Г лава 4 Механика твердого тела

§ 16. Момент инерции

При изучении вращения твердых тел будем пользоваться понятием момента инерции. Моментом инерция системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс л материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

где интегрирование производится по всему объему тела. Величина г в этом случае есть функция положения точки с координатами х, у,z.

В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относительно его геометрической оси (рис. 23). Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины drс внутренним радиусом r и внешним r+dr. Момент инерции каждого полого цилиндра (так как то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от

оси равно r), где dm — масса всего элементарного цилиндра; его объем Если

р — плотность материала, то Тогда момент инерции

сплошного цилиндра

но так как — объем цилиндра, то его массаа момент инерции

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела J относительно произвольной оси равен моменту его инерции J_c относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы т тела на квадрат расстояния а между осями:

(16.1)

В заключение приведем значения моментов инерции (табл. 1) для некоторых тел (тела считаются однородными, т — масса тела).

Таблица 1

Тело		Положение оси	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр		Ось симметрии	mR2
радиусом R
Сплошной цилиндр или диск ра-		То же
диусом R
Прямой тонкий стержень дли-		Ось перпендикулярна стержню	1/12ml2
ной /	и	проходит через его середину
Прямой тонкий стержень дли-		Ось перпендикулярна стержню	1/3ml2
ной /	и	проходит через его конец
Шар радиусом R		Ось проходит через центр шара	2/5mR2