2259

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

П р и м е р 3. Вычислить

x cos5xdx .

Полагаем U x,

dV cos5xdx. Тогда dU dx ,

dV cos5xdx

1 sin5x C , и в

качестве V можем взять

sin5x , поэтому

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.02.2021

Размер:

3.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 242 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

1. Неопределенный интервал

ренциалов и умение ими пользоваться в обе стороны, то есть необходимо не только уметь вычислять по исходной функции производную и дифференциал, но и по дифференциалу увидеть исходную функцию. Нам также понадобится свойство дифференциала

df(x) 1 d(af(x)) 1 d(af(x) b) . a a

П р и м е р. sin2x dx 12 sin2xd(2x) 12 cos2x C.

Сдругой стороны,

sin2x dx 2sin x cos xdx 2sin xd sin x sin2 x C;

sin2x dx 2sin x cos x dx 2cos xd cos x cos2 x C.

Этот пример показывает, что у одной и той же функции может быть несколько разных первообразных, связанных между

собой соотношением (x) F(x) C.

Займёмся более подробно указанным приёмом. Вначале приведём таблицу дифференциалов в необходимой нам форме.

Таблица основных дифференциалов

1.dx 1a d(ax) 1a d ax b , где a

Вчастности, dx 12 d(2x) 12 d(2x b)

так далее.

и b — некоторые числа.

	1 d(3x)	1 d(3x b) и
	3	3

2. x dx	1	d x 1		1	d x 1 b ,	1 . В част-
	1			1

ности, xdx 12 d x2 12 d x2 b , x2dx 13 d x3 13 d x3 b ,

dx		1			1					dx		1		1		1		1
		d		d		b			,				d				d			b	,
x	2
	2									x	3	2			2	2			2
		x			x					x		2	x			2	x
dx		2d		2d				b .
dx			x				x


	x

1 1

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

3.	dx	d(ln x) d(ln x b)	1	d(aln x b) .

	x		a

4.exdx d(ex) d(ex b) .

5.cosxdx dsin x d(sin x b) .

6.sin xdx d cosx d(cosx b) .

7. cos2 x dtgx d(tgx b) .

8. sin2 x dctgx d(ctgx b) .

9. 1 x2 d(arctgx) d(arcctgx) .

10.		dx	d(arcsin x) d(arccosx) .


	1 x2

Остальное читатель в состоянии восстановить самостоятельно из таблицы производных.

Покажем теперь применение вышесказанного для некоторых интегралов с указанием табличных, к которым они сводятся.

Интегралы x dx 1 1 x 1 C

x 31 x2 dx 12 31 x2 d x2 12 31 x2 d x2 1 . В этом месте можно либо продолжить вычисления непосредственно и

										1								1
тогда получим										1	3 1 x2				d x2 1			1	1 x2 3d		x2 1
тогда получим										2	3 1 x2				d x2 1			2	1 x2 3d		x2 1
	1					4	4						3		4
	1		1 x2 3 :				4	C					3	1 x2 3		C , либо сделать замену пере-
	2		1 x2 3 :				3	C					8	1 x2 3		C , либо сделать замену пере-
																1				1	1
менных						u x2 1						и тогда				1	3 1 x2 d(x2 1)			1	u3du
менных						u x2 1						и тогда				2	3 1 x2 d(x2 1)			2	u3du
	1	4		4			3					4
			u3	:		C			1 x2 3 C .
	2		u3	:	3	C		8	1 x2 3 C .

1 2

Неопределенный интервал

sin3 x cos x dx sin3 x d sin x

sin4 x

C .

sin3 5x cos5x dx

sin3 5x d (sin 5x)

sin4 5x

5 4

arctg x

arctg x d (arctg x)

arctg2 x

1 x2

Интегралы

d x2

d 1 x2

xdx

2xdx

2 ln 1

1 x2

Знак модуля опущен в силу того, что 1 x2

1 > 0 для

всякого x из R.

d x4

d 1 x4

x3dx

4x3dx

4 ln 1 x

C .

1 x4

exdx

d ex

ex 1

ln e

1 C .

ex 1

sin3x

d(cos3x)

d(cos3x 1)

1 cos3x

1 ln(1 cos3x) C.

cos5x

d(sin5x)

sin5x) C .

5 ln(1

1 sin5x

Интегралы

arctgx C arcctg x C

x3dx

4x3dx

4 arctg x

1 x8

4 2

1 x

1 3

АА. . Ельцов. Интегральное

исчисление.

Дифференциальные

уравнения

2 arctg

2 C .

1 2

6x 10

6x 9

d(x 3)

arctg(x 3) C.

(x 3)2

dx 61

dx6

61 arctg x6 C .

1 x12

dx 51

dx5

51 arctg x5 C .

