цилиндр с образующими, параллельными оси OZ, направляющей, лежащей в плоскости XOY и являющейся границей области D, ограниченный поверхностями z z1(x,y), z z2(x,y) , такими, что z1(x,y) z2(x,y) для (x,y) D , то

ется цилиндром, проекция которого на плоскость XOY есть прямоугольник с границей x 0, y 0, x 4, y 3, одновременно являющейся направляющей цилиндра. Сверху и снизу цилиндр ограничен поверхностями z 0, z x2 y2 1 . Поэтому

108

3.Кратные интегралы

3.4.3.Вычисление площади поверхности

Рассмотрим кусок поверхности, ограниченный линиями

r r(u,v0), r r(u0,v), r r(u,v0 v), r r(u0 u,v) . Из гео-

метрического смысла производной [3] следует, что вектор ru (u0,v0) является касательным к кривой r(u,v0) в точке (u0,v0) , а вектор rv (u0,v0) будет касательным вектором кривой r(u0,v) в той же точке. Далее,

r(u0 u,v0) r(u0,v0) ru (u%0,v0) u ru (u0,v0) u 1( u), r(u0,v0 v) r(u0,v0) rv (u0,v%0) v rv (u0,v0) v 2( v),

где 1( u) и 2( v) — бесконечно малые более высокого порядка малости, чем u и v . Можно показать, что площади криволинейного четырёхугольника Dkl и параллелограмма, лежащего в касательной плоскости и построенного на векторах

отличаются на бесконечно малую более высокого порядка малости, чем ( u)2 ( v)2 . Поэтому заменим четырёхугольник Dkl указанным параллелограммом. Площадь S этого параллелограмма равна [ru (u,v),rv (u,v)] u v . Проводя построения, аналогичные построениям в определении двойного интеграла, получаем, что площадь поверхности равна

S [ru (u,v),rv (u,v)] du dv .

D

109

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

Пусть поверхность задана явно уравнением z f(x,y), (x,y) D . Всякую такую поверхность можно задать парамет-

рически (взяв в качестве параметров x, y) или в векторной фор-

ме уравнением r r(x,y) xi yj f(x,y)k . Тогда

Поэтому [rx (x,y),ry (x,y)] 1 (fx (x,y))2 (fy (x,y))2 , и пло-

щадь поверхности может быть найдена по формуле

S 1 (fx (x,y))2 (fy (x,y))2 dxdy .

D

0 или, что то же самое, в векторной форме

r (R cos sin )i (R sin sin )j R cos k .

Тогда

110