Otvety_KhTP

34. Ячеечная модель изотермического каскада реакторов.

Модель неидеального потока. Ячеечная модель – исторически первая. Эта модель схематически представляет реальный аппарат как некоторое число п одинаковых последовательно соединенных аппаратов (ячеек) идеального смешения (рис. 1). Суммарный объем всех ячеек равен объему реального аппарата, следовательно, объем каждой ячейки равен Va/n. Число ячеек – единственный параметр ячеечной модели.

Рис. 1. Схема ячеечной модели

В ряде случаев в аппарате действительно можно выделить участки по ходу потока, в каждом из которых жидкость более или менее полно перемешивается. Схема ячеечной модели близка, например, к картине движения жидкости через каскад реакторов с мешалками или через тарельчатую барботажную колонну провального типа, в которой жидкость интенсивно перемешивается на каждой тарелке и быстро переливается с тарелки на тарелку. В других потоках отождествить физическую картину с ячеечной моделью можно лишь ценой значительных упрощений. Например, для турбулентного потока в первом приближении можно считать, что каждая частица проходит некоторое расстояние как единое целое, а затем перемешивается с окружающим частицами. Участок, на котором происходит это перемешивание (путь смешения), можно, хотя и весьма грубо, сопоставить с ячейкой смешения. Другой такой пример – течение газа в зернистом слое. Выходя из узкой щели между зернами в более широкую полость (такие всегда есть в слое), газ завихряется и перемешивается, в результате чего возникает картина чередующихся перетеканий и перемешиваний. Но и здесь схема ячеечной модели сильно огрубляет реальное явление. Однако в ряде случаев ошибка огрубления несущественна для решения конкретной задачи, а простота модели делает ее применение желательным.

Рассмотрим распределение времени пребывания и изменение концентрации по длине аппарата для ячеечной модели. Дифференциальная функция распределения времени пребывания имеет вид (формула приводится без вывода):

(1)

График этой функции изображен на рис. 2. По мереПотокиувеличения

идеальногочисла ячеек кривыесмешениястановятсяи идеальноговсе болеевытеснениякрутыми. являются крайними случаями ячеечной модели.

Рис. 2. Функция С(τ) для ячеечной модели при разных n.

Из формулы (1) можно вывести простую зависимость для дисперсии:

(2)

Распределение концентрации реагента по длине аппарата показано на рис. 3. Для последней ячейки концентрация вещества А в ячеечной модели совпадает с его концентрацией при идеальном смешении. Но первые ячейки работают при бóльших сА и соответственно при бóльших скоростях реакции. С этой точки зрения ячеечная модель занимает промежуточное место между обеими моделями идеальных потоков.

Рис. 3. Распределение концентрации реагента по длине аппарата: 1

– идеального вытеснения; 2 – идеального смешения; 3 – состоящего из трех ячеек.

35.Модель реактора идеального вытеснения с теплообменом.

36.Модель реактора идеального смешения с теплообменом.

37. Тепловая устойчивость стационарных режимов при идеальном смешении.

Теперь перейдем к анализу устойчивости. Реакция протекает в аппарате идеального смешения. Тепло реакции отводится через поверхность Fт к теплоносителю, имеющему температуру Tтн. Если процесс стационарен, то его характеризует уравнение теплового баланса, которое запишем в виде:

(1)

Обозначим левую часть уравнения через Q1, а правую – через Q2.

Здесь Q1– выделение тепла, т. е. количество тепла, выделяемого реакцией в единицу времени; Q2– отвод тепла, т. е. количество тепла, выводимого в единицу времени с потоком и через стенку (за вычетом входящего с потоком). Итак, в стационарном режиме:

Q1 = Q2 (2)

≠ Q2, процесс нестационарен: при Q1 > Q2 температура растет во времени – система нагревается; при Q1 < Q2 система охлаждаетсяЕс и Q1 . Исследуем, как зависят левая и правая части уравнений (1) – (2) от температуры в аппарате. В левой части VaQp– коэффициент, почти не зависящий от Т.

