- •Введение
- •Глава 1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
- •§1. Определение двойного интеграла
- •§2. Замена переменных в двойном интеграле
- •§3. Приложения двойного интеграла
- •1. Вычисление объёма цилиндрического тела
- •2. Масса материальной двумерной пластинки D
- •3. Площадь плоской фигуры
- •4. Координаты центра тяжести плоской пластины D
- •5. Момент инерции плоской пластины относительно координатных осей
- •Вопросы и задания для самопроверки
- •Контрольная работа по разделу «Двойные интегралы»
- •Глава 2. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
- •§1. Понятие о тройном интеграле
- •§2. Замена переменных в тройном интеграле
- •2. Вычисление тройного интеграла в сферической системе координат
- •§3. Приложения тройных интегралов
- •1. Вычисление объёма тел
- •2. Вычисление массы трехмерной области V
- •Контрольная работа по разделу «Тройные интегралы»
- •Вопросы и задания для самопроверки
- •Глава 3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
- •§ 1. Криволинейные интегралы первого рода
- •1. Параметрическое задание дуги АВ
- •§ 3. Формула Остроградского – Грина
- •Глава 4. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
- •§3. Поверхностный интеграл второго рода (от вектор-функции)
- •§4. Вычисление поверхностного интеграла второго рода (от вектор-функции)
- •§5. Формула Гаусса – Остроградского
- •Библиографический список
2. Вычисление тройного интеграла в сферической системе координат
|
z |
|
|
|
В сферических координатах по- |
||||||
|
|
|
ложение точки М в пространстве опре- |
||||||||
|
|
M(r, , ) |
деляется тремя числами (r ): r – |
||||||||
|
|
|
длина радиуса-вектора точки М; – |
||||||||
|
|
|
|
|
угол между радиусом-вектором |
|
|
||||
|
r |
|
|
ОМ и |
|||||||
|
|
y |
осью 0Z; – угол между |
ортогональ- |
|||||||
|
0 |
|
|
||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|||||
С |
|
|
|
ной проекцией ОN радиуса-вектора и |
|||||||
|
|
осью 0Х, отсчитываемый в положи- |
|||||||||
|
N |
|
|||||||||
x |
|
|
|
|
тельном направлении (рис. 64). |
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
Р с. 64 |
|
|
|
Для любой точки пространства |
||||||
|
бА |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
M(r ), очевидно, сферические коор- |
||||||
|
|
|
|
|
динаты удовлетворяют |
условиям: |
|||||
r ( |
ли ), . |
|
|
|
|||||||
Связь между сферическими и декартовыми координатами то- |
|||||||||||
чек выражается формулами (см. рис. 64) |
|
|
|
||||||||
x ON cos ; |
|
x=rsin cos ; |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
(2.11) |
||||
y ON sin ; ON rsin y=rsin sin ; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z=rcos ; |
|
|
|
z=rcos . |
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|||
|
|
Нетрудно убедиться, что элемент объёма dV r2 sinθ drd dθ, |
|||||
поэтому формулу перехода от декартовых координат к сферической |
|||||||
системе координатам можно записать следующим образом: |
|
||||||
f (x, y,z)dxdydz |
|
|
И |
||||
V |
|
|
|
|
|||
|
f (rsin cos ,rsin sin ,rcos ) |
|
2sin drd d . |
|
2.12 |
||
|
|
r |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
V |
Сферические координаты удобны в тех случаях, |
как правило, |
||||
|
|
когда область интегрирования V ограничена сферическими поверхностями. При вычислении тройного интеграла в сферических координатах внутренний интеграл, как правило, берётся по переменной r. Наиболее просто определяются пределы интегрирования, если область V ограничена координатными поверхностями, так как в этом случае пределы интегрирования внутреннего и среднего интегралов будут постоянными.
75
|
Данный факт часто является основополагающим для выбора со- |
|
|
|||||||||||||||||||
ответствующей замены переменных при вычислении тройного инте- |
|
|
||||||||||||||||||||
грала. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностя- |
|
|
|||||||||||||||||||
ми x2+y2+z2=R2, x2+y2=z2 (z 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Решение. Так как искомое тело (рис. 65) ограничено снизу ко- |
|
|
|||||||||||||||||||
нусом z |
|
|
x2 y2 , |
а сверху сферой x2 |
y2 |
z2 |
R2, |
то воспользу- |
|
|
||||||||||||
емся сфер ческ ми координатами. |
|
|
|
|
Z |
|
x2+y2+z2=R2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Из формул (2.11) следует, что урав- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
нение сферы x2+y2+z2=R2 преобра- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Сзуется |
к |
|
|
|
виду |
|
|
|
|
|
|
|
x2+y2=z2 |
|
|
|||||||
r2sin2 cos2 +r2sin2 sin2 +r2cos2 =R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
r=R. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнен е конуса x2+y2=z2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
y |
|
|
||||||||||
примет в д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
или2 2 2 2 2 2 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
r sin cos +r sin sin =r cos |
|
|
|
|
|
Рис. 65 |
|
|
|
|
||||||||||||
или tg2 =1, откуда угол между ра- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
диусом-вектором, соединяющим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
точки на границе сферы и цилиндра и осью 0z равен . Значит, |
|
|
||||||||||||||||||||
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно выражениям (2. 7) и (2.9) имеем |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
бА |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
R |
|
d r2 cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||
dxdydz r2 sin drd d dr d r |
2sin d dr |
4 |
||||||||||||||||||||
V |
|
|
V |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
R |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
R |
|
|
|
|
2 |
2 |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д2 2 |
|
|
|||||||||
dr d r |
|
|
2 |
1 |
1 |
|
2 |
r |
dr d |
2 |
|
r dr |
|
|
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
2 2 2 |
R |
|
|
|
2 |
2 r |
3 R |
|
|
3 |
2 2 |
. |
|
|
|
|
|
|||||
r2dr |
|
R |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
3 0 |
|
|
|
3 |
И |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Задачи для решения в аудитории |
|
|
|
|
1. Вычислить тройной интеграл x2 y2 z2 dxdydz, если об-
V
ласть V ограничена сферой x2 y2 z2 z.
76