Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2259

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.02.2021

Размер:

3.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 247 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

2. Определенный интервал

расходятся, а интеграл

1 x

1
			dx
	dx			, как будет
x 1
		x (x 1)
		1

показанопозднее, сходится.

Для других типов несобственных интегралов первого рода свойства аналогичны.

Сходимость не всех несобственных интегралов первого рода просто выяснить по определению. Поэтому часто используют так называемые признаки сравнения в непредельной и предельной формах.

Теорема 2.9. Пусть для всякого x A (A a) выполнено


неравенство	f(x)	g(x)	. Тогда если интеграл	g(x)dx
неравенство	f(x)	g(x)	. Тогда если интеграл

				a

абсолютно сходится, то интеграл f(x) dx абсолютно схо-

дится, а еслиинтеграл f(x) dx абсолютно расходится, то

интеграл g(x)dx абсолютно расходится.

Доказательство. Действительно, в условиях теоремы

A A

для всех A a имеем f(x) dx g(x) dx . Тогда если интег-

рал	g(x)	dx сходится, то		f(x)	dx есть монотонно возрастаю-

a			a

щая ограниченная сверху функция от A, и поэтому имеет

предел при A . Если интеграл f(x) dx расходится, то

A A

lim	f(x)	dx , и поэтому	lim	g(x)	dx .
A			A
A			A
a			a

6 1

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

Теорема 2.10. Если f(x) и g(x) — бесконечно малые при

x одного порядкамалости, тоесть lim f(x) K 0, ,

x g(x)

то интегралы f(x) dx и g(x)dx либо оба абсолютно

сходятся, либо оба абсолютно расходятся.

Доказательство. Так как lim

f(x)

K , то

lim

f(x)

x g(x)

g(x)

Возьмем

. По определению предела существу-

ет M 0

такое,

что для всех x M выполнено неравен-

f(x)

ство

, а следовательно,

и неравенство

g(x)

f(x)

g(x)

. Из последнего неравенства

и теоремы 2.9 получаем утверждение теоремы.

Замечание. После изучения теоремы 2.10 может сложиться впечатление, что для сходимости несобственного интеграла первого рода, в том числе и абсолютной, необходимо, чтобы подынтегральная функция была бесконечно малой при x . То, что это не так, показывает следующий пример [15].

Возьмем функцию, график которой состоит из отрезков пря-

мых, соединяющих точки	n	1	,0	,	n,1	,	n	1	,0	,

		n						n

		2						2

n 1,2,... . Ее аналитическое выражение имеет вид

		n	n
		2 x	1 n2 ,

	n		n
	n		n
f x	2	x 1	n2 ,


		0,

	1
x n		, n	,
x n	n	, n	,
	2
		1
x n, n			,
x n, n		n	,
		2
	1
x n		, n
x n	n	, n
	2

2n .

Площадь, заключенная междуграфикомэтойфункции иосью OX, равна сумме площадей треугольников с вершинами в точ-

6 2

2. Определенный интервал

ках n	1	,0 ,	n,1 ,	n	1	,0 ,	n 1,2,... . Так как
	n				n
	2				2

площадь каждого такого треугольника равна 12n , n 1,2,... ,

0,25

то f x dx

. Заметим, что условие ограничен-

1 0,5

ности функции f(x)

несущественно, так как вершины

треугольников можно взять, например, в точках

,0 ,

n,n , n

,0 , n 1,2,....

П р и м е р 8. Интегралы

sin x

dx и

cos x

dx сходятся абсолют-

sin x

cos x

но при любом > 0. Действительно,

для всех

x > 0, а интеграл

— сходящийся, а так как

0 если x > 0, то и

абсолютно сходящийся при любом > 1.

Напомним, что если f(x) 0,

то понятия сходимости и абсолютной сходимости интеграла

f(x)dx

совпадают.

