2259

Полагаем U arctg2x, dV x dx . Тогда

dU

2 arctgx

dx ,

1 x2

1

2

2

1

2

2

x2

V 2 x

и x arctg

x dx

2 x arctg

x

1 x2

arctg x dx . Полагая

во втором слагаемом U arctgx, dV

x2

dx ,

имеем

dU

dx

,

1 x2

1 x2

x2

dx

x2

1 1

dx

x arctgx C , поэтому

в качестве V

1 x2

1 x2

можно взять V x arctgx и, следовательно,

x2

arctgx dx (x arctgx)arctgx

x arctgx

dx

1 x2

1 x2

(x arctgx) arctgx 21 ln 1 x2 21 arctg2x C.

Окончательно

xarctg

2

1

2

2

1

x

2

C.

xdx 2 (x

1) arctg x x arctgx

2 ln 1

П р и м е р 7.

Вычислить

ln2 xdx .

2 ln x

Полагаем U ln2 x,

dV dx . Тогда dU

dx,

V x , и по-

x

этому

ln2 x dx x ln2 x 2 ln xdx . Применяя ко второму слагаемо-

му формулу интегрирования по частям с

U ln x,

dV dx ,

имеем

ln xdx xlnx dx xln x x C .

Поэтому

ln2 x dx x ln2 x

2x ln x 2x C .

П р и м е р 8.

Вычислить

x ln2 xdx .

2

dV x dx . Тогда dU

2ln x

V

1

2

Полагаем U ln x,

dx,

2 x

, и

x

x ln

2

x dx

1

2

2

x ln x dx . Применяя ко второму

поэтому

2 x

ln

x

слагаемому формулу интегрирования по частям с U ln x ,

dV x dx ,

1

2

1

1

2

1

2

имеем

x ln xdx 2 x

ln x

2 xdx

2 x

ln x

4 x

C . Поэтому

x ln

2

1

2

2

1

2

1

2

x dx

2 x

ln

x 2 x

ln x 4 x

C .

П р и м е р 9.

Вычислить

ln(x2

3) dx .

Полагаем

U ln(x2

3) ,

dV dx .

Тогда

dU

2x dx

,

V x , и

x2 3

поэтому ln(x

2

3) dx x ln(x

2

3)

2

x2

dx x ln(x

2

3) 2x

x2 3

5

x4

рованием по частям

с

U x

,

dV

dx , либо с помощью

1 x5 3

замены переменной

z 1 x5

. В

первом

случае

dU 5x4dx,

1

x9

dx

x5

V

,

и

поэтому

1 x5 3

10 1 x5 2

10 1 x5 2

5x4

x5

1

dx

10 1 x5 C .

10 1 x5 2

10 1 x5 2

Во втором случае dz 5x4dx,

x5 z 1 , и поэтому

x9

z 1

1

1

dx 51

dz

51

dz

51

dz

(1 x5)3

z3

z2

z3

1

1

C

1

1

C.

5z

5 1 x

10z2

5

10 1 x

5

2

П р и м е р 11. Вычислить интеграл

J ex cos x dx .

Положив U ex,

dV cos x dx ,

получаем J ex sinx

ем J e

x

cos xdx

ex cos x ex sin x

C.

2

Таким образом, нами, в частном случае a 1,

b 1 , доказа-

найти Jn

dx

.

x2

a2 n

Положив

1

, получаем

U

x2 a2 n ,

dV dx

Jn

x

2nx2dx

x

x2 a2 n

x2 a2 n 1

x2 a2 n

2n(x2 a2 a2) dx

x

2n

dx

x2 a2 n 1

x2 a2 n

x2 a2 n

2

dx

x

2

2na

2nJn

2na

Jn 1 .

x2 a2 n 1

x2 a2 n

Jn 1 , получаем рекуррентную формулу

J

2n 1

J

1

x

(1.1)

2na2 x2 a2 n

n 1

2na2 n

для вычисления интеграла Jn 1

при любом n.

Действительно,

J1

dx

1

x

a arctg a

C . Тогда

(x2 a2)

J2

dx

1

1

x

1

x

a arctg a

C

x2 a2 2

2a2

2a2

x2

a2

1

arctg x

1

x

C.

2a3

a

2a2 x2 a2

Аналогично находятся

J3

dx

,

J4

и так далее.

2 2 3

(x

a

)

1)

xsin5xdx ;

2)

ln(x 1)dx ;

3)

ln(x2 4)dx ;

4)

arctg2xdx ;

5)

xtg22xdx ;

6)

(x2 1)ln xdx ;

7)

arcctg5xdx ;

8)

xe2xdx ;

9)

x3ex2 dx ;

10)

e2x cos3xdx ;

11)

e5x cos2xdx .