Правую часть уравнения (1) преобразуем, выделив скобками величины, не зависящие или почти не зависящие от T:

(3)

Таким образом, это практически линейная зависимость, причем Q2 растет с повышением Т. На рис. 1 зависимости Q1 и Q2 от Т представлены графически. Линия I выделения тепла и линия II отвода тепла пересекаются в трех точках 1, 2 и 3 при температурах Т1, Т2 и T3. При этих температурах соблюдается условие (2) и процесс стационарен. Итак, в данной ситуации при одних и тех же значениях всех внешних (входных) параметров возможны три различных стационарных режима.

Рассмотрим вначале стационарный режим при температуре Т1. Так как скорости выделения и отвода тепла равны одна другой, то пока температура не меняется, режим остается стационарным. Предположим теперь, что в результате случайного возмущения температура в реакторе немного повысилась и стала равной T1 + dT (рис.1). При этом из-за ускорения реакции возрастает скорость выделения тепла; этот рост происходит в соответствии с кривой тепловыделения. Одновременно из-за увеличения разности температур между реактором и теплоносителем повышается скорость отвода тепла. Этот рост характеризуется прямой теплоотвода.

Рис. 1. Зависимости выделения и отвода тепла от температуры в реакторе.

В точке 1 прямая идет круче кривой, поэтому при температуре T1 + dT скорость отвода тепла окажется выше, чем скорость его выделения. Раз так, то после снятия возмущения реактор начнет охлаждаться. Охлаждение будет продолжаться до тех пор, пока реактор не вернется к температуре Т1. При этой температуре скорости выделения и отвода тепла опять уравняются и режим снова станет стационарным. Наоборот, если в результате возмущения реактор слегка охладится, то скорость выделения тепла станет больше, чем скорость его отвода и реактор начнет нагреваться, пока снова не достигнет Т1. Таким образом, при

температуре Т1 режим устойчив.

При температуре Т3 с точки зрения устойчивости картина полностью аналогична предыдущему режиму. Прямая теплоотвода также идет круче, чем кривая выделения тепла. Точно такие же рассуждения приводят к такому же выводу: режим устойчив.

Теперь обратимся к точке 2. Здесь наклон прямой теплоотвода меньше, чем наклон кривой выделения тепла. Так же, как и в точках 1 и 3, Q1 =Q2, и если нет возмущений, режим будет оставаться стационарным. Но предположим, что произошло случайное возмущение – повышение температуры до T2 + dT. При этой температуре скорость выделения тепла станет большей, чем скорость теплоотвода. После снятия возмущения реактор будет не охлаждаться, а нагреваться, удаляясь от начального состояния.

нужно чтобы РИС имел больший объем, чем РИВ. Т.о. РИВ обеспечивает большую эффективность процесса.

Каждый из идеальных потоков отличает предельная равномерность. В идеальном вытеснении это равномерность скоростей и времени пребывания, в идеальном смешении – равномерность концентраций и температуры по объему.

Стационарный процесс в потоке идеального вытеснения описывается системой дифференциальных уравнений. Для идеального смешения этот случай описывается уравнениями, не содержащими операторов дифференцирования (уравнения есть в 32,33 вопросе). Лишь в нестационарном режиме в описании появляются производные. Объясняется это тем, что в идеальном смешении нулю равны производные по координатам – градиенты концентраций и температуры. В связи с этим процесс в потоке смешения можно описывать так, будто он целиком происходит в одной точке (от точки к точке ничто не меняется). И в нестационарном процессе аппарат идеального смешения ведет себя «как точка» – все изменения происходят во всем объеме одновременно. Таким образом, это объект с сосредоточенными параметрами.

Аппарат идеального вытеснения – объект с распределенными параметрами: в нем параметры процесса меняются от точки к точке. Правда, это простейший из таких объектов – одномерный, поскольку рассматриваются изменения лишь в продольном направлении, а поперек потока все считается выровненным. Тем не менее описание идеального смешения еще проще, что привлекательно с точки зрения математической обработки модели. Поэтому ряд более сложных моделей строится на основе модели смешения.

При одинаковых условиях проведения одной и той же реакции для достижения равной глубины превр ащения среднее время пребывания реагентов в проточном реакторе идеального смешения больше, чем в реакторе идеального вытеснения. Этот факт может быть легко объяснён характером распределения концентрации реагентов по объёму указанных реакторов. Если в прото чном реакторе идеального смешения концентрации во всех точках равны конечной концентрации( линия 1), то в реакторе идеального вытеснения в двух соседних точках на оси реактора концентрации реагентов уже отличаются

39. Численные методы многофакторной оптимизации.

