постоянном объёме (v = const) ,

Дж

,

кг К

av

=

λ

.

(5.4)

ρ c

v

Коэффициент температуропроводности

уже не зависит от

температурных полей, независимых от свойств материалов, которые

А

подобны безразмерным полям концентрацииИи скорости.

Вопросы для самоконтроля и задания

б

1.

Что представляет собой кристаллическаяД

решётка твердого

тела? Почему здесь частицы тела движутся не хаотически, а

и

лишь колеблются относительно своих центров равновесия?

2.

Что такое зотерм ческие поверхности?

3.

Как определяется направление градиента в любой точке

С

температурного поля?

4.

Что такое плотность теплового потока?

5.

Сформулируйте закон теплопроводности Био – Фурье.

6.

Что такое коэффициент температуропроводности?

получить следующее уравнение энергетического баланса [10, с.287]:

~

(5.5)

∫QdV +∫qdS = ∫QV dV ,

~

V

S

V

Вт

где

Q −

изменение объёмной

плотности

теплового потока,

м3 ;

q −

вектор плотности теплового потока,

Вт , проходящего

через

м2

единицу поверхности, ограничивающей выделенный объём V ;

S −

площадь поверхности, м2 , ограничивающей выделенный объём V ;

Q − объёмная плотность внутренних источников теплоты,

Вт .

V

м3

Уравнение энергетического баланса (5.5) говорит о

том,

что

теплота

~

V , плюс

∫QdV , сосредоточенная в выделенном объеме

Согласно известной теореме Остроградского – Гаусса

∫qdS = ∫divqdV .

Тогда из (5.4)

S

V

~

∫QdV +∫divqdV = ∫QV dV

или

V

V

V

~

(5.6)

Q

+ divq = QV .

И

Здесь использован дифференциальный оператор дивергенции,

который каждую точку векторного поля

q

преобразует в скалярную

Д

величину – показатель того, в какой степени данная точка

пространства является источником или стоком этого поля:

А

divq > 0 −точка поля является источником;

б

divq

< 0 −точка поля является стоком;

divq = 0 −стоков и

источников

нет, либо

они друг

друга

компенсируют.

и

Оператор дивергенции можно расписать через частные

производныеСпо пространственным координатам

∂q

x

∂qy

∂q

z

,

(5.7)

divq

=

+

+

∂x

∂y

∂z

где qx ,qy ,qz −проекции

вектора q

на

координатные

оси

x, y, z

соответственно.

~

Изменение объёмной плотности теплового потока

можно

Q

выразить

через теплоёмкость

cv ,

плотность

ρ и

изменение

~

∂T

.

температуры материала Q = cv ρ

∂t

∂T

cv ρ

+ divq =QV

(5.8)

или

∂t

∂qx

∂qy

∂qz

c

ρ

∂T

+

+

+

= Q .

(5.9)

∂y

∂z

v

∂t

∂x

V

Выражения (5.8) и (

5.9) являются

дифференциальными

уравнениями переноса теплоты в самом общем виде.

источников теплоты?

2.

Чему равно количество теплоты, проходящей через

поверхность, ограничивающую выделенный объём?

3.

И

Что такое дивергенция векторного поля (её физический

смысл)?

4.

Распишите дивергенцию через частные производные.

5.

Д

Напишите дифференциальное уравнение переноса теплоты в

общем виде.

А

5.4. Дифференциальные уравнения теплопроводности

v

б

V

и

теплопроводности (5.2), то получатся дифференциальные уравнения

теплопроводности для твёрдых тел. Из (5.8) получим

С

∂T

c

ρ

+ div(−λgradT ) = Q

,

(5.10)

∂t

а при λ = const с учетом (5.3) и (5.7)

∂F

∂Fy

∂F

∂2T

∂2T

∂2T

div(−λgradT ) = −λdivF = −λ

x

+

+

z

= −λ

+

+

∂x

∂y

∂z

∂x

2

∂y

2

∂z

2

Таким образом, уравнение (5.10) приведётся к виду

c

ρ

∂T

−

∂2T

+

∂2T

+

∂2T

= Q .

v

λ

2

2

2

∂t

∂x

∂y

∂z

V

Поделим это уравнение на величину

и перейдём в нём к

коэффициенту температуропроводности av согласно (5.4), получим

∂T

∂2T

∂

2T

∂2T

Q

= a

2

+

2

+

2

+

V

.

(5.11)

∂t

v

∂x

∂y

∂z

cv ρ

Уравнение (5.11) является дифференциальным уравнением

теплопроводности

в

прямоугольных

координатах.

Выражение

в

∂T

= av∆T +

QV

.

(5.12)

∂t

cv ρ

Если в выделенном объёме отсутствуют источники теплоты, то

есть Q

= 0 , а температурное поле стационарное, то есть

∂T

= 0, из

V

∂t

∂2T

+

∂2T

+

∂2T

= 0 и

∆T = 0.