Покажем теперь, что при любом 0 < 1

интеграл

sin x

dx схо-

дится, но не абсолютно. Действительно,

sin x

dx lim

sin x

dx . По-

ложим U

dV sin xdx . Тогда dU

, dV sin xdx

cosx C и можем положить V cos x. Далее получаем

6 3

АА. . Ельцов.

Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

A sin x

cos x

lim

dx lim

x 1

cos x

lim

dx .

Предел выражения справа существует, так как оба слагаемых име-

				cos x	A	1
				cos x	A	1
ют конечный предел. Действительно lim							, а так как ин-
ют конечный предел. Действительно lim				x			, а так как ин-
				x
			A

теграл	cos x	dx	сходится абсолютно при 0		(показано выше), то
теграл	1	dx	сходится абсолютно при 0		(показано выше), то

существует и конечен предел второго слагаемого. Поэтому существу-

sin x

ет предел выражения слева и, следовательно, интеграл dx схо-

дящийся. Аналогично показывается, что при любом 0 < 1 интеграл


cos x	dx	сходится. Покажем теперь, что при любом 0 < 1 интег-
x

sin x

рал dx не являетсяабсолютно сходящимся. Действительно, для

всех вещественных чисел выполнено неравенство sin2 x sin x . Сле-

довательно, можем записать

sin x

dx lim

sin x

dx lim

sin

dx lim

cos2x

lim

cos2x

dx .

Так как при 0 < 1

интеграл

расходящийся и

0 , то

lim

. Далее, интеграл

cos2x

dx сходящийся,

так как

cos2x

cosu

можем записать

dx 2 2

d(2x) 2 2

du , а пос-

(2x)

ледний интеграл сходящийся. Следовательно, предел второго слагае-

6 4

2. Определенный интервал

мого конечен. Тогда

sin x

dx и поэтому

sin x

dx расхо-

lim

дится.

Заметим, что при 1

эти примеры рассмотрены в [5] и [8].

2 sin x

П р и м е р 9. Выяснить сходимость интеграла

dx.

2 sin x

Так как

для всех x 1, а интеграл

dx сходит-

ся, то и исходный интеграл тоже сходится.

П р и м е р 10. Выяснить сходимость интеграла

dx.

x(x 1)

Находя порядок малости подынтегральной функции относительно функции 1x , получаем

	x	0,		если 2;

lim			1,	если 2;

x x(x 1)			, если 2.

Таким образом, порядок малости подынтегральной функции отно-

сительно 1 x равен 2, и так как сходится, то исходный интеграл

1 x2

сходится.

П р и м е р 11. Выяснить сходимость интеграла dx.

1 (x 1) x 2

Находя порядок малости подынтегральной функции относительно функции 1x , получаем

	x		0, если 1,5;

lim				1, если 1,5;

x (x 1)		x 2
			, если 1,5.

Таким образом, порядок малости подынтегральной функции отно-

сительно 1 x равен 1,5, и так как 1 x1,5 сходится, то исходный интег-

рал сходится.

6 5

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

П р и м е р 12. Выяснить сходимость интеграла 1 (x 2)3 x 5 dx.

Находя порядок малости подынтегральной функции относительно

функции 1 x , получаем
				0, если	4	;
	x				3
	x				4
lim			1, если			;
lim			1, если			;
x (x 2)		3 x 5			3
					4	.
			, если		3	.
					3

Таким образом, порядок малости подынтегральной функции относительно 1x равен 4/3, и, следовательно, интеграл сходится.

		x 2
П р и м е р 13. Выяснить сходимость интеграла			dx.
	x2 4
1

Находя порядок малости подынтегральной функции относитель-

но функции 1 x , получаем
	x			0, если 1,5;
lim			x 2		1, если	1,5;

		2	4
x x					, если	1,5.