1 x10

e5xdx

d e5x

5 arctg e

C .

e10x 1

5x 2

1 e

e4xdx

d e4x

4 arctg e

C .

e8x 1

sin x

d(cosx)

arctg(cosx) C .

1 cos

Для интеграла

имеем

a x

a arctg a C .

1 xa

1 ax

Таким образом, нами доказана формула 5а таблицы интегралов. Часть из приведённых выше примеров можно решить, используя эту формулу.

1 4

1. Неопределенный интервал

Интегралы

arcsin x C arccos x C

1 x

x3dx

4x3dx

d x4

41 arcsin x4 C.

1 x

arcsin 2

C .

4 x

x2 6x 8

(x2 6x 8)

(x2 6x 9 1)

d(x 3)

1 (x2 6x 9)

1 (x 3)2

arcsin(x 3) C.

e5xdx

d e5x

5 arcsin e

C .

10x

1 e

e4xdx

d e4x

41 arcsin e4x C .

1 e

sin x

d(cos x)

arcsin

cos x

C .

cos

cos x

Для интеграла

имеем

d x

arcsin x C .

a2 x2

1 xa 2

1 5

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

Таким образом, нами доказана формула 6а таблицы интегралов. Часть из приведённых выше примеров можно решить, используя эту формулу.

Интегралы exdx ex C

x ex2 dx 21 ex2 d x2

21 ex2 C .

x3e2x4 1dx 81 e2x4 1d 2x4 81 e2x4 1d 2x4 1 81 e2x4 1 C.

3 sin 2x

3 sin2x

3 sin 2x

cos2xdx 6

d(3sin2x

) 6 e

C .

e2 tgx

2tgx

2 e

d(2tgx)

2 e

C .

cos2 x

Интегралы

cosxdx sin x C

cos2xdx

2 cos2xd2x 2 sin2x C .

x cos x2 3 dx

21 cos x2 3 d x2 3

21 sin x2 3 C.

1 dx

Интегралы

x x 1

1 dx

cos x

cos x d x

sin x

C .

1 x2

2 e d

2 e

C .

1 dx

sin

cos

C .

x3 x4

С помощью рассмотренного приёма вычисляются первые четыре интеграла в контрольной работе № 5.

Задание 1.1. Найти интегралы:

1) (1 sin x)	3	cosxdx ; 2)		(3 2ln x)5	dx ; 3)		1 ln x	dx ;
				x			x

1 6

1. Неопределенный интервал

4)				x				dx ;

		2		x		2

7)		x3			dx ;
	1 x4
10)			xdx				;

		9		2
				x

cos xdx 5) 2 3sin x ;

8) cos2 x(2 tgx)

xdx

11) 16 x2 ;

13)	dx		dx
	sin2 x 4 ctg2x ; 14)		x 3 ln2 x ;

6) x(1 2ln x)3 ;

; 9)			dx		;
	x(5 ln x)
12)			cosx		dx ;
			2
		9 sin x
			dx
15)				;
			36 x2

							dx																xdx															xdx
16)										;							17)											;						18)							;
16)				9			2			;							17)					9		x		4		;						18)			16 9x			4	;
				9			x															9		x													16 9x
19)			ex2 ln xdx ;														20)				ecos4x sin4xdx ;
	e					(ln2 x 2) ln x																1 x3 dx															cosln x
21)												x			dx ;		22)				e									;				23)						dx ;
																																						x
																										x4												x
				1																		1			cos				1		dx .
24)				1				cos				x dx ;					25)					1							1
																						7							6
																						7							6
							x															x							x
Ответы: 1)														1 (1 2sin x)4								C ; 2)									1	(3 2ln x)6 C ;
Ответы: 1)														1 (1 2sin x)4								C ; 2)								12		(3 2ln x)6 C ;
														8																12
	2		(1 ln x)3 2 C ; 4)																												2							C ;
3)	2																	2 x2 C ;										5)					2 3sin x
3)	3																	2 x2 C ;										5)					2 3sin x
	3																														3
	1						1												1								4
	1						1												1								4
6)	4														C ;	7)			4 ln 1					x				C ; 8)						ln	2 tgx				C ;
6)					(1 2ln x)2										C ;	7)								x										ln	2 tgx				C ;
					(1 2ln x)2
9) ln				5 ln x							C ; 10)					21 ln 9 x2 C ;															11) 21 ln 16 x2 C ;
9) ln				5 ln x							C ; 10)

12)	1 arctg								sin x					C ; 13)							1 arctg					ctgx					C ;
12)	1 arctg													C ; 13)							1 arctg										C ;
	3						3														2							2
14)		1					arctg ln						x C ; 15)							1 arctg x C											; 16)			1 arctg x C						;
													x C ; 15)

				3								3							6					6										3		3
				3								3
17)			1 arctg x2									C ; 18)						1		arctg 3x2								C ;				19)		1 ex2		C ;
17)			1 arctg x2									C ; 18)					24			arctg 3x2								C ;				19)		1 ex2		C ;
	6						3										24							4										2

