Через набла-оператор выражается и оператор Лапласа:

и очень просто осуществляется преобразование выражений типа div(gradT ) = T = 2T = ∆T ,

rot(gradT ) = ×( T ) = ( × )T = 0 .

На языке набла-оператора уравнения Навье-Стокса примут вид

ρ dw = ρF − p + (µ′ + µ) ( w) + µ 2w , (5.50) dt

Несмотря на простоту и компактность записи уравнений Навье – Стокса (5.50), (5.51), их аналитическое решение вызывает серьёзные

интегрирования уравнений Навье – Стокса, опишем их в декартовых координатах, избавившись от набла-оператора. Для трёхмерного пространства вместо одного уравнения (5.50), записанного в векторной форме, получатся три его проекции на соответствующие оси координат.

Полная производная по времени в левой части уравнения (5.50) для некоторой проекции ς {x, y.z} запишется как

87

а ς −проекция градиента от скалярного произведения w:

Чтобы получить полную систему дифференциальных уравнений

решение такой системы уравнений второго порядка в частных производных до сих пор никому не удалось. Это довольно сложные уравнения в частных производных, и во многом их сложность связана с наличием вязкости среды.

Коэффициент вязкости сильно зависит от температуры. При небольших перепадах температур эту зависимость можно принять

где µ − коэффициент динамической вязкости среды при температуре T , Па·с; µ0 −коэффициент динамической вязкости среды при

88

температуре T0 , Па·с; α − температурный коэффициент вязкости (для

воздуха α ≈ 0.006 К−1).

При больших температурных перепадах используют степенную зависимость

C(N2 ) =110K , для кислорода C(O2 ) =127K .

Кроме непостоянства коэффициентов в данной системе уравнений в частных производных серьёзную проблему представляют

существенно ограничена рядом факторов и получаемые численные решения системы данных уравнений применимы не для любых сред и случаев теплообмена. В области больших чисел Рейнольдса1 решение не устойчиво. А для чисел Кнуд сена2, близких к единице, данная система уравнений, описывающая движение сплошной среды, вообще не применима. Там применимы кинематические уравнения разреженных газов – физика свободномолекулярного движения, а не физика сплошной среды.

Большой научный интерес представляет изучение области перехода газодинамических сред из физики сплошной среды в физику

королевского общества (1877).

2 Мартин Ганс Христиан Кнудсен (1871 –1949) – датский физик, преподававший и проводивший исследования в Датском техническом университете.

89

свободномолекулярного движения и построение общей теории для этих разделов физики. Особенно актуальной эта задача встала, когда в Советском Союзе началось развитие космонавтики. Земная атмосфера до высоты примерно 80 км (тропосфера, стратосфера и часть мезосферы) достаточно точно описывается физикой сплошной среды. На высоте выше примерно 120 км (термосфера и экзосфера) справедливы кинематические уравнения свободномолекулярного движения. То есть переходная область (в районе мезопаузы) полностью выпадает из математического моделирования, а именно в этой области зарождаются процессы, которые приводят к ураганам, тайфунам и другим природным явлениям. Для космонавтики же важны параметры среды в районе мезопаузы, соотношения и зависимости между ними. Поэтому в Советском Союзе была предложена программа исследования этой переходной области с помощью низкоперигейных спутников, но из-за трудностей финансирования была вскоре закрыта.

Трудности, связанные с математическим моделированием

5.10. Физическое моделирование. Основные положения теории подобия

То, что не удаётся определить с помощью математики, можно определить с помощью эксперимента. Однако натурные испытания (эксперимент непосредственно над объектом-оригиналом) довольно часто весьма дороги, опасны для окружающей среды, а иногда и вовсе невозможны. Гораздо дешевле и безопаснее проводить эксперименты над моделью – физической копией оригинала. Например, испытание водородной бомбы в несколько мегатонн тротила можно заменить испытанием водородной бомбы с килотонным зарядом, а затем на основе теории подобия пересчитать результаты эксперимента, определив параметры взрыва для мегатонного оригинала. В этом

90

случае килотонная водородная бомба будет физической моделью для мегатонной водородной бомбы.

Для расчёта процессов тепломассообмена используются уравнения для плотности тепловых и массовых потоков, записанных через коэффициенты конвективной теплоотдачи α (5.30) и конвективной массоотдачи β :

q =α∆T и m = β∆ρ .

При этом неизвестные коэффициенты α и β определяют из обобщённых (критериальных) уравнений, получаемых в теории

технике не могут зависеть от единиц измерения. Поэтому все

геометрического подобия.

Для физического моделирования одного геометрического подобия недостаточно. Аналогично вводится понятие кинематического подобия – кинематические масштабы для полей скорости, динамическое подобие для полей сил, подобие температурных полей и тепловых потоков. Для нестационарных

91

который отсчитан от единого момента отсчёта t0 для сходных

моментов модели tiм и оригинала tio .

Величины считаются однородными, если они имеют одинаковую размерность и одинаковый физический смысл. В подобных процессах однородные величины связаны между собой константами подобия. Например, если рассмотреть процессы (5.56а) и

одна и та же.

Вопросы для самоконтроля и задания

1.Чем физическая модель отличается от математической?

2.Сформулируйте главный постулат теории подобия.

3.Что такое геометрическое подобие?

1 Даниил Бернулли ( 1700 – 1782), швейцарский физик-универсал, механик и математик, один из создателей кинетической теории газов, гидродинамики и математической физики. Академик и иностранный почётный член (1733) Петербургской академии наук, член академий: Болонской (1724), Берлинской (1747), Парижской (1748),Лондонского королевского общества (1750).

92

4.Достаточно ли только одного геометрического подобия модели оригиналу? Если нет, то какие ещё должны быть выполнены условия, чтобы модель была адекватна оригиналу?

5.Сформулируйте теорему 1 теории подобия.

6.Что такое константа подобия?

7.Какие существуют константы подобия?

5.11. Критерии подобияи их физический смысл

Критерии подобия – это такие формулы из размерных величин, для которых сочетания констант подобия равно единице. Одна из