Таким образом, порядок малости подынтегральной функции относительно 1x равен 1,5, и, следовательно, интеграл сходится.

		x3 2
П р и м е р 14. Выяснить сходимость интеграла			dx.
	x2 5
1

Находя порядок малости подынтегральной функции относительно

функции 1 x, получаем
	x				0, если 0,5;
			x3 2

lim						1, если 0,5;
	x	2		5
x

, если 0,5.

Таким образом, порядок малости подынтегральной функции относительно 1x равен 0,5, и, следовательно, интеграл расходится.

П р и м е р 15. Интеграл e x2dx сходится, так как имеет место

		1
оценка e x2 xe x2
	для всех x 1 , а интеграл xe x2 dx , как было по-
казано ранее, сходящийся.		1

6 6

2. Определенный интервал

	dx
П р и м е р 16. Интеграл	dx	расходится, так как имеет место

	ln x
e

оценка

для всех x e , а интеграл

, как было

ln x

x ln x

ln x

показано ранее, расходится.

Задание 2.5. Используя признак сравнения, выяснить сходимость несобственных интегралов (в ответе указаны сходимость и порядок малости подынтегральной функции относительно 1/x):

					x 3
																	x 1
1)										dx ;	2)						x 1						dx ;
				2									2
		(x		2	1) x 2								2
	1	(x			1) x 2							1	x 4 x 1
	1											1

				x	2										x	2
3)				x	2			dx ;			4)				x	2			dx ;

				3											4
	1		x		5							1		x			8

				x arctgx														x 2
5)				x arctgx						dx ;	6)							x 2						dx .
						2	3
		2 x				2	3		x 2				(7x 8)							3	x	2
	1	2 x							x 2			1	(7x 8)								x		1

Ответы: 1) сходится, 1,5; 2) сходится, 1,5; 3) расходится, 1; 4) сходится, 1,5; 5) сходится, 4/3; 6) сходится, 7/6.

2.6.2. Несобственные интегралы второго рода

Если f(x) не ограничена на (a,b), то особенность может быть в точках a, b или во внутренней точке этого отрезка. Мы рассмотрим случай с особенностью в точке b.

Определение. Пусть f(x) задана на полуинтервале [a,b) и

lim f(x) . Пусть далее для всякого			0 b a суще-
x b
	b		b
ствует интеграл		f(x) dx. Предел lim		f(x) dx называ-
		0
	a		a

6 7

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

етсянесобственныминтеграломвторого рода (интегралом

отнеограниченнойфункции) иобозначается f(x)dx. Если

b	a

lim f(x) dx существует и конечен, то несобственный

интегралвторогороданазываетсясходящимся, еслижеон несуществует илиравенбесконечности, то несобственный интеграл второгорода называется расходящимся.

Аналогично определяются несобственные интегралы второго родавслучаях, когдаподынтегральнаяфункциябесконечнобольшая на нижнем пределе, во внутренней точке отрезка [a,b], на верхнем и нижнем пределах одновременно. Для удобства изложения мы рассматриваем случай особенности на верхнем пределе. Для остальных вариантов предлагается проделать это самостоятельно.

1	dx			1	dx
П р и м е р 1. Рассмотрим	dx	. Пусть	1. Тогда		dx
П р и м е р 1. Рассмотрим	x	. Пусть	1. Тогда		x
0				0

lim	1	dx	lim	ln x	1	lim(ln1 ln ) . Таким образом, рассмот-

		x
0			0			0

ренный интеграл при 1 расходится. Пусть теперь 1. Тогда

1			1				1	1		1	при 1,
1			1				1	1		1
	dx			dx		x
	dx			dx		x
		lim			lim				1
0 x		lim	x		lim				1
0 x		0	x		0 1						при 1,
											при 1,

и мы окончательно получили, что рассматриваемый интеграл при < 1 сходится и при 1 расходится.

Аналогичные выводы можно сделать про несобственные ин-

b	dx		b	dx
тегралы		,			.
	(x a)			(b x)
a			a

1	dx		b	dx		b	dx
Интегралы	dx	,		dx	,		dx	используются в
Интегралы	x	,		(x a)	,		(b x)	используются в
0			a			a

признаке сравненияв качестве эталонных.

