2.4. Теплоемкость

С =

∆Q

, Дж .

(2.10)

∆T

К

Для лучшего усвоения этого понятия

рекомендуется посмотреть фильм.

Эта величина зависит от количества рабочего

тела системы.

Чем

его больше,

тем Ибольше

потребуется теплоты, чтобы нагреть его на один

градус.

Д

Поэтому удобнее пользоваться удельными теплоемкостями:

1) массовая удельная теплоемкость

1 ∆Q

Дж А

c =

,

, где m

−масса вещества;

m

∆T

кг К

б

2) молярная удельная теплоемкость

и

c

= 1 ∆Q

,

Дж

, где

ν −число молей;

моль К

ν ∆T

3) объёмная удельная теплоемкость

С

Дж

′

1 ∆Q

, где V −объём рабочего тела.

= V ∆T

м3 К

c

,

c = c m

= cM ,

c′ = c V

= cvµ ,

c′ = c m

= cρ,

(2.11)

ν

ν

V

нормальных условиях (т.е. при

температуре T0 = 273,15K и давлении

p0

=1ат ) объём моля vµ = 22,4

м3

, а плотность ρ0 =

M

103

кг

.

кмоль

22,4

м3

теплоёмкостью) определится как

1 dQ

= dq .

c =

(2.12)

m dT

dT

Следовательно, элементарная порция тепловой энергии,

полученной извне на 1 кг рабочего тела, в этом случае будет равна

dq = cdT.

(2.13)

Из соотношений (2.5) и (2.13) имеем

ds = dq

= c dT

.

(2.14)

T

T

Интегрируя это уравнение для термодинамического процесса

1 → 2 , в котором в состоянии 1 система имела параметры

s1,T1, а при

переходе в состояние 2 изменила их на

s2 ,T2 , получим изменение

энтропии в данном процессе

И

s

2

T

2

− s

=

∆s

=

dT

.

∫ds = s

2

∫ c

s1

1

12

T1

T

Д

Если пренебречь зависимостью теплоёмкости от температуры,

то её можно вынести за знак интеграла

T2

T

∆s

АdT

(2.15)

= с ∫

T

= cln

2 .

12

T

T1

1

б

Данная формула позволяет определить изменение энтропии в

и

С

dq

(2.16)

cv =

dT v=const

и теплоёмкости при постоянном давлении:

dq

.

(2.17)

cp =

dT p=const

v

И

2.5. Соотношения между параметрами системы в зависимости

от вида термодинамического процесса

Рассмотрим зависимость теплоёмкости от вида процесса.

1) Изохорный процесс:

Д

v = const. Тогда

dl = pdv = 0,

и из (2.9) следует, что

А

dq = du, а с учетом (2.13)

du = cvdT.

(2.18)

б

Если количество рабочего тела измерять не в килограммах, а

молях, то для одного его моля

удем иметь уравнение, аналогичное

(2.13):

иk

du

= cvdT,

(2.19)

U

N

i

i

E

u

=

=

=

kTNA =

RT,

ν

ν

2

2

откуда с учётом (2.19) получим

С

i

RdT = c dT

2

v

или

i

c

=

.

(2.20)

R

v

2

Таким образом,

молярная

удельная теплоёмкость cv при

2

dT

= c

2 dT

= c (lnT

−lnT ) =c

ln

T

(2.21)

∆s = ∫c

T

∫

T

v

2 .

v

v

1

v

2

1

T

1

1

Вывод этого результата сделан в предположении, что

зависимость теплоёмкости cv

от температуры пренебрежимо мала. Из

(2.21) следует, что при изохорном нагревании

(T2 >T1)

энтропия

возрастает, а при изохорном охлаждении (T2 <T1)

– убывает.

2) Изобарный процесс: p = const . Тогда из (2.9), (2.13) и (1.8)

следует:

= du + pdv = c dT + pd RT

dq

p

= c dT

+ RdT.

v

p

v

А

И

С другой стороны, из (2.13) имеем

(2.22)

dqp = cpdT.

Поэтому

Д

и

dqp = cpdT

= cvdT + RdT.

А из последнего равенства следует уравнение Майера:

С

cp −cv = R.

(2.23)

Дж

газовая постоянная для кислорода R

= 260

.

