Otvety_KhTP

алгоритме нужно задать правило останова, определяющее, когда можно прекращать расчет, считая, что полученная точность уже достаточна. Например, можно остановить итерации, когда интервал неопредеенности окажется не больше ε:

(1)

Эффективность алгоритма дихотомии определяется так: каждая пара расчетов (точки л и п) уменьшает отрезок [а, b] вдвое. Обозначим исходный отрезок индексом «исх». Если сделать q расчетов (q – четное), то

(2)

44.Метод золотого сечения (одномерная оптимизация).

Пропорция золотого сечения (деления отрезка в среднем и крайнем отношении) определяется так. Отрезок длины l делится на две части m и l – m так, чтобы меньшая часть относилась к большей, как большая ко всему отрезку:

(1)

Легко сосчитать, что m=0,3821, l-m=0,6181, m=0,618(l-m).

Рис. 1. График поиска максимума методом золотого сечения.

Рассмотрим опять отрезок [а, b], на котором нужно найти максимум (рис. 1). Поиск максимума начинаем с того, что делим отрезок слева и справа в соответствии с пропорцией золотого сечения и получаем точки л и п. Расстояние от а до л составляет 0,382 (b – а), от а до п

0,618(b – а). В этих точках рассчитаем значения F. Как и в методе дихотомии, здесь имеем две точки л и п, но расстояние между ними не мало и вероятность того, что точка экстремума попадет между ними, достаточно велика. Поэтому, например, если F(п) > F(л) (см.рис. 1), то нельзя сказать, в какой из трех частей отрезка окажется максимум – он может быть и в средней части отрезка (левая штриховая линия на рисунке), и в правой (правая штриховая линия). Но в левой части (мы приняли, что функция унимодальна) максимума быть не может. Поэтому можно ее отбросить – перенести левый конец отрезка в точку л, назвав ее а (левая стрелка). Теперь задача как будто вернулась к исходной формулировке: найти максимум на отрезке [а, b]. Но на этом отрезке уже есть точка (точка п, см. рис. 1), в которой рассчитано значение функции, причем благодаря свойству (1) эта точка, отсекавшая от предыдущего большего отрезка справа ~38,2%, отсекает от нового, уменьшенного отрезка справа ~61,8%, т. е. и на новом отрезке она является точкой золотого сечения. Теперь, на новом этапе расчета мы можем назвать ее л (см. правую стрелку на рис. 1) и поставить на уменьшенном отрезке не две точки для расчета F, а только одну – правую (на рис. 1 обозначена треугольником). Таким образом, на каждом этапе расчета, кроме самого первого, мы должны рассчитывать F только в одной точке, что повышает эффективность метода.

Эффективность метода определяется следующим образом. После двух первых расчетов F и после каждого последующего остающийся интервал неопределенности составляет 0,618 предыдущего. Тогда при q расчетах целевой функции

(2)

При q > 4 эффективность метода золотого сечения выше, чем метода дихотомии; при небольших q, порядка 10 – 20, эффективность обоих методов близка, но при q > 20 метод золотого сечения становится заметно эффективнее.

Если нужна высокая точность (или если каждый расчет громоздок), то предпочтительнее метод золотого сечения. Впрочем, при малых q часто целесообразно ограничиться сканированием.

45. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.

Формула Симпсонакривая аппроксимируется рядом парабол, проведённых через каждые последовательные 3 точки. На основании 2∆ строится ряд параболических трапеций, ∑ трапец≈ площадь под кривой ≈ значение

интеграла:

где Δu – интервал между соседними значениями u (шаг интегрирования)

Метод Эйлера: на отрезке [x0 ; x0 +l] берут число n вводят шаг h=e/n и образуют на отрезке сетку