1 7

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

20)	1 ecos4x C ; 21)	1 e(ln2 x 2) C ;		22) 1 e1 x3					C ;
	4	2				3
					1		1
23)	sinln x C ; 24)	2sin	x C ;	25)	1		1			C .
					6	sin
						sin		6
						x

1.2.2. Интегрирование по частям

Пусть U(x) и V(x) — дифференцируемые функции. Тогда d(U(x) V(x)) U(x)dV(x) V(x) dU(x). Поэтому U(x)dV(x)

d(U(x) V(x)) V(x)dU(x). Вычисляя интеграл от обеих частей

последнего равенства с учетом того, что d(U(x) V(x))

U(x) V(x) C , получаем соотношение

U(x)dV(x) UV V(x) dU(x) ,

называемое формулой интегрированияпо частям. Понимают его в том смысле, что множество первообразных, стоящее в левой части, совпадает со множеством первообразных, получаемых по правой части.

П р и м е р 1. Вычислить xexdx.
Положим U x,	dV exdx.	Тогда		dU dx , dV exdx
ex C , и в качестве V можем		взять V ex. Поэтому xexdx
xex exdx xex ex C.
П р и м е р 2. Вычислить x cos xdx.
Полагаем U x,	dV cos xdx. Тогда		dU dx , dV cos xdx
sin x C , и в качестве V можем взять				V sin x . Следовательно,

x cos xdx x sin x sin xdx x sin x cos x C.

1 8

1. Неопределенный интервал

x cos5xdx 5 x sin5x 5 sin5xdx 5 x sin5x 25 cos5x C .

Прииспользовании формулыинтегрированияпо частямнужно удачно выбрать U и dV, чтобы интеграл, полученный в правой части формулы, находился легче. Положим в первом при-


мере U ex,			dV xdx. Тогда			dU exdx, V x2 2 и
xexdx	x2	ex		1	x2exdx. Вряд ли интеграл x2exdx можно
	2		2

считать проще исходного. Основные рекомендации здесь такие.

Если подынтегральная функция есть произведение полинома (многочлена) на экспоненту ( ex exp(x) ) или тригонометрическую функцию, то обычно в качестве U(x) выбирают полином, а всё остальное относят к dV(x).

Заметим, что иногда требуется применить формулу интегрирования по частям несколько раз, например при вычислении

интеграла

x2e3xdx .

Полагаем

U x2,

dV e3xdx.

Тогда

dU 2xdx ,

и x

2 3x

2xe

3 e

3 x e

dx .

Для вычисления второго слагаемого снова применяем формулу

интегрирования по частям, полагая U x,

e3xdx. Тогда

1 3x

dU dx ,

3 e

, и поэтому xe

3 xe

1 2

3 xe

9 e

C .

Таким образом, x

3 x

29 xe3x 272 e3x C .

Интеграл x2 sin x dx предлагается найти самостоятельно.

1 9

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

Приведём ещё несколько примеров на применение формулы интегрирования по частям.

П р и м е р 4. Вычислить x tg2 6x dx .

Полагаем

U x,

dV tg26x dx.

Тогда

dU dx ,

tg2 6x dx

sin2 6x

1 cos2 6x

и в

качестве V

cos2

6x dx

cos2 6x

6 tg 6x x

можем взять

tg 6x x . Поэтому

x tg26xdx

x tg6x x2

tg 6x x dx

x tg 6x

cos6x

x tg 6x

cos6x

arcsin2 x dx .

П р и м е р 5. Вычислить

Полагаем

U arcsin2 x ,

dV dx . Тогда

arcsin

dx,

1 x2

V x

и arcsin

x dx x arcsin

arcsin x dx . Для на-

1 x2

хождения второго слагаемого снова применяем формулу интегри-

рования по частям, полагая

U arcsin x,

xdx

. Тогда

1 x2

d(1 x2)

1 x

C и в качестве V

1 x2

можно взять

1 x2

. Таким образом, окончательно получаем

arcsin

x dx x arcsin

x 2

arcsin x dx

1 x2

x arcsin

x 2

1 x

arcsin x

1 x

x arcsin2 x 21 x2 arcsin x 2x C.

2 0

<<< < Предыдущая 12 / 242 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20231.03 Mб02205.pdf
#
13.02.2021368.45 Кб12215.pdf
#
05.02.2023174.99 Кб02232.pdf
#
05.02.2023167.05 Кб02233.pdf
#
05.02.2023175.04 Кб12236.pdf
#
13.02.20213.21 Mб32259.pdf
#
05.02.20231.98 Mб12296.pdf
#
13.02.2021829.4 Кб02301.pdf
#
13.02.2021588.72 Кб62305.pdf
#
05.02.2023259.94 Кб12310.pdf
#
05.02.2023428.62 Кб02311.pdf