O2

кг К

Поскольку c = cM и

= RM ,то

после умножения левой и

R

правой части уравнения Майера (2.23) на молярную массу M

получим

Дж

cp − cv =

=8,314

.

(2.24)

R

моль К

i

cp =

+1 R.

(2.25)

2

Элементарная энтропия для данного процесса, согласно (2.14),

равна

ds =

dqp

= cp

dT

.

Рассмотрим случай,

когда переход системы

T

T

Тогда из интегрирования

последнего

выражения

можно

найти

И

изменение энтропии при изобарном процессе:

T

∆s =

2

dT

= c

2 dT

=c

(lnT

− lnT ) =c

ln

(2.26)

∫c

p T

p

∫

T

p

p

2 .

2

1

T

1

1

Д2 1

1

Вывод этого

результата

сделан

в

предположении,

что

(2.26) следует, что

при

изобарном

нагревании

(T2 >T1) энтропия

б

– убывает.

возрастает, а при изобарном охлаждении (T <T )

3)

Изотермный

процесс:

T = const.

В

этом

случае

du = c dT = 0, и с

и

Пусть

учётом (2.10)Аи (1.8) dq = pdv = RT dv .

v

T

v

з состоян я 1 в

2

переход

системы

состояние

происходит при

2 dv

v

p

∆qT = RT ∫

= RT ln

2

= RT ln

1

.

(2.27)

С

1 v

v1

p2

А изменение энтропии в этом процессе будет, соответственно,

равно

∆s = ∆q

= Rln v2

p1

= Rln

.

(2.28)

T

v

p

2

1

Отсюда следует, что энтропия при изотермном расширении

возрастает, а при изотермном сжатии – уменьшается.

Как следует из

вышеизложенного,

величина dqT ≠ 0.

Тогда

c

dq

=

dq

= ∞.

(2.29)

=

T

T

dT T =const

0

расширении?

2. Как подсчитать теплоту изохорного процесса?

3. Как в изобарном процессе изменяется энтропия?

4. Каков смысл удельной газовой постоянной R?

5. Напишите уравнение Майера.

6. Чем

определяется

величина

молярных

удельных

теплоёмкостей cp и cv различных газов?

7. Чему равна теплоёмкость при изотермном процессе?

2.6

и внешней средой отсутствуетДтепловоеИвзаимодействие, т.е.

системой

dq = 0.

Тогда из (2.10) следует

= с dT + RT dv

0 = du + pdv

v

v

или

А

dT

dv

б

v .

cv T

= −R

С учётом (2.23)и

cp − cv dv

dT

dv

С

= −

= −(γ −1)

,

(2.30)

cp

T

cv

v

v

где γ =

−

показатель адиабаты.

c

v

Показатель адиабаты

зависит

от

числа

степеней

свободы

i

cp

cpM

cp

+1 R

2 .

2

γ =

=

=

=

=1+

(2.31)

cv

cvM

cv

i

i

2 R

В частности, для одноатомного газа i = 3 и γ =1 + 2 ≈1,67;

для

3

двухатомного газа при обычных температурах i = 5 и γ =1 + 2 =1,4;

5

для многоатомных газов при обычных температурах i = 6

и

γ =1+ 2 ≈1,33.

6

Зависимость показателя адиабаты и удельных теплоёмкостей от

колебательного движения,

что ведёт к увеличению i − числа степеней

свободы молекул.

состояния 1 в состояние 2

Пусть переход системы

из

И

происходит при отсутствии теплообмена с внешней средой. Тогда из

интегрирования (2.30) получим

−(γ −1)

2

dT

T2

2

dv

∫

= −(γ

−1)∫

v2

,

T

= ln

T

v

= ln v

1

1

1

1

т.е.

А

γ −1

б

T2

=

v1

Д.

(2.32)

T

v

2

и

1

С учётом (1.8)

γ −1

p2v2

T2

=

RT2

=

=

v1

,

С

RT1

p1v1

v2

откуда

T1

γ

p2

=

v1

.

(2.33)

p

v

2

А из (2.32) и (2.33) имеем

1

γ −1

T2

p1

γ

(2.34)

T

= p

2

.

1

Из (2.32) также следует, что p v

γ

= p

2

v

γ

= pvγ , т.е.

1 1

2

pvγ

= const.

(2.35)