Ответы: 1) 1 x cos5x

1

x sin5x C ;

2) xln(x 1) x

5

25

ln(x 1) C ; 3)

x ln(x2 4) 2x 2arctg x

C ; 4)

xarctg2x

2

1

ln(1 4x

2

) C ; 5)

1

xtg2x

x2

1

ln

cos2x

C; 6)

x3

x

4

2

2

4

3

x3

1

ln 1

2

C ;

lnx 3

x C ; 7)

x arcctg5x

25x

10

8) 1 xe2x

1 e2x

C ;

9)

1

x2ex2

1

ex2

C ;

2

4

2

2

10)

2e2x cos3x 3e2x sin3x

C ;

11)

5e5x cos2x 2e5x cos2x

C .

13

29

x

x 2 2

dx

1.

dx

dx dx 2

x 2ln

x 2

C.

x 2

x 2

x 2

x

x 3 3

dx

2.

dx

dx dx 3

x 3ln

x 3

C.

x 3

x 3

x 3

x2

x2 4 4

dx

x

3.

dx

dx dx 4

x 2arctg

2 C.

x2 4

x2 4

x2

4

sin2 x

1 cos2x

,

cos2 x

1 cos2x

,

2

2

sin

2

x dx

1 cos 2x

1

1

1.

dx

2 x

4 sin 2x

C.

2

cos

2

x dx

1 cos2x

1

1

2.

dx

x

sin2x C.

2

2

4

1

1

1

3.

cos3x cos x dx

(cos2x cos4x)dx

sin2x

sin 4x C.

2

4

8

4.

cos2x sin5x dx

1

(sin7x

sin 3x) dx

cos7x

cos 3x

C.

2

14

6

5.

sin2x sin 6x dx

1

(cos4x

cos8x)dx

sin4x

sin8x

C .

2

8

16

ctg

2

x dx

cos2 x

dx

1 sin2 x

6.

dx ctg x x C.

sin2 x

sin2 x

П р и м е р 1.

Вычислить интеграл

dx

.

x2 4x 20

Имеем

x2 4x 20 (x2 4x 4) 16 (x 2)2 42 . Сделав заме-

x 2 t , окончательно получаем

dx

dt

ну

x2

4x 20

t2

42

1

t

C

1

x 2

C

.

4 arctg

4

4 arctg

4

П р и м е р 2.

Вычислить интеграл

dx

.

18x 9x2 5

Имеем

18x 9x2 5 9(x2 2x 1) 9 5 4 9(x 1)2 .

Поэто-

dx

dx

1

3(x 1)

му

3 arcsin

C .

2

18x 9x

2

4

2

5

9(x 1)

1. Неопределенный

интервал

dx

П р и м е р 3.

Вычислить интеграл

.

x2 2x

Имеем

x2 2x (x2

2x 1) 1 1 (x 1)2 .

Поэтому

dx

dx

arcsin(x

1) C .

x2 2x

1 (x 1)2

Выделение дифференциала

Интегралы

Mx N

dx ,

Mx N

dx

выделением

2

q

2

n

x px

(x

px q)

интегралам

dx

,

dx

.

(x2

px q)n

x2 px q

П р и м е р. Вычислить интеграл

3x 3

dx .

x2 4x 20

Производная знаменателя равна 2x 4 . Поэтому

3x 3

2x 2

2x 4 2

dx 23

dx

23

dx

x2 4x 20

x2 4x 20

x2 4x 20

3

d(x2 4x 20)

3

2

3

2

2

2

dx

2 ln(x

4x

20)

x2 4x 20

x2

4x 20

3 arctg

x 2

C .

4

4

(Интеграл

dx

найден ранее. )

x2 4x 20

Аналогично интеграл

(Mx N)dx

выделением в числи-

a

2

(x b)

2

интегралу

dx

. Проиллюстрируем это на примере.

a

2

(x b)

2

П р и м е р. Вычислить интеграл

(4x 2)dx

.

1

2

(x 1)

(4x 2)dx

2

( 2(x 1) 1)dx

1

2

1

(x 1)

2

(x 1)

2

1 (x 1)2

2arcsin(x 1) C .

Задание 1.3. Найти интегралы:

1)

x 5

2)

2x 5

3)

(x 5)2

dx ;

dx ;

dx ;

x 2

x 3

x2 25

x2

2

3

4)

dx ;

5)

sin

3xdx ;

6)

cos

4xdx ;

x2

9

7)

sin7x cos3xdx ;

8)

tg2 3xdx ;

9)

tg4 7xdx ;

10)

dx

;

11)

dx

;

12)

dx

;

x

2

4x 5

2

4x

2

8x 5

x

4x 29

13)

dx

;

14)

dx

;

2

5

2

6x x 8

4x 8x