(5.13)

∂x2

∂y2

∂z2

И

перпендикулярном всем этим изотермическим поверхностям. Если это

направление принять за ось x , то

∂T

Д∂T

=

=

0

и из (5.11) следует

∂y

∂z

∂T

∂2T

Q

АV

.

(5.14)

= av

2

+

∂t

∂x

cv ρ

б

Уравнение (5.14) можно представить в более общем виде для

тел различной формы

и

∂

2

1

∂S

∂T

Q

∂T

T

= a

2

+

L

+

V

(5.15)

∂t

v

SL ∂L ∂L

cv ρ

∂L

или

С

2T

∂T

∂

n ∂T

Q

= a

2

+

+

V

,

(5.16)

∂t

v

cv ρ

L − обобщённая

∂L

L ∂L

где

координата;

SL −

площадь

изометрической

Для цилиндрической поверхности: L = R,

SL = 2πR l − площадь

боковой поверхности цилиндра, а

∂SL

= 2π l

и из (5.15) получается

∂L

∂T

∂2T

1 ∂T

Q

= a

2

+

+

V

.

(5.17)

∂t

v

∂R

R

∂R

cv ρ

Также при n =1 из (5.16) получается (5.17).

Для сферической поверхности:

L = R,

SL = 4πR2 −

площадь

боковой поверхности цилиндра, а

∂SL

=8πR и из (5.15) получается

∂L

∂T

∂2T

2 ∂T

Q

= a

2

+

+

V

.

(5.18)

∂t

v

∂R

R

cv ρ

∂R

Также при n = 2 из (5.16) получается (5.18).

Полученные, таким образом,

дифференциальные

уравнения

И

теплопроводности могут быть использованы при решении разного

приводят к трём разным задачам:

А

1) первая краевая задача (задача Дирихле) заключается в

решении уравнен я (5.13), заданного в некоторой области V

б

при услов , что на границе этой области ∂V температурное

поле задано, то есть T

=ϕ(x, y, z);

и

∂V

2) вторая краевая задача (задача Неймана) заключается в

решении уравнения (5.13), заданного в некоторой области V

при Сусловии, что на границе этой области ∂V задан градиент

температурного поля, то есть ∂T

=ϕ(x, y, z) ;

∂n

∂V

области ∂V

задано условие au + b

∂u

=ϕ(x, y, z).

∂n

∂V

поле одномерное.

В качестве координаты берём ось x .

Точку

x = 0

принимаем

за координату

горячей

стенки,

а

точку

x =δ

– за

координату холодной стенки.

Такому случаю соответствует уравнение (5.14), в котором

следует

принять

QV

= 0 ,

так

как

стенка

не

имеет

внутренних

cv ρ

∂T

источников теплоты, и

= 0, так как в данном случае температурное

∂t

поле

будет

стационарным.

Следовательно,

требуется

проинтегрировать уравнение

d 2T

И

= 0

(5.19)

dx2

при граничных условиях

Д

T

x=0

= Tw1

и

T

x=δ

= Tw2 .

(5.20)

Из

(5.19)

следует,

АdT

, где

C1 −

постоянная

что

dx

= C1

интегрирования. При последующемб

интегрировании получим общее

решение уравнен я (5.19)

иT (x) = C1x +C2 .

определим

из краевых

Произвольные постоянные C1,C2

условий (5.20)

С

Tw2 −Tw1

.

T (0) =T

= C 0 + C

2

= C

2

T (δ) =T

= C δ

+T

C =

w1

1

w2

1

w1

1

δ

Следовательно, искомое температурное поле будет иметь вид

T (x) =T

−

x

(T

−T

) .

(5.21)

w1

δ

w1

w2

(5.17), в котором следует принять

QV

= 0 ,

так как стенка не имеет

cv ρ

внутренних источников теплоты, и

∂T

= 0,

так как в данном случае

∂t

d 2T

+

1

dT = 0

(5.22)

dR2

при граничных условиях

R dR

T

R=R1 =Tw1 и T

R=R2

=Tw2 .

(5.23)

Из (5.23) следует, что

d

dT

И

1

= 0 .

R

R dR

Д

dR

Следовательно,

R dT = C

или

dT = C dR ,

где C −

А

1

1

dR

1

R

произвольная

постоянная.

При последующем интегрировании

б

R

получим общее решение уравнения (5.22)

T (x) = C1 ln R +C2 .

и

Постоянные

C1,C2

определим из краевых условий (5.23). Имеем

T (R1) =Tw1

= C1 ln R1 + C2 и T (R2 ) =Tw2 = C1 ln R2 +C2 .

Тогда T

С

1

, откуда

−T

=C (ln R − ln R ) =C ln

w1

w2

1

1

2

1

R2

C

= (T

−T

) / ln

R1

и C

=T

−C

ln R =T

− (T

−T

) − ln R1 .

1

w1

w2

R

2

w1

1

1

w1

w1

w2

R2

2

ln R

1

Следовательно, искомое температурное поле будет иметь вид

ln

R

R

T (R) =T