Методы многомерного поиска (случай, когда F – функция более чем одного фактора) рассмотрим в простейшем варианте, когда оптимизация проводится без ограничений. Ограничения вносят заметные усложнения в алгоритмы поиска, но при этом их сущность, как правило, не изменяется. Изложение буду иллюстрировать случаем двух факторов – этот случай можно изобразить на графике. Рассмотрим поиск максимума.

Метод покоординатного спуска. Выбираем координаты начальной точки поиска х1Н и x2Н, т. е. те значения х1 и х2, от которых мы начнем искать оптимум, единичные приращения обоих факторов (шаги) Н1 и Н2, а также малые приращения факторов ε1 и ε2. Выбор всех этих величин определяется физическим смыслом задачи и той информацией о ней, которой мы располагаем заранее.

Рис. 1. График движения в пространстве факторов при покоординатном спуске

Рассчитываем значение F(x1Н , x2Н) в точке 1 (рис. 1). Далее, не меняя величины х2, начинаем двигаться вдоль оси х1, давая на каждом шаге этому фактору приращение H1 (или –Н1, в зависимости от того, при движении в какую сторону будет наблюдаться рост F ). На каждом шаге – в точках 2, 3, 4 и т. д. – проводится расчет F. Шаги продолжаются до тех пор, пока продолжается рост F. Неудачными будем считать те шаги, на которых получено значение F меньшее, чем на предыдущих шагах (на рисунке они обозначены крестиками). После первого неудачного шага (точка 6) возвращаемся в предыдущую точку (в данном случае в точку 5), фиксируем величину х1 и начинаем изменять х2, давая ему приращения Н2 или –Н2 (точки 7, 8, 9, 10 ).

Затем снова движемся вдоль оси х1 (точки 11, 12, 13 ), снова меняем направление (точки 14, 15 ) и т. д. На рис. 1 изображена ситуация, когда из точки 12 двигаться некуда: во всех окружающих точках (9, 13, 14, 15 ) значение F меньше, чем в данной. Это значит, что мы уже приблизились к максимуму и прежние крупные шаги из точки 12 переносят нас через него. Поэтому уменьшаем шаги (например, вдвое – см. точку 16 ) и продолжаем поиск уменьшенными шагами. Уменьшение шага может производиться неоднократно. Но в тот момент, когда эти шаги оказываются меньше, чем соответственно ε1 и ε2, логично считать, что максимум зафиксирован достаточно точно и можно закончить расчет, приняв лучшую точку за оптимум.

Если факторов больше двух, то после движения вдоль осей х1 и х2 производится движение вдоль осей х3, х4 и т. д. и лишь затем снова начинается движение вдоль х1. В описанном варианте движение вдоль каждой оси осуществляется так же, как при сканировании. Если нужна большая точность определения оптимальных значений xi, можно поступать и по-иному: например, организовывать такое движение, как поиск методом золотого сечения.

Метод градиента. Существует много вариантов этого метода. Рассмотрим простейший из них. Подробно опишу также лишь случай двух факторов. Как и в методе покоординатного спуска, вначале выберем координаты исходной точки х1Н и х2Н , шаги H1и Н2и малые приращения ε1 и ε2. Движение к оптимуму начнем не вдоль какой-либо оси координат, а в направлении градиента (если ищем минимум, то в противоположном градиенту направлении). Поскольку Н1 и Н2 приняты за единичные приращения координат, формула градиента получит вид (полужирный шрифт означает, что выделенные величины – векторы, и сложение ведется как векторное):

(1)

Ясно, что для расчета направления градиента необходимо знать частные производные целевой функции по факторам. Для расчета производных проводится вспомогательная серия расчетов

(см. рис. 2). Около начальной точки 1 ставятся две вспомогательные точки: 1' на расстоянии ε1 вдоль оси х1 и 1'' на расстоянии ε2 вдоль оси х2, и в них рассчитывается функция F. Производные находим по формулам