6 8

2. Определенный

интервал

П р и м е р 2.

В интеграле

подынтегральная функция

x ln x

имеет особенность в точке

x 1 ,

поэтому

lim

(ln x

)

ln x

lim 2

ln x

lim

ln e 2

ln(1 )

2 .

Следовательно, интеграл сходится и его значение равно 2.

П р и м е р 3.

В интеграле

подынтегральная функция

ln x

имеет особенность в точках x 0

и x 1 , поэтому интеграл разбива-

0,5

ем на сумму двух,

например

x ln x

x ln x 0,5

ln x

Для первого из них

0,5

d(ln x) lim 2

lim

ln x

0,5

ln x

lim

ln 0,5

Следовательно, интеграл расходится, и поэтому исходный интег-

рал также расходится.

1/ e

П р и м е р 4.

В интеграле

подынтегральная функция

x ln2 x

имеет особенность в точке x 0 , поэтому

1/ e

1/e d(ln x)

1/ e

lim

ln 1/ e

x ln

ln x

Следовательно, интеграл сходится и его значение равно 1.

П р и м е р 5.

Выясним сходимость интеграла

. Подын-

1 x

тегральная функция имеет особенность

в точке x 1 . Поэтому

lim

lim arcsin x

1 x2

lim

arcsin(1 ) arcsin 0

6 9

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

Следовательно, интеграл сходится и его значение равно /2.

2	dx
П р и м е р 6. Выяснить сходимость интеграла		.

1	x 1

Подынтегральная функция имеет особенность в точке																																						x 1 .
По определению имеем
2	dx				lim 2								dx			lim			2						2			2							2		2.
2																																			2
																					x 1										x 1)
																					x 1										x 1)
						0											0								1
1	x 1							1				x		1																					1
1	x 1							1				x		1																					1
Следовательно, интеграл сходится и его значение равно 2.
																															2			dx
П р и м е р 7. Выяснить сходимость интеграла																																		dx		.

																																		2 x
																															1			2 x
Подынтегральная функция имеет особенность в точке																																						x 2 .
По определению имеем
	2				dx			lim					2			dx			lim 2											2				2.
					dx											dx											2 x
																											2 x
				2 x					0							2 x				0											1
	1			2 x									1			2 x
Следовательно, интеграл сходится и его значение равно 2.
																															3			dx
П р и м е р 8.						Выяснить сходимость интеграла																												dx			.
																																	3
																																	3	2 x
																															1			2 x
Подынтегральная функция имеет особенность в точке																																						x 2 .
Поэтому разбиваем интеграл на сумму двух
								3			dx					2		dx				3			dx
								1							1					2									.
									3								3						3
									3	2 x							3	2 x					3	2 x
Для первого из них имеем
	2		dx								2				dx							3 3										2			3
	2		dx				lim				2				dx			lim								(2 x)2
							lim											lim								(2 x)2
	3	2 x						0			3			2 x					0			2													2 .
	1										1																				1
	1										1

Аналогично доказывается сходимость второго слагаемого. Следовательно, исходный интеграл сходится.

Задание 2.6. Используя определение, выяснить сходимость несобственных интегралов второго рода:

;

ln x

0,5

7 0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 247 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20231.03 Mб02205.pdf
#
13.02.2021368.45 Кб12215.pdf
#
05.02.2023174.99 Кб02232.pdf
#
05.02.2023167.05 Кб02233.pdf
#
05.02.2023175.04 Кб12236.pdf
#
13.02.20213.21 Mб32259.pdf
#
05.02.20231.98 Mб12296.pdf
#
13.02.2021829.4 Кб02301.pdf
#
13.02.2021588.72 Кб62305.pdf
#
05.02.2023259.94 Кб12310.pdf
#
05.02.2023428.62 Кб02311.pdf